Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

186

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е Т Р А Е К Т О Р И И

[ Г Л . Ill

Рассмотрим

модель Неймана — Гейла,

задаваемую

женной

в § 5,

вектор

(х,у) ЕЕ Z представляет

собой

процесс

переработки

набора «продуктов» х в набор

у за

единицу

времени.

Предположим,

что

этот

процесс переработки продук­

/

1\

т—1

1

1М

_

1/т

~~У

Х

где

(х

(t), у)

ЕЕ Z.

у — х,

Переходя к пределу при т

со, получаем х =

где

(х,

у) ЕЕ Z или, что то же самое,

х ЕЕ а (х)

— х.

Дадим теперь точное определение модели с непрерыв­

странстве

R71 норма введена следующим

образом: |х| =

= 2

Рассмотрим

промежуток

[О,

Т]

и каждому

t ЕЕ [О,

Т] поставим

в соответствие отображение

at ЕЕ

ЕЕ А (Д™, 2?") и линейный оператор

В{:

R"

Rn.

Счи­

таем, что почти при всех t

\at\

+ \Bt\kc

<оо.

(10.6)

и ЕЕ о, (и) — Btu

(t ЕЕ [0, Л ) .

(10.7)

i iel

Т Р А Е К Т О Р И И

В К О Н К Р Е Т Н Ы Х

М О Д Е Л Я Х

189

Из замкнутости отображений аг теперь следует справедливость

соотношения

z (О

S

at

(и (0) —

Bt

и

(г).

(10.10)

Таким образом,

функция

и:

(

и

(£) =

а; + ^ г (т) fit,

!'

почти при всех t

удовлетворяет включению (10.10). Так как г = й и

нроме того, и (t)

^ 0 при всех t, то эта фупкция является траекто­

рией включения (10.7) на промежутке [£', I"].

Тем самым замкнутость

множества

S2 доказана.

С л е д с т в и е .

Выпуклый

конус

Q слабо

замкнут.

Пусть

/ЕЕ

(#+)*.

Траекторию

и

включения

(10.7)

назовем

оптимальной

(в

смысле

/),

если / (и

(Т))

> 0

и / (и(Т))

> / (у (Т))

для любой траектории гу этого вклю­

чения, исходящей из точки и (0).

Для изучения оптимальных

траекторий дифференци­

Ж = {[0, Т], (Xt)0<t<T,

(JT,)o«<r,

(ar.rW<r«T}.

(10.11)

Здесь Xt есть подпространство

пространства Rn,

натяну­

ляется так: г ЕЕ It

тогда

и только

тогда,

когда найдется

траектория и включения

(10.7) такая, что и1

(t)

>

0 (0 ^

<

t <

Т),

Kt

=

R+ f]Xt

(0 <

t <

Г) ;

отображение

а,»,определено

следующим образом:

точка

х"

входит

в а,", 1> (х')

тогда

и только тогда,

когда

х"

ЕЕ

i f г

и

най­

дется

траектория

и

включения

(10.7)

на

промежутке

W,

П

такая, что и (Г) =

ж', к (t")

=

ж".

Проверим, что

объект

(10.11)

действительно

являет­

ся

технологической

моделью.

Покажем сначала,

что

аг,г£=А

(Кг,

Кг).

1) Для любого

ж ЕЕ Kf

множество aj», с

(ж) непусто;

это следует из условия (*).

Кроме того, ar, г (ж') CZ

Кг.

2)

Отображение

с

вогнуто

и положительно

одно­

3)

ar, г — гейловское отображение;

действительно,

если

и — траектория включения (10.7)

на промежутке

[f, t"]

и и (f) = 0, то, как следует из леммы 10.1, и (t") = 0.

4)

at",i> — замкнуто.