Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

а, получим,

что

у ЕЕ p,a(-jj-j; кроме

того,

X ЕЕ [0, р].

Таким образом, а0

((ж, p.)) c i а0 ((ж, р.)).

Обратное включение

очевидно.

а0 совпа­

Как отмечалось выше, график отображения

дает с конусом Со (Z0),

где

Zo = {((г, Ц),

М) е Arx X Хг | (ж, г/) ЕЕ Z, р =

1,Х ЕЕ [0, 1]

(здесь Z — график

отображения а). График отображения

а0 — множество Со (Z0 )

— представляет

собой

выпуклый

жительно

однородное

замкнутое

отображение.

Если

х ЕЕ Ку, р ^> 0, то множество о 0 ((х, р)) ограничено;

при­

влекая

предложение 4.3, получим

отсюда, что а0 — гей-

ловское

отображение. Наконец, из соотношения а (Ку) f)

П i n t K2=j=

ф легко

следует, что

а0 (Кх) f] i n t К2

=j= ф.

{(ж, р) ЕЕ Кх\ р ^> 0},

то относительные внутренности r i Zx

и r i Z 2

этих

множеств

также совпадают. Последнее озна­

чает,

что Zx

— Z2 .

Предложение доказано.

П р е д л о ж е н и е

11.2. Пусть

а ЕЕ В (Ку,

Кг)

и & — суперлинейное

расширение

отображения

а.

Тогда

для х ЕЕ Ку

а ((х,

0)) CZ а (х)

X

{0}.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

(у,

X) ЕЕ & ((ж,

0)).

Так

как

а (0)

=

{0},

то

а ((0,

1))

=

{0}

X [0,

1),

и

по­

тому

(0,

1) ЕЕ $ ((0,

1)). Учитывая, что отображение &

супераддитивно,

имеем

(у,Х +

1) CZ & ((х,

0)) +

а ((0, 1)) =

d ((ж, 1)),

откуда следует,

что у ЕЕ а (ж), X =

0.

О Б О Б Щ Е Н Н А Я Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К А Я

М О Д Е Л Ь

201

Предложение

доказано.

Следующее предложение показывает, что операции

произведения и перехода к суперлинейному

расширению

перестановочны.

11.3. Пусть

ах

ЕЕ В (Кг,

К2),

П р е д л о ж е н и е

а2 ЕЕ В (К2,

К3).

Тогда

а2°а.х =

&2°аг.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Отметим

сначала, что, как

следует из предложений 4.12, 4.6, 3.2, отображение

а2°ах

входит в В (Klt

К3),

и потому имеет

смысл

говорить о

суперлинейном расширении этого отображения.

1) Покажем, что

fl8"a1((a:Il))

= d a ou 1 (( a ; 1 l)) .

(11.7)

а) Пусть (у, X) ЕЕ а2°аг

(0е . !))• Тогда

X ЕЕ [0, 1]; кро­

ме того, у ЕЕ а2°а1 (х),

и

потому

найдется

z

из К2

та­

кое,

что у ЕЕ а2

(z),

z ЕЕ ах

{х).

Имеем

(У, Ь) ЕЕ &2 ((z, 1)) с

й2 (d, (х, 1)) =

а2ойх

((х, 1)).

Таким образом,

а2оах({х,

1)) с: &2°о\((х, 1)).

б) Пусть(г/Д)ей2 °а1

((х, 1)); тогда найдется (z, V ) E E # 2 ,

при

котором

(У, X) ЕЕ йв ((*, v)),

(*, v) ЕЕ йх ((ж, 1)).

Из

последнего

соотношения

вытекает,

что

z ЕЕ fl-aCz),

v ЕЕ [0, 1]. Предположим

сначала, что v

0. Тогда

J/EEva2 (-f),

l 6 [ 0 , v ] .

Так как

а2 (0) =

{0},

то, в силу

предложения 4 . 1,

« 2 ° « 1 ((я, М-)) =

&2°&1

({X, |l))

(Ll >

0).

3) Мы показали, что суперлинейные отображения

а2°ах

и й2°ах

совпадают

на

внутренности

конуса

Кх.

нейному

расширению.

П р е д л о ж е н и е

11.4. Пусть

а El В (Klt

К2).

Тогда

для (/,

с) ЕЕ

( W ,

*)) = {(*, с') е

£Е(^2 )* | / (я) + с

>

sup (g (*/) + с')

Зля

любого х ЕЕ /fi}.

уеа(а:)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

1) Пусть (g, с') ЕЕ (#)' ((/, с)).

Тогда

если х ЕЕ ЛГц то а ((х,

1)) =

а (х) х

[0, 1], и пото­

му

(/, с) ( ( * , ! ) ) >

sup

(§-,с')((г/Д)),

иеа(х), ?.e[o,i]

/(s) + c >

sup (*(у) +

С)-

(" - в)

уеа(.-с)

2)

Пусть

для любых

х ЕЕ # i

выполнено (11.8). Нам

надо показать, что для любого элемента z =

((ж, и.), (у, X))

конуса

Z — графика

отображения

а — имеет

место

неравенство

f{x)

+

c\L>g

(у)

+ с'К.

(11.9)

Так

как

этот

конус

есть

замыкание

множества

{((х',

и/), (г/', А,')) ЕЕ"2\|х' >

0}, то, не

умаляя

общности,

можно

считать, что ц. ^> 0. В этом случае

—

Е~а(—\,

§ 11]

О Б О Б Щ Е Н Н А Я Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К А Я М О Д Е Л Ь

203

3R =

{Е, ( Х , ) , е Е ,

(К,),еВ,

( < ъ Д т . , )

е Е }

и наряду с ней объект

Ж =

{Е, (XT)LGE,

{Kt)l&B,

(dt,«)( t i 0

d g }.

Из предложения

11.3 следует, что SR — технологическая

семейство

х =

(xt)ieE

является

траекторией

обобщенной

модели

50} тогда

и

только тогда,

когда

семейство %

=

=

((xt,

1))гей является траекторией модели СЮ.

Т е о р е м а

11.2. Пусть

х — внутренняя точка ко­

нуса К0

и % =

{Xt)t<=E

— оптимальная

траектория моде­

ли

59}, исходящая

из

точки

х

и

обладающая свойством

(А)

(т.

е.

существует /т ЕЕ К*т

такой,

что fr

(Зт)

<

<

sup

/ (у) и

х

оптимальна

в смысле /т).

Тогда

най-

дутся семейства ф =

(Jt)t<=E (/< ЕЕ Kt) и v

=

(vt) t<=M (S't —

неотрицательное

число) такие, что

а) для любой траектории

% =

{xt)tl=E

модели 5R

функ­

ция Лх ,

определенная на Е формулой

M 0

= ft(*t) +

v,

(tEEE),

убывает,

б)

функция h-

постоянна,

в)

fT

= fT,vT

=

Q,ftj=0

(t<=E).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

суперлинейное

расширение 59} модели 50} и траекторию

х

=

((xti

1) Ь &Е