Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 162

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

190

ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ

[ГЛ. III

Пусть

xf t e= K t ' , хк

- » х, ук е

(ж/с), Ук - » !/• Найдем траек­

тории itfc

включения

(10.7) на отрезке

[t', г"] такие, что

щ. (i') =

=xji, u/j (г") = Из формулы (10.9) легко следует ограниченность

последовательности ( « k )

в пространстве Ь\,

 

стало

быть,

из

этой

последовательности

можно

выбрать слабо

сходящуюся

подпосле­

довательность

 

Пусть

 

l i m их

 

=

 

 

2. Тогда

последовательность

((xkh

aft/)) слабо сходится в пространстве Л 1 1

X

L\

К элементу (ж, г).

Следствие из леммы

10.2 показывает,

 

что функция

и:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(t)

=

x+^z(x)d%

 

 

 

 

 

 

 

 

( t e [*',*']).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

является

траекторией

 

включения

 

 

(10.7)

на

[z', <"].

Так

как

((sjcji

ftk;))

~* ((я, z))

в

смысле

 

слабой

сходимости, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У*1 = --1- + ^

й

л, (

f

)

d T

-»

х

 

+ §

z

М

d T ;

 

 

 

 

 

 

 

 

г

г

 

с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с

 

 

 

 

 

 

 

т. е.

—» I/. Мы показали, что

 

 

j/ €Е а г

,» (я); тем самым замкнутость

отображеппя at„ г

доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

аг,г (Кг)

[\ hit

 

Кг-фф.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xt«

Действительно,

 

из

 

определения

пространства

 

легко следует, что для каждого

 

i ЕЕ If

найдется траекто­

рия щ включения (10.7)

на

[f,

 

t"] такая, что

и\ (t")

>

0.

Траектория и = 2

 

ut

 

этого включения на W,

t"]

обладает

 

 

 

i

 

и

(t")

 

 

 

 

 

 

 

 

Kt.

 

 

 

 

 

 

 

 

тем свойством,

что

ЕЕ i n t

 

 

ar<

г

ЕЕ. A

(Kt-,

 

Kt«).

Мы проверили таким

образом, что

 

Непосредственно из определения вытекает, что семейство («г, г)о<с<("<г удовлетворяет условию согласования. Это и означает, что объект (10.11) является технологической моделью.

Каждая траектория включения (10.7) является траек­ торией модели 9К. Обратное, к сожалению, не имеет ме­ ста (ибо траектория модели SK не обязана быть абсолют­ но непрерывной (и даже непрерывной) функцией). Тем

не менее имеет место

 

 

Т е о р е м а

10.2. 1)

Пусть точка х ЕЕ R+

такова,

что ат,о (х) =j= {0}. Тогда

из этой точки исходит

опти­

мальная траектория включения (10.7).

 

2) Каждая

оптимальная траектория этого включения

является оптимальной траекторией модели 50}.

 

§ 10] Т Р А Е К Т О Р И И В К О Н К Р Е Т Н Ы Х М О Д Е Л Я Х 191

Д о к а з а т е л ь

с т в о .

Пусть

функционал

/ ЕЕ

Ez (R+)* таков, что

max

/ ( у ) > 0 .

Найдем

точку

у ЕЕ

ЕЕ а-г,о (х),

в которой достигается написанный выше мак­

симум. По

определению

множества

а-г,0(х),

найдется

траектория

и включения

(10.7), для

которой

и (Т)

= у.

Ясно, что и — оптимальная траектория включения (10.7). Мы доказали первую часть теоремы. Заметим теперь, что

модель 90? правильна,

и

потому (см. предложение 8.6)

траектория % = (£()<х«т э

т ° й модели оптимальна тогда и

только тогда, когда найдется функционал f,

определен­

ный на пространстве

X,,

положительный на

конусе Кт

и такой, что

 

 

 

 

 

 

f(xT)=--

max

/0/)>0.

 

 

 

 

 

 

 

W=aTfi(x)

 

 

 

 

 

 

 

Функционал / очевидным

образом допускает

распростра­

нение до

функционала / ЕЕ (R+)*.

Отсюда и следует вто­

рая часть

теоремы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С л е д с т в и е .

Для

оптимальных траекторий вклю­

чения (10.7)

верен

принцип

оптимальности (иными

сло­

вами, если и — оптимальная траектория включения

(ЮЛ),

то при любом £ЕЕ [0, Т]

найдется

функционал f ЕЕ (R+)*

такой, что f

(и

(t))

> 0

и f

(и

(t))

>

/ (v (t))

для

любой

траектории

v включения (10.7)

на

промежутке [0,

t]).

С помощью

модели 59? для

оптимальных

траекторий

включения

(10.7) можно

доказать следующую

теорему о

х арактеристике.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

10.3. Пусть

х > -

0,

/ ЕЕ (R+)*

и

и —

траектория включения (10.7), исходящая из точки х и оп­

тимальная в смысле /. Тогда

найдется функция g : [0, Т]-*-

->• (R+)*

такая, что

 

 

 

а) для любой траектории

и включения (10.7)

-j£ g

(t)

(и (t))

^

0 почти для всех

t ЕЕ [0, Т],

б) ^g

 

(t)

(и (t)) =

0 для

всех t ЕЕ [0, Т],

в) g

(t)

ф

0 (* ЕЕ [0, Tl),

g (Т) =

/.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из теоремы 9.2 следует, что

существует функция g: [0, Т] -*• (Rty*

такая, что а) функ­

ция hu:

t ->

g (t)

(и

(t)) убывает для любой траектории и

192 О П Т И М А Л Ь Н Ы Е Т Р А Е К Т О Р И И [ГЛ. I I I

включения (10.7), б) функция h- постоянна, в) g (Т) = /,

g

(t) =f= 0 (t ЕЕ [0, Т]). Так как функция hu монотонна,

то

она почти всюду на [0, Т] дифференцируема, причем ее

производная неположительна во всех точках, в которых

она существует; кроме того, h- (т) = 0 для всех и ЕЕ [0, Т]. Теорема доказана.

З а м е ч а н и е 1. Дифференциальное включение (10.7) можно рассматривать как некоторый аналог задачи оптимального управле­ ния. При этом теорема 10.3 играет роль принципа максимума Л . С. Понтрягпиа, а функция Н (g, и):

И ii, и) (*) = 4ге (*)"(*)>

—

роль гамильтониана, участвующего в формулировке этого прин­

ципа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З а м е ч а н и е

2. Пусть отображения

at

и

операторы В{

(t

€5 [0, Т])

обладают тем свойством, что Bt х

S at

(х) при любом

х

£= Л" . Тогда функция g,

фигурирующая в теореме, почти

всюду

 

+

^

 

0 почти при всех t.

Для доказательства

дифференцируема и — g ^

 

 

at

 

 

 

 

 

 

 

достаточно

заметить,

что функция

ан : t —> е\,

где ei — (0, ... ,0,

1, 0, ... ,0) (i = 1, ... ,п) является

траекторией

включения

(10.7).

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отметим еще, что при сделанном предположении включение

(10.7)

удовлетворяет условию (*).

 

 

 

 

 

§ 11. ОБОБЩЕННАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

1. Определение модели. Оптимальные траектории.

Обобщенной технологической моделью будем называть объект

 

 

Ж = {Е, (XT)TEB,

(Kt)leE,

(О,А,ШЕ)>

 

(11-1)

где

множество

индексов Е,

 

пространства Х(

и

конусы

Kt

(t ЕЕ Е)

таковы же, что и в технологической

модели,

ат > 1

— отображение конуса

Kt

в П (Кх),

обладающее все­

ми

свойствами

суперлинейного, кроме,

может

быть, по­

ложительной

однородности.

Считаем,

что

семейство

(ат,|)(т,<)(=Ё

Удовлетворяет условию

согласования (8.1).

В дальнейшем будем рассматривать только обобщенные

модели

первого рода

(иными

словами,

считаем,

что

sup Е=ТЕЕЕ).

Траекторией

обобщенной

модели

(11.4)

назовем

семейство % = (xt)lSE

такое,

что xt ЕЕ Kt

(t ЕЕ

ЕЕ Е), хх

ЕЕ аТ ) , (xf) ((т, t) ЕЕ Е). Теорема

8.1 (о сущест­

вовании

 

траекторий

технологической

модели) остается

§ 11] О Б О Б Щ Е Н Н А Я Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К А Я М О Д Е Л Ь 193

справедливой и в нашем случае, ибо при доказательстве

этой

теоремы положительная однородность отображений

а Т ) (

не использовалась.

Понятие оптимальной траектории можно ввести в обоб­ щенной модели таким же образом, как и в обычной. Для этого следует прежде всего определить подмодель обоб­ щенной модели Ш, порожденную точкой х из К0. Это можно сделать точно таким же способом, как и в п. 4 § 8. Все результаты этого пункта остаются (с естественными оговорками) справедливыми и в рассматриваемой ситуа­ ции; при этом вместо положительной однородности отоб­

ражений ах>1 следует использовать включение aXlt

(kx)ZD

ZD XaXtt (ж), справедливое при ХЕЕ (0, 1) и xEzKt

в силу

предложения 4 . 1 . Заметим

еще, что при доказательстве

предложения 8.3 (и, стало

быть, предложения 8.3') поло­

жительная однородность отображений a T ) i не использо­ валась; поэтому определение оптимальности в обобщенной модели можно сформулировать следующим образом:

траектория % = (ж,)( е д

модели

(11.1), исходящая из точ­

ки х такой, что ат,0 (х)

ф {0},

называется оптимальной,

если||а;т[|по;г 0 ( Х )

= 1. (Из предложения 4.6 следует, что мно­

жество ах,о (х)

— выпуклый компакт, и потому имеет

смысл говорить о его нормальной оболочке. Как показы­ вают приведенные выше рассуждения, данное определе­ ние согласуется с определением оптимальности в обычной модели.)

Доказательство предложения 8.4, утверждающего, что траектория % = (xt)lf=E технологической модели опти­ мальна тогда и только тогда, когда х0 является граничной снизу точкой множества (лат.о)- 1 (^т). существенно ис­ пользует положительную однородность отображения ат,0 и потому в нашем случае теряет свою силу. Приведен­ ный ниже пример показывает, в частности, что для траек­ торий обобщенной модели это предложение, вообще гово­ ря, неверно.

В свою очередь при доказательстве принципа оптималь­ ности для технологической модели (теоремы 8.2) исполь­ зовалось лишь предложение 8.4, откуда следует, что и это доказательство теряет свою силу в рассматриваемой ситуации. Приведем пример, показывающий, что для оптимальных траекторий обобщенной модели принцип оптимальности, вообще говоря, неверен.

7 В. Л. Макаров, А. М. Рубинов

194

 

 

 

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е

Т Р А Е К Т О Р И И

 

 

1ГЛ. I I I

 

П р и м е р .

Рассмотрим

обобщенную

модель

 

 

 

где

Е = {О,

1, 2}, Х с

=

Хг = Х2

=

 

Л 2 ,

# 0

=

Кг

=

К2

=

R%.

 

Для 1 б й + а

положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«1.0

(i) =

{г 6

 

Д+ | г <

a;}. a 2

l l

W

 

=

 

+

*2£.

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{г G

Я

| zi <

.ri,

z 2

=

 

0},

 

если

я а < 1 ,

 

 

 

 

 

{ z

e

i

f l z ^

l ,

z 2

=

0},

 

если

* i > l ,

 

а через g обозначен квадрат с вершинами

 

в

точках

(0, 0);

(1, 0);

(1,

1); (0, 1). Положим

также

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а2,о(х)

=

о,,! (i) =

a 2

l l o a i l 0

(я)

(х

£

R*).

 

 

 

 

Нетрудно проверить, что отображения

а 1 ) 0

и а2л вогнуты,

замк­

нуты, и являются гейловскнми. Кроме того, аъ0

(Д+)=а2 >о (Я

 

Из сказанного следует, в частности, что

5Ш — обобщенная

техно­

логическая

модель.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

точку

х =

(2, 0)

из

 

конуса

R % и

траекторию

% =

(*о. хъ

х2)

(z 0

=

(2,

0), zj =

ха

=

(1, 0)) модели 5Я,

исходящую

из

точки х.

Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

I H | a 2 . 0 < * . ) = 1 ' I * i a i , <,(*«>= ~ 2 ~ '

Таким образом, для траектории % не выполняется припцип оп­ тимальности.

2. Принцип оптимальности. Наша ближайшая цель заключается в том, чтобы выяснить условия, при которых можно гарантировать выполнение принципа оптимально­

сти.

Предварительно введем одно

определение. Если

а ; Кг

-*• П (К2) вогнутое, замкнутое,

гейловское отобра­

жение, то отображение па, определенное формулой па (х) = = п (а(х)), назовем нормальной оболочкой а. (Из предло­ жения 4.6 следует, что множество а (х) — выпуклый компакт, поэтому данное определение имеет смысл; если а суперлинейно, это определение совпадает с приведенным ранее (см. п. 6 § 4).) Отображение па является гейловским. Из ограниченности а (см. предложение 4.6) легко

вытекает замкнутость

па. Покажем,

что па — вогнутое

отображение. В самом

деле, если хх,

х2 ЕЕ Кх, а + В =

Смотрите также файлы