Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 161

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 11] О Б О Б Щ Е Н Н А Я Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К А Я М О Д Е Л Ь 195

= 1, а, 6 > О, то

 

 

 

па (ахх +

6ж2) ZD п (аа (хх)

+ 6а (ж2)) ZD п (аа (хх)) +

 

-Ь п (6д (ж2)) =

агаа (хх) + бпа (ж2).

Пусть

теперь ах\ Кх

-> П (Z 2 ),

а2 :

->- П (К%) —

вогнутые замкнутые гейловские отображения. Покажем, что

па2 о пах — п(а2 ° ах).

Поскольку (предложение 4.10) отображение па2 воз­

растает*) и, кроме

того,

 

па1{х)=

U <0,гу>

{ХЕЕКХ),

 

уещ (х)

 

то па2(пах (х)) — па2 (ах (х)), иными словами, паг°пах. =

=7ia2 ° ах.

Непосредственно из определения нормальной оболочки

отображения следует,

что паг

° ах

=

п (а2 ° ах), откуда

вытекает наше утверждение.

 

 

 

 

 

Рассмотрим

наряду с обобщенной

моделью £9! объект

 

п№ =

{Е, ( Х ( ) ( е В ,

(Kt)l&s,

(na*.!)^,^}.

 

Мы показали по существу, что п 3R — обобщенная

техно­

логическая модель.

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

% =

(xt)teE—

оптимальная

траектория

обоб­

щенной

модели 3R. Будем

говорить, что эта траектория

обладает

свойством (А), если найдется

функционал / ЕЕ

ЕЕ К'т такой, что % оптимальна в смысле / и

 

 

/ ( ж т ) =

max / ( у ) < |

sup /(у).

 

Имеет место

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

11.1 ( п р и н ц и п

о п т и м а л ь н о ­

с т и ) . Пусть оптимальная

траектория

% = (ж,)

модели

5R обладает свойством (Л) и исходит

из внутренней точки

х конуса К0. Тогда

при любом х ЕЕ Е, х

0

 

 

 

 

 

\\Хч\\паХЛ{х)

=

1.

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Отметим сначала, что, в силу предложения 4.7, множества a t ) 0 (х) и ат,о (ж) содержат

*) Мы считаем, что в пространстве Хд введено отношение порядка с помощью конуса К 8 .

7*

196

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е Т Р А Е К Т О Р И И

[ГЛ . Ш

внутренние точки конусов Кх и Кт соответственно, а по­ тому] множества naXi0 (х) и пат,0 (х) телесны. Предполо­ жим, что теорема неверна. Тогда при некотором %

и потому, как легко следует

из

свойств

нормы \\-\\пах 0 (х

найдется внутренняя

точка

и

конуса

Кх такая,

что

хх -\- и принадлежит

внутренности множества пах 0

(х).

Покажем, что это противоречит условию теоремы. С этой

целью рассмотрим на конусе К х функционал

ср, положив

для у ЕЕ Кх

 

 

 

ф(г/) =

max

f{z),

 

zenaTtX(y)

 

 

где / — функционал из конуса Кт такой, что

0 ] < / Ы = max

/ ( * ) <

sup

f(z).

Такой функционал / найдется, так как % — оптимальная траектория, обладающая свойством (Л).

Отображение пат<х вогнуто, и потому функционал ср также вогнут. Если у ЕЕ пах,0 (х), то

пат,х {у) cz пат,х (nch,0 (х)) = пат,0 (ж),

и потому

Ф (у) =

max

/ (z)

max

/ (z)

=

 

 

2 S n o j x ( v )

 

zenaTj0(x)

 

 

 

 

 

-

max

f(z)

= f(xT)=

 

max /(z)

= ф(:гт ).

Таким

образом,

 

 

 

 

ф (у).

 

 

 

cp(a;t )=

max

(11.2)

В частности,

 

 

yenox,0(--c)

 

 

 

 

ф (жт +

и) sg: ф (хх).

(11-3)

 

 

 

Проверим, что

неравенство

<р(хх

+ и) •< ф (хх)

невоз­

можно. Для этого рассмотрим функцию Ф, определенную на неотрицательной полуоси следующей формулой ф(<%) =

= ф (хх

- j - аи) (а

> 0).

Очевидно, что ф — вогнутая

функция,

причем

ф (1) <

ф (0).

§ 11]

О Б О Б Щ Е Н Н А Я Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К А Я М О Д Е Л Ь

197

Из последнего неравенства вытекает, что при достаточ­ но больших а функция ф должна принимать отрицатель­ ные значения. С другой стороны, ср (а) = ф (хт + аи) > ^> 0. Мы показали таким образом, что

 

 

 

 

ср (ж* +

и) >

ф (жт).

 

 

 

 

(11.4)

Проверим

теперь,

что

ф (хх

+

и)

Ф

ф (хх).

Действи­

тельно, поскольку элемент хх

+

и является

внутренней

точкой

множества

пахл

(х),

то найдется

достаточно

ма­

лая окрестность нуля S такая, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

хх

+

и +

S d

naXl0

(х).

 

 

 

Предполагая,

что

ф (хх

+

и)

= ф (хх),

и

используя

(11.2),

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф (хх

+ и) =

max ф (х-* +

u +

s).

 

 

И Н Ы М И

словами,

ф достигает

в точке

хх

-f- и

локального

максимума;

так

как

ф — вогнутый функционал, то

 

Ф (хх +

и) =

max ф (х-: +

и -f- s) =

sup

ф (у) —

 

 

 

 

 

=

sup

 

 

max

/(z) =

sup^

/(z).

Так как % обладает свойством (Л), то

 

 

 

 

 

 

/(*т) = ф Ы <

 

sup

 

/(//) =

 

sup

f(y).

 

Функционал ф полунепрерывен сверху. Используя это обстоятельство, можно считать, не умаляя общности, что элемент и выбран настолько малым, что

Ф (жт + и) <

sup / (у).

 

 

 

Это неравенство,

однако,

противоречит

 

полученным

выше соотношениям. Таким

образом, ф (хх

+

и)Ф

ф (.гх ).

Учитывая (11.4),

имеем ф (хх + и) ^> ф (хх),

 

что

проти­

воречит (11.3). Полученное противоречие

и

доказывает

теорему.

 

 

 

 

 

З а м е ч а н и е .

Пусть Ш

— модель, рассмотренная в примере

предыдущего пункта, ЯЯ*0 — подмодель этой модели, порожденная

198

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е Т Р А Е К Т О Р И И

[ГЛ . I

точкой х0 = (2, 0). Траектория %, фигурирующая в этом примере, удовлетворяет относительно модели ЯЯ1"0 всем условиям теоремы, за исключением условия (Л), но тем не менее для нее не выполнен прин­ цип оптимальности. Таким образом, условие (Л) существенно для справедливости теоремы.

3. Суперлпнейное расширение. Для того чтобы исполь зовать при изучении оптимальных траекторий обобщенной модели методы двойственности, введем специальную кон­ струкцию, которая позволит нам применить к некоторым неоднородным отображениям теорию суперлинейных ото­ бражений.

Через В (Кх,

К 2

)

обозначим совокупность

всех вогну­

тых замкнутых

гейловских отображений а конуса КХ

в

П (К2),

обладающих

тем свойством, что а (КХ)

f] int К2

ф= Ф-

(Здесь КХ иК2

— выступающие воспроизводящие конусы в

пространствах

Хх

и

Х2

соответственно.)

 

 

 

 

 

Пусть

а ЕЕ В (Кх,

А%),

Z

— график

отображения

а.

В пространстве

(Хх

X R1)

X

(Х2 х

R1)

рассмотрим

мно­

жество

Z„,

состоящее

пз

элементов ((х,

р.), (у,

%)),

где

(х, у) Ez Z,

р. =

1,

X ЕЕ

[0,1] . Коническая оболочка Со

(Z0)

множества

Z0

является

графиком

некоторого

положи­

тельно однородного отображения а„, замыкание которого и будем использовать при изучении отображения а. Как

следует из сказанного выше, отображение

а0

определено

па

незамкнутом

конусе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{0}

(J О ,

V) €Е Хх

X R1

| х ЕЕ

КХ,

и. >

0}.

 

 

Прп этом а0 ((х,

1))

=

а (х)

X

10, 1]

(ХЕЕКХ).

 

Так

как

а0

положительно

 

однородно,

то для

х ЕЕ КХ,

и. ^> 0

 

a 0 ( ( « , u ) ) = = ( * e o ( ( y - , l ) )

 

= l * f l ( f - )

X

[0,|i]. (11.5)

 

Прежде чем перейти к точным определениям, введем

некоторые обозначения; а именно, положим

 

 

 

Хх = Хх

х Д \ Хг

=

Х2

х R\ t x

 

= Kxx

R\, К2

=

К2Х

Rl.

 

Пусть

а ЕЕ В (КХ,

К2).

Отображение

а: КХ

->- П (К2)

назовем

суперлинейным

расширением

отображения

а,

если а суперлицейво

(точнее говоря, а ЕЕ

А

(Йх,

Ё2))

и,

I 11]

О Б О Б Щ Е Н Н А Я Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К А Я

М О Д Е Л Ь

199

кроме того,

 

 

 

 

 

 

 

 

a ((ж, u.)) = pa

X [0, [x]

((ж, р) ЕЕ Кх,

|i > 0).

 

 

П р е д л о ж е н и е

11.1. Каждое

отображение

а ЕЕ

ЕЕ

JB ( i f D'; i f 2 ) допускает

суперлинейное

расширение;

при

этом суперлинейное расширение

единственно

и совпадает

с

замыканием *) а0

отображения а0 , определенного форму­

лой

(11.5).

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . 1) Рассмотрим

отображение

а0

и покажем, что

замыкание а0

этого

отображения

яв­

ляется требуемым суперлинейным расширением. Прежде

всего проверим, что а0

определено

на всем конусе

Кх,

т. е. для любого

ж ЕЕ i f i

множество

а0

((х, 0)) непусто. В са­

мом деле,

пусть (Хп)

— последовательность положитель­

ных чисел,

 

стремящаяся

к нулю. Положим X = max

Хп

и будем считать, что X ^

 

 

 

 

 

 

71

 

1. Имеем, используя

предложе­

ние 4.1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а0

((х, Хп)) =

 

Хпа

(-£-)

X [0, Хп]

с. а (х) X [0, Xn]cz: а (ж) X [0, X].

Выберем из

множества а0 ((ж, Хп)) элемент (уп,

р п )

(п

=

=

1, 2,...),

 

из последовательности ((уп,

ц.п)) выберем под­

последовательность ((ущ,

и,лг)),

сходящуюся к

элементу

(у,

р.). (Это

возможно, так

как

множество а (ж) X [0, X]

компактно.)

Очевидно, что (у, и.) ЕЕ

ай

((ж, 0)). Таким

об­

разом, отображение а0 определено на

всем конусе

Кх.

 

Покажем теперь, что

 

 

 

 

 

 

 

 

«о ((г, V)) =

«о {{х, и.)) =

|ха [-yj

X

[0, и]

(ж ЕЕ Кг,

и >

0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.6)

Пусть (у, X) ЕЕ а„ ((ж, и.)). Тогда

найдутся последователь­

ности ((уп ,

X.n)) и ((жп , р п ) ) , для которых выполняются со­

отношения

(уп,

Хп) -+

(у, X),

(хп,

цп)

->- (ж, и.); (уп,

Хп)

ЕЕ

ЕЕ

а0 ((ж„,

р п ) ) .

Последнее включение

равносильно

соот­

ношениям уп

ЕЕ

u,„a^-j^-^ ,

ЕЕ

[0, U.J. (Мы считаем, что

t i n ^>.0 при всех п.) Используя замкнутость отображения

*) Напомним, что а 0 определяется как отображение, график которого совпадает с замыканием графика я0 .

Смотрите также файлы