Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

§ 10] Т Р А Е К Т О Р И И В К О Н К Р Е Т Н Ы Х М О Д Е Л Я Х 181

они в терминах модели 93?z (или СК1); поскольку, однако> связь между производственными отображениями моде­ лей Z и Ш% достаточно проста, зти результаты нетрудно перевести на язык модели Z.)

Отметим, в частности, что из каждой точки х конуса К исходят оптимальные траектории (см. лемму 8.1). Если

ектория, исходящая из х, допускает слабую характерис­ тику.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как Z — многогранный конус, то конус ZT — график отображения аТ (Т = 1, 2, . . .) — также многогранен. Непосредственно из опре­

182 О П Т И М А Л Ь Н Ы Е Т Р А Е К Т О Р И Й [ГЛ. Ш

Таким образом, траектория % удовлетворяет необхо­ димому и достаточному условию характеристики (теоре­

первой части, что каждый Г-кусок % допускает характе­ ристику. Для завершения доказательства осталось сос­ латься на теорему 9.6'.

наибольший интерес с экономической точки зрения пред­

Эти траектории будем называть слабо Я^-оптималъными. Если, кроме того, хотя бы при одном /, удовлетворяющем равенству (10.5), выполняется неравенство / (хт) > 0, то траекторию % назовем Щ-оптпималъной. Интерес к

184 О П Т И М А Л Ь Н Ы Е Т Р А Е К Т О Р И И [ Г Л . I I I

Ф = (/,)iLo такую, что /, ЕЕ (it1™)*. Действительно, траек­ тория %2, рассмотренная в примере, исходит из внутрен­ ней точки конуса X и потому допускает характеристику ф = (/0, /ц/о). При этом функционал fx обладает тем свой­ ством, что fx (хх) = max fx (у). Все функционалы, обладаю-

щие этим свойством, не принадлежат конусу (i?+)*. Представляет интерес описать те модели Неймана —

Гейла, в которых Л+-оптимальные Г-траектории обладают «хорошими» свойствами. Одна из этих моделей рассмат­ ривается в следующем пункте.

3.Правильная' модель Нейиаиа — Гейла. Модель

чения траектории правильной модели можно использо­

пучок траекторий которой совпадает с совокупностью всех

Это простое замечание позволяет легко установить спра­ ведливость следующих утверждений.

1)Для Д"-оптимальных Г-шаговых траекторий пра­ вильной модели Неймана — Гейла Z выполнен принцип оптимальности.

2)Из каждой точки х конуса R\ исходит Д"-оптималь- ная траектория модели Z (т. е. траектория, обладающая

тем свойством, что каждый ее Г-кусок Л"-оптимален).

3)Если Л""оптимальиая траектория % исходит из

ристику ф = (/() такую, что ft ЕЕ (#+)*.

4) Если Z — модель Неймана, то каждая /^-опти­ мальная траектория %, исходящая из точки х, для которой а1 (х) Ф {0} при всех t Ф 0, допускает слабую характе­ ристику ф = (/() такую, что /, £5 (i?+)*; каждая ^ - о п ­ тимальная Г-шаговая траектория, исходящая из х, до­ пускает характеристику, обладающую тем же свойством.

4. Модель типа Неймана — Гейла. Рассмотрим дина­ мическую модель нестационарной экономики, функцио­

на — Гейла понимают модель, определяемую лишь конеч­ ным числом конусов (см. § 5); эта модель, однако, очевид­ ным образом вкладывается в определенную выше, и мы ее отдельно не рассматриваем.) Траекторией модели Ней­

логическую модель второго рода, пучок траекторий ко­ торой совпадает с совокупностью всех траекторий рас­

можно использовать правильную технологическую мо­ дель второго рода, построенную так же, как и в п. 3.

Модель Неймана — Гейла является частным случаем модели типа Неймана — Гейла (в этом случае последо­ вательность (Zt) постоянна). Исследуя траектории модели Неймана — Гейла, мы по существу нигде не использо­ вали ее специфику (т. е. постоянство последовательности (Zt )), поэтому все результаты пп. 1 — 3 верны с естествен­ ными оговорками и для случая модели типа Неймана — Гейла.

5. Модель, функционирующая в непрерывно» времени. Траектории рассматриваемой модели определяются с помо­ щью дифференциального включения вида х Ez а (х) — х. Покажем прежде всего правомерность такого определения с помощью предельного перехода для последовательности моделей с дискретным временем, когда временной интер­ вал между двумя смежными моментами стремится к нулю.