Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 169

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 9] Х А Р А К Т Е Р И С Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Т Р А Е К Т О Р И Й 177

При любом натуральном Т имеем, используя теорему

двойственности,

 

 

 

max g (хт) =

inf

/ (х) =

 

 

g&Ti0U)

хе{ат

Л)-Цхт)

 

 

 

=

inf

/ ( £ ) >

inf f{x) — q-

 

 

.te(7iaTi0)-i(a:r)

 

xe(«a)-i(x)

Из сказанного следует, что найдется /-траектория ц>т =

= (fo, • • м /т) модели

Ж, исходящая из

точки, / и та­

кая, что

 

 

/о (*о) > /Г

>..->/? (х'т) >q.

(9.15)

Нетрудно проверить, что последовательности (/<т)г = ( ограничены, и потому, применяя диагональный процесс, можно выделить последовательность номеров Тх, Tz,. . .

. . ., Tk, . . . такую, что существуют пределы.

l i m /fk = fu

l i m

/JK = /я, • • •, Hm /Г* =

/ „ . . .

Последовательность

ф =

(/,

Д,. . . , /,, . . .)

является

траекторией модели

 

 

При этом, как следует

из

(9.15),

/, (хд

>д

(t ЕЕ £•),

 

 

а потому и l i m /, (xt)

>

g >

0.

 

 

Теорема доказана

 

 

 

 

 

З а м е ч а н и е 1.

Попутно

мы доказали следующие

утвер­

ждения .

 

 

 

 

 

 

а) Пусть (х, ф) — согласованная пара траекторий, причем ер исходит из /0 . Тогда функционал /0 обладает тем свойством, что

 

iaf

/ „ ( ж ) > 0 .

(9.16)

 

.те(пл)-Чх)

 

б) Пусть траектория % и функционал /0 таковы, что выполнено

(9.16). Тогда

найдется траектория ср модели

исходящая из /0 и

образующая

с траекторией

% согласованную

пару.

З а м е ч а н и е 2. Легко видеть, что теорему можно сформули­ ровать следующим образом: траектория % допускает согласование тогда п только тогда, когда замыкание множества {па)'1 (%) не сов­ падает с конусом К0.

Поскольку необходимые и достаточные условия того, что траектория % оптимальна, допускает характеристику и слабую характеристику, допускает согласование, выра­ жаются в терминах одного и того же множества (па)'1 (%)

178 О П Т И М А Л Ь Н Ы Е Т Р А Е К Т О Р И И [ГЛ . Ш

то можно достаточно просто сравнить между собой указан­ ные классы траекторий.

Если траектория % модели 9R допускает характерис­ тику ф, то, как следует непосредственно из определения, % согласована с ф. Траектория, допускающая согласование, не обязана быть оптимальной или допускать слабую ха­ рактеристику. Пример, приведенный в конце предыдущего пункта, показывает, что и, наоборот, не каждая траекто­ рия, допускающая слабую характеристику или оптималь­ ная, допускает согласование. В самом деле, оптимальная и допускающая слабую характеристику траектория х,

рассмотренная

в этом

примере,

обладает тем свойст­

вом, что замыкание множества (па)'1

(%)

совпадает с ко­

нусом К0.

 

 

 

(/,)( е Е модели

Рассмотрим

теперь

траекторию

ф =

W.То обстоятельство, что эта траектория допускает

согласование, означает,

что

найдется траектория

% =

= (#,)((= Е модели (Ж)' =

п 9К такая, что l i m /( (xt)

^> 0.

Покажем, что имеет место

г ей

 

Если траектория

 

П р е д л о ж е н и е

9.3.

ф =

=(/г)(е=£ модели W допускает согласование, то найдется

траектория % модели

такая, что

Игл /, (xt) ^> 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Будем

считать, что модель

3R дискретна (в противном случае надо использовать диск­ ретное разряжение этой модели). Так как траектория ф допускает согласование, то используя теорему двойствен­ ности и теорему 9.9, получим, что при некотором х Ez К0

ml

f (х) = inf

inf

/ (х) =

 

 

 

 

— inf max fT(у)

= с^>0.

 

 

 

Т 1/еаТ о (.-с)

 

Из сказанного следует, что при каждом натуральном Т

найдется Г-траектория (х,

х[, . . . , х\) модели

такая,

что

 

 

 

 

/ о И > / 1 ( а ; Г ) > . . . > / т ( а т ) = с > 0 .

Для завершения доказательства надо воспользоваться диагональным процессом,

§ lo) Т Р А Е К Т О Р И И В К О Н К Р Е Т Н Ы Х М О Д Е Л Я Х 179

З а м е ч а н и е . Пусть (%, ср) — согласованная пэра траекто­ рий (х — траектория модели 5Ш, ф — модели 9JJ'). Доказанное

предложение позволяет нам в этой ситуации называть ср траекторией, допускающей согласование.

Пусть ср — траектория

модели SO?', допускающая

сог­

ласование. Будем говорить, что точка

х из

конуса

К0

согласована с траекторией

ср, если

inf

/ (х) ^> 0.

 

te(na)-i (tp)

 

(Это определение понадобится в следующей главе.)

 

Из доказательства предложения 9.3

легко

вытекает,

что из каждой точки х, согласованной с ср, исходит траек­ тория % модели SO?, согласованная с ср. Наоборот, если пара (х, ср) согласована и % исходит из точки х, то это точ­ ка согласована с ср.

Совокупность всех точек, согласованных с ср, являет­ ся, как нетрудно проверить, выпуклым незамкнутым конусом, содержащим внутренность конуса Кй.

§ 10. Х А Р А К Т Е Р И С Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Т Р А Е К Т О Р И Й

ВНЕКОТОРЫХ К О Н К Р Е Т Н Ы Х МОДЕЛЯХ

Вэтом параграфе мы исследуем оптимальные траекто­ рии некоторых конкретных моделей экономической ди­ намики. При этом существенно используются результаты,

полученные

в

предыдущих

двух

параграфах.

1. Модель

Неймана — Гейла. Рассмотрим модель Ней­

мана — Гейла Z, определяемую производственным отоб­

ражением

а: К ->- П

(i?+)

(где

К

— Ргх Z — выпуклый

замкнутый

конус,

содержащийся

в

7?"). Как уже было

отмечено в § 5, траекторией модели Z называется после­

довательность

% =

(xt),

удовлетворяющая соотношениям

(xt, х1+1) ЕЕ Z

(t =

0, 1, . . .) или, что то же самое, соотно­

шениям xt ЕЕ К,

х1+1

ЕЕ а (ж,). Конечная последователь­

ность хт =

(^i)[%i члены которой удовлетворяют тем же

соотношениям, называется конечной (или, точнее говоря,

Т-шаговой)

траекторией

рассматриваемой

модели.

 

Наряду с моделью Z рассмотрим дискретную

техноло­

гическую модель второго

рода

 

 

 

 

 

 

*»z = {Е,

(X,)leE,

(Kt)lsE,

К , ) ( х > 1 ) е 1 г } ,

(ЮЛ)

где Е — множество неотрицательных

целых чисел, К0

=

= К, . Kt

= а'(К)

П Kit

= 1 , 2 , . .

.),

Xt =

K t -

К,

180

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е

Т Р А Е К Т О Р И Й

[ Г Л .

Ш

(t =

0, 1, 2, . . .); если (т, t)

ЕЕ Е и а; ЕЕ К,,

то ат , t (х)

=

=а-'

Отображения ат,;, как нетрудно

проверить,

супер­

линейны. Покажем,

 

что

семейство (ат ,,)( 1 . (

)

& g удовлетво­

ряет

условию

согласования.

Пусть

t <

£' < 2". Прове­

рим, что

отображения а,», , и аг », /' ° я-с, < совпадают на ко­

нусе

а1 (К)

,П К.

В

самом деле,

пусть

у ЕЕ «/",; (ж)

(х ЕЕ

ЕЕ а1

(К)

П К).

Тогда у ЕЕ а}"~1

(х),

н

потому

найдется

i''-шаговая

траектория

(х0,

хх, . .

.,

xt,

 

. . .,

xv, . . .

. . ., xi»)

модели Z такая, что xt

= х,

х(-

=

 

у. Элемент х^

входит в конусы К

и а''

(К),

т. е. xt> ЕЕ Kf.

Кроме

того,

xt' ЕЕ а{'-'

(х)

 

и у ЕЕ a'"-1'

(xt').

Это показывает,

что

спра­

ведливо

включение

я-rv 0е ) С a r , r ° ai',i

(х)- Подобным

же образом проверяется обратное включение. Итак,

су­

перлинейные отображения a( »l f и

a(«tf°at'A

 

 

совпадают на

конусе а1 (К)

П К;

 

отсюда

следует,

что

они

совпадают

и на замыкании Kt

 

этого конуса.

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно, что пучок траекторий модели ?KZ

совпадает

с совокупностью

всех траекторий модели

Z.

 

 

 

Для изучения конечных (Г-шаговых) траекторий моде­ ли Неймана — Гейла можно привлечь дискретную модель

первого

рода

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ml

= { { 0 , 1 , . . . ,

г ] , ( х ,)£.„,

(K,)Lo,

(я,.«)о<«<т<т},

где

пространства

Хи

конусы

К,

(t <

Т)

и

отображения

о Т ) ,

(t <Z т <

Т)

таковы же, что

и в модели

(10.1):

 

 

Кт

= ат {К),

Хт = КТ

— Кт,

aTft

=

а?-1.

Сказанное позволяет естественным образом определить в модели Неймана — Гейла те объекты, которые рассмат­ ривались в технологических моделях. В частности, будем говорить, что траектория (конечная траектория) модели Z обладает каким-либо свойством (оптимальностью, до­ пускает характеристику и т. д.), если она обладает этим

свойством,

как траектория

модели

Шг (модели

SKz).

Эти определения

согласованы

в том

смысле, что

если

Г-кусок траектории % модели Z обладает одним из рассмат­

риваемых

свойств

в смысле модели

5Rz, то он

обладает

этим свойством и в смысле 93JzВсе

результаты

первых

двух параграфов этой главы, относящиеся к технологичес­ ким моделям, справедливы и для модели Z. (Формулируются

Смотрите также файлы