Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 168

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

168

 

 

 

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е

Т Р А Е К Т О Р И И

 

 

 

 

[ Г Л .

I l l

откуда п следует супераддитивность этого функционала.

Наконец,

как непосредственно следует из (9.6) и условия

теоремы, дХо

— не­

прерывный

функционал.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из сказанного вытекает, в частности, что функционал дХо

супер­

линеен

(о суперлинейности

qXt имеет смысл говорить, так как этот

функционал задан на замкнутом выпуклом конусе LXa).

 

В силу тео­

ремы 2.1 существует

линейный

функционал /0 , опорный к qx0.

По­

кажем, что /о опорен к q в точке х0.

Пусть и €Е Кй.

Так как К0

С

С

L..,

то д

дифференцируем по направлению

и,

 

и потому

 

 

q

(х0)

+

aq

(и)

< q

{х0

 

+

au) =

q

(х0)

+

aq'^ (и) +

и

 

(а)

<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<

Ч (*о)

+

«/о

(")

+

° х „

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9 (И) <

/о (И) +

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

Из

последнего неравенства

следует, что /0

€Е Uq.

Покажем

теперь

что

/0 - (xQ)

=

q (хв).

 

Учитывая,

что

— аг0 g

LXt>,

 

имеем

 

 

 

 

 

 

 

q'~ (—

я0 ) -

l i m

—

(q

(хо

—

ax0)—q

(х0))

 

=

—

q

(х0).

 

 

 

 

 

 

 

 

а-Н-0

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предполагая,

что

/0

(х0 ) >

q (х0 ),

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/о (—*о)

=

—/о

(*о)

<

— <7 (*о)

=

д'Хо

(—

*o)i

 

 

 

что невозможно, так как /0 опорен к д .

Мы показалп, таким образом, что функционал q пмеет опорный в точке х0, откуда и следует справедливость теоремы.

Следующие теоремы полностью описывают траекто­ рии, допускающие слабую характеристику (соответствен­ но, характеристику).

Т е о р е м а 9.4. Для того, чтобы траектория % = = (xt )ieE модели C0J допускала слабую характеристику, необходимо и достаточно, чтобы нашелся функционал / из конуса К0 такой, что

1) f(x0)=

min

f(y),

2)a T l 0 ( / ) = H O } .

До к а з а т е л ь с т в о . 1) Достаточность. Пусть

/— функционал, фигурирующий в условии теоремы. Так

§ 9]

Х А Р А К Т Е Р И С Т И К А

О П Т И М А Л Ь Н Ы Х

Т Р А Е К Т О Р И Й

169

как отображение

я т 0

 

суперлинейио, то

(теоремы

4.1

и 4.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

g(xT)

—

m i n

/(z) =

m i n

f(x)

=

f(x0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(9.7)

Пусть

функционал f из а'т,0 (/) таков, что f

(хт)

— f

(х0).

Так как а Т ) 0

(/) =^= {0},

то можно считать, что f =j= 0. Сое­

диним точки / и / траекторий ср модели ЭУ. Эта траекто­

рия

является

слабой

характеристикой

траектории

%.

 

2)

Необходимость.

Пусть

% допускает

слабую

харак­

теристику

ф =

(ft)tf=E.

Тогда

если х

ЕЕ К0,

у ЕЕ ят,о (ж),

то

/ 0

(я) >

/ т

(г/). Таким

образом,

/ т ЕЕ oV,0 (/0),

и пото­

му

аг,о (/о) =г= {0}-

Отметим

еще, что (паТ,0)'

= а'т,а-

Из

сказанного следует, что fT

ЕЕ {пат,0У

(/о)

и .

стало'быть,

для любого у ЕЕ (пат^У1

(хт)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МУ)>ТТ

(«г) =

fo(«o)-

 

 

 

 

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/о(жо)=

min

f0 (i/).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l/e(na T | 0)~Ч.хт)

 

 

 

 

 

 

Теорема

доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З а м е ч а н и е .

Попутно мы доказали справедливость следу­

ющих

утверждений:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) если для траектории % найдется функционал /, удовлетворя­

ющий условиям 1) и 2) теоремы, то существует слабая характерис­ тика этой траектории, которая является траекторией двойственной модели, исходящей из /;

б) если траектория % допускает слабую характеристику ср =

=( / ( ) г е Е . т 0 функционал /0 удовлетворяет условиям 1) и 2) теоремы.

Отметим еще, что в условии теоремы можно не требовать поло­ жительности функционала /. (Как следует из замечания к предложе­ нию 8 . 5, эта положительность автоматически вытекает из условия 1) теоремы.)

Т е о р е м а

9.5. Для

того

чтобы траектория % =

= (xt)t<=E

модели 59? допускала

характеристику,

необхо­

димо и достаточно, чтобы нашелся функционал f

из ко­

нуса К0

такой,

что

 

 

 

 

/ ( * „ ) =

m i n

f(y)>0.

 

 

 

VS(naTi

0)-Кх-т)

 

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.4*

170 О П Т И М А Л Ь Н Ы Е Т Р А Е К Т О Р И И [ Г Л . I I I

Теорема 9.5 описывает траектории,

допускающие ха­

рактеристику в терминах множества (пат>

0)~г (хт). Напом­

ним, что, согласно предложению 8.4, оптимальность тра­ ектории можно также выразить в терминах этого множе­ ства (траектория % оптимальна в том и только том случае, когда х0 — граничная снизу точка множества [пат, о)~г(хт)) • Приведенные ниже рис. 22, 23 показывают, по каким причинам оптимальная траектория может не допускать характеристику. В ситуации, изображенной на рис. 22, характеристики не существует; на рис. 23 — существует.

Рис. 22. Рис. 23.

5. Характеристика

траекторий

модели второго

рода.

Предположим теперь,

что модель

(9.1) — второго

рода.

Будем говорить,

что траектория % = {Zt)ieE

этой

модели допускает

слабую характеристику, если найдет­

ся

семейство

ф = {]т)тЕ {ft ЕЕ К],

t ЕЕ Е)

такое,

что

 

а) для любой

траектории

% =

(xt)ISE

 

модели

ЗК

функция h : t ->• ft

(xt)

{t EE E)

убывает,

 

 

 

 

б) функция h- постоянна,

 

 

 

 

 

допускает характеристику.

 

 

 

 

 

 

Указанное семейство ф назовем слабой

характеристи­

кой

(соответственно,

характеристикой)

траектории

%.

 

Наша цель

заключается в доказательстве

следующей

теоремы.

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 9]

ХАРАКТЕРИСТИКА ОПТИМАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ

171

Т е о р е м а

9.6.

Для

того

чтобы

траектория

%— (£t)i<=E модели

$Ш допускала

слабую характеристи­

ку, необходимо

и достаточно, чтобы нашелся функционал

f из конуса К0

такой, что

 

 

 

 

 

а)

m i n

f(ij)

=

f(s0),

 

 

 

 

(9.8)

 

ue(na)-»(X)

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

a',,0(f)=f={0}

(t(=E,

* > 0 ) .

 

 

 

(9-9)

(Напомним, что (па) 1

(%) =

U

("а,,о)_ 1

(£()•)

 

 

 

 

 

 

 

(еЕ,г>о

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточность.

Доказа­

тельство достаточности мы проведем в два

этапа.

 

 

1)Сначала рассмотрим случай, когда модель Ш

дискретна. Не уменьшая общности, считаем, что Е =

={0, 1, 2,...}.

Зафиксируем натуральное число Т и рассмотрим

Т-кусок %г траектории %. Семейство х~т можно рассматри­ вать как траекторию модели

 

 

пШт = { Е Т

, (nat, 0 ( t , O e f T },

где

Ет =

{0, 1, 2, . . . ,

Т).

зуя

Так как г0 Е= ("Яг.о)- 1

($т) cr (zza)- 1 (х), то, исполь­

(9.8),

получим

 

 

 

m in

_ f{y) = f(X0).

Из теоремы 9.4 и замечания к ней теперь следует, что най­ дется траектория срт = (fJ)teET модели (п9йт )' = $&'т, исходящая из точки / и дающая слабую характеристику траектории хт модели ?г€Шт- В частности,

/ (So) = /Г («i) = ••• = /? (%)•

(9-10)

Траекторию фт всегда можно выбрать так, чтобы она являлась оптимальной траекторией модели 5ЩТ. Прежде всего отметим, что эта траектория допускает слабую ха­ рактеристику. Слабой характеристикой ее является, в силу (9.10), семейство %т .

Если сужение функционала £т (над пространством Х"т) на грань Тт конуса К*т отлично от нуля, то фт допус­ кает характеристику как траектория подмодели ($Кт)'

модели

и, стало быть, является слабо оптимальной

Смотрите также файлы