Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

164

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е

Т Р А Е К Т О Р И И

1ГЛ. I l l

П р е д л о ж е н и е

9. 1. Если траектория % =

(я^ев

допускает

слабую характеристику

ср =

{ft)te=E,

'«о

/т (жт ) =

max fT (у),

fo(xQ)=

mi n /о (у),

l/ea-i ^Я т )

Доказательство

очевидно.

С л е д с т в и е .

В условиях предложения

траектории

X слабо оптимальна

в смысле функционала /т.

Оказывается,

что траектория,

допускающая

слабую

характеристику,

не обязана

быть

оптимальной;

в свою

очередь

оптимальная траектория

не обязана

допускать

слабую

характеристику.

Подтвердим

высказанные ут­

верждения

примерами.

П р и м е р 1. Рассмотрим

модель

ЗЯ = { { 0 , 1 } , ( X t ) t = o v

( A ' , ) i = 0 1 , ah0},

где Х0 = X, = R-,

Кх

= Кг

= R\,

e l l

0

(*) = <0, *> (х е Д+Ь

Рас­

смотрим

траекторию х = (*о> ^ I ) модели <Щ, где хх

=

(1, 0), i 2 =

=

(1/2, 0). Траектория хне оптимальна, хотя и слабо оптимальна; тем

не

менее,

эта траектория

допускает слабую характеристику

ф =

=

(/, /), где / =

(0, 1).

П р и м е р

2. Рассмотрим

модель

=

{{0, 1}, (X,)lim0tV

ъ

alt „},

где, как и выше, А'о =

Хх

=-. Л 2 ,

К0 = К1 =

Л * . Отображение

в^о

определлм

следующим

образом:

alt0^)

= i y e R l \ y < ( V ^ ' - \ - x \

У*&)}

( я е Л ^ ) .

Положим

в„ =

(1, 0). Так как а 1 ) 0 (я0 ) = {у е

Д£ | т/ < я 0

} , то

траектория х =

(х0, х0) модели д}}

оптимальна. Покажем, что эта

траектория не допускает

слабой

характеристики.

Предположим

противное, и пусть

<р = (/0, f{) — слабая характеристика траекто­

рии х- Тогда для любого » £ ^ J

имеем

+

> /J (

+

*i) + £ У

^

и,

кроме

того,

/J =

Из полученных соотношений

следует

(при

а»

0)

_

§ 9]

Х А Р А К Т Е Р И С Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Т Р А Е К Т О Р И Й

165

(являющаяся

постоянной) положительна.

Нетрудно

проверить,

что

траектория,

допускающая

характеристику,

оптимальна.

(Обратное,

разумеется,

неверно.)

Важное свойство

характери­

стики описывает следующее

П р е д л о ж е н и е

9.2.

Пусть

% — ( x t

) t e E

—траектория

модели 9Й, допускающая

слабую

характеристику ц> = (ft)ti=E- То­

гда для любого т ЕЕ Е, т =j= 0, Т

выполняются

соотношения

max

U {У)

= U О )

=

1/еат, о(-г<>>

/х (у).

=

m i n

Рис. 21.

Если

ф является характеристикой %, то члены напи­

тория % = (xt)lfEE,

слабо оптимальная в смысле функцио­

нала / 7 , допускает слабую характеристику

ф = (Jt)t<=E

такую, что fx =

/т тогда и только тогда, когда реализует­

ся инфимум в формуле

(9.2). Положим для

х ЕЕ К0

q (х) =

max fT (у).

(9.3)

166

ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ

[ГЛ. I I I

суперлинееи;

при атом множество опорных к q совпадает

с множеством (ят.о)- 1 - Иифимум в формуле

(9.2) реали­

Т е о р е м а

9.2. Пусть х0 — внутренняя точка ко­

нуса К0.

Тогда любая оптимальная в смысле функционала

/т траектория, исходящая из х0,

допускает характерис­

тику ф =

(/<),(=Е

такую, что /т

= /г.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу теоремы 2.3 функцио­

нал д, определенный формулой

(9.3), имеет опорный /0

в точке х0. Так

как х0 6Е i n t К0,

то /0 (ж0) ^> 0.

Теорема доказана.

Прежде чем привести еще одио достаточное условие существо­

чечно-множественных отображений по направлениям. Пусть

—

конечномерное

пространство,

/<Г4 —

воспроизводящий

выступаю­

щий конус в пространстве

Xi

(i =

1, 2), а

— суперлинейиое

ото­

бражение

конуса

Кг

в П

(Кг).

Подобно тому, как это было сделано в и. 5 § 3, отождествим мно­

жество

а

(х)

с

функционалом

ра ^

,

определенным на

единичной

сфере б1*

пространства X *

формулой

Pa(x)(f)=

m a

x

Ш -

W

V<=a(x)

Это позволяет отождествить отображение а с функцией ра,

переводя­

щей

точку

х ЕЕ Ку

в

элемент

р а ^

=

ра (х)

пространства С

(S*).

Элемент

и

пространства Xi

назовем допустимым

направлением,

в

точке

х

ЕЕ К\,

если

пайдотся число

а и >

0 такое, что отрезок

{х

+

аи

| a

g= [0, аи]}

входит в Кх.

Совокупность всех допустимых

в точке х

направлений является выпуклым, вообще говоря, незамк­

нуса Къ

а также элемент — х.

Отображение а называется

диффе­

ренцируемым

в точке х

из Кх

по (допустимому) направлению и,

если

найдется такая функция р'а

(х,

и)

в пространстве С

(S2),

что

Ра

(х

+ cut) =

ра (х)

+

ар'а

(х,

и) + оз с > и (а)

( а > 0 ) ,

(9.4)

причем

1ии

=

0.

a-v+o

а

Будем говорить, что отображение а непрерывно

дифференцируемо

в точке х,

если

1) найдется такой замкнутый выпуклый коиус L x

допустимых в

точке х

направлений, что Кг

С

L x ,

—х

ЕЕ L x и по любому направле­

нию и

6= L x

отображение

а

дифференцируемо,

§ g]

Х А Р А К Т Е Р И С Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Т Р А Е К Т О Р И Й

167

конуса Lx

в пространство

С (S^) непрерывно.

Имеет место

Т е о р е м а

9.3. Пусть

точка х0 из конуса К0 такова, что ото­

бражение аТ

Q непрерывно дифференцируемо в этой точке. (Мы

рас­

сматриваем по-прежнему

технологическую модель (9.1).) Тогда

каж­

дая слабо оптимальная в смысле /у траектория,

исходящая из точки

х0, допускает

слабую

характеристику "ф =

( / j ) ( e E такую,

что

1т = 1т-

'

•

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Нам достаточно показать, что функ­

ционал q, определенный формулой (9.3), имеет опорный в точке

хй.

Заметим,

что

q (х)

= рат

q

(Х) (fT).

(Мы считаем, что АЕЕ^*.)

Покажем, что

q

дифференцируем

в точке х0

по

конусу

Lx;

иными

словами, для

любого

и ЕЕ L

существует

предел

Я (хо +

сш) — q (хи)

<x->-f-0

u

В

самом деле,

используя

(9.4),

имеем

1

(q (х0

+ au) — q (xQ))

=

l i m

—

cc->-|-0

*

=

~ ' { ? а Г - О

+

~ Р а т . °( 'Г 0 ) ^

=

=

Д 0

4 "

' ^ « г , о { х о

'

и ) ( / ^

+

"*..»(«)) = Рат,

о { Х 0 '

и )

Тем самым нужный нам предел существует; при этом

1xa(u)

=

PaTi0(xo,

") (/г>-

(8-6)

.

g (до + а (щ + ИЗ)) — g (До)

q (MI + иа) = Ь т

=

а-Н-о

=

lirn^

-1-

(KI + к2 ) j — q (xt)) j

=

=

li m

- 7 - (</ ((z0

+ а т ) + (я?о +

ак2 )) — 2q (х0)) >

а-Н-0

а

1

>

Ь т — (q (хо +

авд) — q (ха))

+

а-Н-о

а

+

Н т

—

(у (Жо +

ам2) —

q (.г-0)) = q'

(ui) -[- (7' (м2 ),

а—-(-о

а

°