Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 163

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 8] О Б Щ А Я Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К А Я М О Д Е Л Ь 159

воря, не замкнуто и его замыкание может совпадать с К0 (соответствующий пример приведен в н . 5 § 9).

Заметим еще, что в обозначении указанного выше мно­ жества ие отмечено, какой моделью оно определяется; из

контекста всегда ясно, о какой модели идет речь.

 

Если

точка х0 ЕЕ К0

такова, что

at)Q (х0) =/= {0}

при

всех

t ЕЕ

Е, t =f= 0, то,

как нетрудно

проверить,

траекто­

рия

% модели Ш, исходящая из х,

оптимальна

тогда

и

только тогда, когда х является граничным снизу элемен­ том множества (?га)- 1 (%).

Перейдем к доказательству существования оптималь­ ных траекторий. Будем рассматривать точки х ЕЕ К0 такие, что аг ,0 (х) =£= {0} (t ЕЕ Е, t 4= 0)- (В противном слу­ чае существование оптимальной траектории, исходящей из точки х, очевидно.) Рассмотрим вначале дискретную модель

®ld = {E, (ar,t )( ,i 0 eg}-

Не умаляя общности, можно считать, что Е совпадает с

множеством неотрицательных

целых

чисел.

 

 

Л е м м а

8.1. Из каждой точки х конуса К0

исходит

оптимальная траектория модели 9J?d.

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

При

каждом

натураль­

ном

Т

рассмотрим

оптимальную

Г-траекторию

%т =

(х, х[,.

. ., хт) модели

исходящую

из

точки х.

Используя теорему 8.2 (принцип оптимальности), получим,

что t-кусок

траектории %т при

любом

натуральном

t,

не превышающем

Т,

является оптимальной ^-траекторией

модели *) 9J}d. Из предложения 8.3' вытекает, что

 

Wxll^

о ( х ) =

1

(Г =

1, 2 , . . . ;

* =

1, 2 , . . . , Т),

 

а потому последовательности (xj)r=t

{t

=

1, 2,. . .) огра­

ничены.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Применяя диагональный процесс, выберем подпоследо­

вательность

номеров

Тг,

Т%,.

. ., Тк, . . . так,

чтобы

су­

ществовали пределы

 

 

 

 

 

 

 

 

l i m x^k

= xi,

l i m x^k

=

x2,...,

limxfk

=

xh ...

 

*) T o есть оптимальной траекторией модели (SOtd)f-

160

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е Т Р А Е К Т О Р И И

1гл. ш

Последовательность

% =

(х,

xv

. . . , xt,

. . .) является

траекторией модели

ffld.

При этом

 

 

 

 

 

 

И|па,,оМ =

1,

 

 

 

и потому

£-кусок

траектории

х

является оптимальной

^-траекторией при любом натуральном

t. Последнее

озна­

чает, что траектория % оптимальна.

 

 

 

Лемма

доказана.

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим теперь снова произвольную конечномер­

ную модель второго рода Ш—

{Е, (aT ,t)( t - i ( ) 6 _^}.

 

Т е о р е м а 8.3. Из

каждой точки х конуса К0

исхо­

дит оптимальная

траектория модели СЮ.

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

е —

конфинальное

дискретное подмножество множества Е. Рассмотрим

модель

?Юе — дискретное

разряжение

C0J

(см. п.

3).

В

силу

леммы

8.1

существует

оптимальная

траекто­

рия

%'

=

{x't)t£e

модели

5Ше,

исходящая

из

точки

х.

Как

было

отмечено

в

п.

3, • найдется

траектория

X =

(xt)t<EE

 

модели СЮ такая, что xt

= х[

(t ЕЕ е).

 

 

Покажем, что траектория % оптимальна. Предполагая

противное, найдем ТЕЕЕ

так, что т-кусок %х траектории %

не будет оптимален. Поскольку е конфинально, то сущест­ вует т'ЕЕе такое, что т ' > т . Из определения траектории %' следует, что т'-кусок этой траектории является оптималь­ ной траекторией модели (£0Г)Т', а потому т'-кусок траек­ тории % является оптимальной траекторией модели £ЮТ'. Применяя принцип оптимальности, получим, что траек­ тория Хт модели 9КТ оптимальна, что противоречит на­ шему предположению. Полученное противоречие и дока­ зывает теорему.

§9. Х А Р А К Т Е Р И С Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х ТРАЕКТОРИЙ

1.Двойственная модель. Пусть

5R = {Е, ( Х , ) , Й В , {К,)1ЕЕ,

К 0 ( т , о е в >

( 9 Л )

— технологическая модель. Наряду с моделью СЮ рас­ смотрим объект

w = {Е, ( х ; > е В , (к;)1еЕ,

к « ) ( , , o d g }

§ 9] ХАРАКТЕРИСТИКА ОПТИМАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ 161

(где a^,t — отображение, двойственное к aXj t) и покажем, что S3?' также является технологической моделью. Отме­ тим прежде всего, что Kt — выпуклый замкнутый выс­ тупающий и телесный конус. Далее, привлекая предложе­

ние

4.16, получим,

что отображение

а'х,( суперлинейно;

точнее говоря, ах > (

6Е A (Kt, KJ; в

силу теоремы 4.2

a'r,

t = (ас, v ° at; 0' = <*«'*, г ° «Я«

(*", *',<<==#, * < *' < О

откуда следует, что семейство суперлинейиых отображе­ ний (af,i)( t ( ) е Ё удовлетворяет условию согласования.

Итак, мы проверили, что объект 51?' действительно является технологической моделью. Будем называть эту

модель

двойственной

 

по отношению к 59?.

 

Как непосредственно вытекает из определения, траек­

тория op =

[ft)i<=E

модели СО?' обладает следующим свой­

ством:

для

любой

траектории

% = (Ж()<<=Е

модели SO?

выполняется

 

 

 

 

 

Иными словами, функция hx,

определенная на множестве

Е формулой

 

 

 

 

 

 

 

hx(t)

= f,(xt)

 

(t(=E),

 

убывает.

 

 

 

 

 

 

Поскольку €0?' является

технологической моделью, то

имеет смысл говорить о модели

€0?", двойственной к SB?'.

Из теоремы 4.3 следует, что

 

 

 

 

W={E,{Xt)leE,

 

( Я , ) ( е

Е , ( n a , , « ) ( T l 0 e S } -

В связи

с этим модель €0?" будем называть

нормальной

оболочкой

модели

€3? и обозначать символом nSO?.

Каждая траектория % модели €3? является и траекто­ рией модели nSO?. Из предложения 8.3 следует, что каждая оптимальная траектория модели €0? оптимальна и как траектория нормальной оболочки гШ; обратно, если % — оптимальная траектория моделиreSO?и в то же время % —

траектория модели S3?, то х — оптимальная

траектория

этой

модели.

 

Отметим еще, что, как вытекает из предложения 2.14,

(пЩх

= п (S9?*) для любой точки х из конуса

К0.

6 В. Л . Макаров, A . M. Рубинов

162

 

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е

Т Р А Е К Т О Р И И

 

[ГЛ . I I I

2.

е-характеристика

слабо

оптимальных

траекторий.

Будем

считать в этом пункте, что модель 9К, определенная

формулой (9.1), является моделью первого

рода.

Поло­

жим, как обычно, Т =

sup Е. Имеет место

 

 

Т е о р е м а 9.1 ( о б

е - х а р а к т е р и с т и к е

с л а б о

о п т и м а л ь н ы х

т р а е к т о р и й ) .

Пусть

Х0ЕЕК0,

/ г ЕЕ К'Т

(х0 ф О, / т ф 0) и X = (xt)leE

—

траектория

модели ffi, исходящая из точки х0. Для того

чтобы

траектория % была слабо

оптимальна в смысле

функционала /т, необходимо и достаточно, чтобы для любо­

го

е ^> 0 нашлось семейство Фе = (/()/ев (/< €Е К ( , t ЕЕ

ЕЕ

Е) такое, что

 

 

 

1)

для любой траектории

% = {xt)iSE

модели 59} функ­

ция hx • t-*-

ft (xt) (t EE E) убывает,

 

 

2)

Л - ( 0 ) - ^ ( Г ) < е ,

 

 

 

3)

ЯфО

(t EE E), fT =

fT.

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

1) Необходимость. Рассмот­

рим отображение ат,0. В силу теоремы двойственности (теоремы 4.1) множество (ат,о)- 1 (/т) непусто и

/ т ( 2 т ) = max

fT{y)=

inf

g{x0).

(9.2)

ve*r,№

 

ge(aTiQ)-4fT)

 

Из (9.2) следует, что по данному

е

О найдется Функ­

ционал/|j из множества (аг,о)- 1 (/т) такой, что

 

/оЫ</т(Жт) - ! - е .

 

 

Используя теорему 8.1, найдем траекторию срЕ =

(ft)tt=E

модели ?К', исходящую

из точки fQ

и приходящую (в

момент Т) в точку f T . Так как атЛ — гейловское отображе­

ние и /т Ф 0, то и ft

Ф 0. Траектория <ре является иско­

мым

семейством.

 

 

Е > 0

2)

Достаточность.

Пусть

теперь для любого

найдется семейство сре = (ft)i^E,

удовлетворяющее

усло­

виям теоремы. Тогда если у ЕЕ аг,о (х0), то найдется траек­ тория % модели SEU, соединяющая точки х0 и у, и потому (условия 1) и 3) теоремы)

Ы П = / т 0 / ) < / о Ы = = М 0 ) .

Смотрите также файлы