Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

рией 5D?T. В противном случае

fT {Хт) = / (я"0) =

0 и

вместо

семейства фт можно

рассмотреть траекторию ф~г

модели

С&т, исходящую из

/ и

приходящую в

/ ? —

1т

ристикой

траектории %т , и,

кроме того (см. предложе­

ние

8.3')

она оптимальна.

Мы

будем считать, что уже

сама

траектория фх выбрана

оптимальной. Используя

||/Г|ко(/) = 1

(t =

1, 2, .. . ,

Г) .

Построим траекторию фт для каждого натурального

Т

и рассмотрим последовательности

( / I " ) T = I ,

{}1)т=г, • • -, (/(Т)г=(, • • •

Каждая

из этих

последовательностей

ограничена;

более того,

при любом натуральном t

111

=

1.

(9.11).

Применяя диагональный

процесс, найдем номера

Ти

Тг, • . , Th,

. . . так, чтобы существовали пределы

l i m ffk

= J,

( * = 1 , 2 , . . . ) .

Из (9.11) следует, что ft=j=0

при всех натуральных

/.

Последов ательность

является траекторией модели

W. Кроме

того,

/(ж0) = / 1 ( г 1 ) =

. . .

=

/,(2( ) = . . .

е множества

Е

и дискретное разряжение Ше

модели

Ш.

Семейство %Е

=

( Я ( ) , е е является траекторией

модели

$01°.

Поскольку

пщ, о (S,) а пат, „ (жт)

((т, f) ЕЕ £ )

ие конфинально, то (па)"1 (X) =

(па)'1 (Хе ).

Из сказанного, в частности, следует, что для траекто­

первую

часть

доказательства,

получим,

что

траектория

Хе

допускает

слабую характеристику. Более точно, най­

дется траектория

ср = (/<)<е

модели

(5К

е

)'

такая,

что

Р

е

функция

постоянна.

Здесь

(t)

= /, (xt)

(t ЕЕ

е).

Нетрудно видеть, что модель (Же )' является дискрет­

ным разряжением

модели

351';

иными словами, (ШЕ)'

=

=

(ЗК')е,

а

потому

найдется

траектория

Ф =

(/OJ&E

модели S0J' такая,

что

/, =

/, (t

ЕЕ

е).

Функция Тг, определенная на Е

формулой

Необходимость.

Пусть

ф =

(/<)П=Е — слабая

характе­

ристика траектории X. Тогда семейство фт = (Jt)ieE

п [о,т]

является

слабой

характеристикой

Т-куска

Хт

этой

траектории

(ТЕЕЕ,

Т >

0). Из теоремы 9.4 и замечания

к

ней вытекает, что

m i n

_

f , ( j ) = / 0 W ,

я'т,о(/°)=тЧ°}-

Ввиду произвольности Т из полученных соотношений

вытекают условия (9.8) и (9.9).

Теорема

доказана.

Рассуждая так же, как при доказательстве этой тео­

ремы, нетрудно показать, что имеет место

_

Т е о р е м а

9.7. Для

того

чтобы траектория

X =

=

(£,),<=£

модели

SJJ допускала характеристику,

необ­

конуса К*0 такой, что

m i n / (у) = / (г0 )

0.

!/e("<x)-i (J)

174

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е

Т Р А Е К Т О Р И И

[ГЛ .

Ill

В некоторых случаях теорему 9.6 удобно формулиро­

вать следующим

образом.

Т е о р е м а

9.6'. Для

того

чтобы

траектория %

модели

второго

рода 592 допускала

слабую

характеристи­

ку, необходимо и достаточно,

чтобы Т-куски этой траек­

тории

допускали слабую характеристику

(как

траекто­

рии

модели 5 ) J T )

при любом Т

G 5 Е, Т =f=

0 .

Достаточность условий теоремы доказывается так же,

как и в теореме 9.6. Необходимость

очевидна.

В качестве следствия из теоремы 9.6' приведем следую­

щую

теорему.

9.8. Оптимальная

траектория

% модели

Т е о р е м а

второго рода Ж, исходящая из внутренней

точки

х0

конуса

К0, допускает характеристику.

слабую характеристику ср. Так как х0

GE i n t К0,

то

ср

является

характеристикой.

Теорема

доказана.

Заметим, что для траекторий,

допускающих

характе­

ристику,

аналог теоремы 9.6' неверен; иными словами, да- -

же если каждый Г-кусок траектории допускает характе­

ристику, сама траектория может

ее не допускать. Приве­

дем пример,

подтверждающий

это

обстоятельство.

П р и м е р .

Рассмотрим

модель

т

=

[Е,

(A-T ) t e

E , {к, ) <

е в ,

к , ( ) ( t f ( ) е 2

} ,

где Е — множество неотрицательных целых чисел,

Xt =

R2,

Kt

=

= R\ (t

G

E);

для

t<=E

и

x 6= R\

a

M . l (*)

=

iv e

I V* < *2> <r

- *» <

st (x1 -

У1)},

(9.12)

где («()( ™0 — монотонно убывающая числовая

последовательность,

причем l i m st

=

0. (Заметим, что отображение

вида (9.12) рассмат­

ривалось

ранее

в п.

8 § 4

и п. 5 §

8.)

Если

(т, /) (=

Е.

то,-по

определению,

I. =

<Ч т - 1

° А * - 1 , т-2 °

• • • ° я(+1.

С

Опишем

прежде

всего

отображение

( .

Имеем,

используя

(9.12), для

у е

R'i

«7+1,

i U/) = {* е

R\ | * » > у-,

х° -

.'/- >

*, (у1 -

.

(9.13)

ej^i

обладают следующими

свойствами:

а)

! / 6 < i ( ( . v )

0/е Л*, t е

£);

б )

« Г « ,

H I (г') з

ajlu,

(у)

(у

е л ' ,

« е

Я);

в)

если

г/ е «ГД,, (г),

то а7

_ (>/)

С

a ^ i , / (

)•

+11

(

г

Из этих

свойств

вытекает,

что

для

натуральных

t

(»*t,0)-4y)

=

=

"

^

- i

(•/)•

(9.14)

Рассмотрим элемент х

из конуса

х =

(1,0) .

В

силу

(9.12) последовательность

% =

(а:|)< е Е , где

xt = х (t =

тория не допускает

характеристики. В самом деле, учитывая, что

l i m st

= 0, л привлекая формулы (9.13) и (9.14) , получим, что мно­

жество (па)-1

(%) представляет собой конус Л^

с вырезанным из него

отрезком <0, .?> (рис. 24), а потому

2 i

не найдется

нп одного

линейного

'

положительного

функционала,

строго отделяющего

(па)-1

(%) от

нуля. Наше

утверждение

следует

теперь пз теоремы 9.7. С другой

стороны, в силу

теоремы 9.5 каж­

дый У-кусок этой

траектории до­

пускает характеристику. Заметим,

что траектория

% допускает сла­

бую

характеристику,

ею

может

служить,

например,

семейство

Ф =

(//)г<=Е, г Де /г =

(0,1)

( * 6 Я ) .

6. Согласованные

траек­

тории. Введем в рассмотрение

еще

один

класс траекторий

Рис. 24.

модели второго

рода СТО.

Пусть

ф =

( / ( ) ( S E

— траектория

модели

9R', двой­

ственной

к

Ж.

Траекторию

% =

(Я|)*<=Е

модели 5№

*) Запись lim ft (xt)

равносильна записи l i m /< (xt),

где

1<=E

t—T

Т = sup Е. (Напомним,

что Т ф Е.)