Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

§ l i ]

О Б О Б Щ Е Н Н А Я Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К А Я М О Д Е Л Ь

205

(Л), то можно гарантировать лишь существование семейств {ft)teE

и

( v / ) J e E , удовлетворяющих условиям а) и б) и таких, что |[ ft || +

>

ф = (/;)(6=Е и

v = b>t)teE таких, что (Д., v T ) е

К.,)'(/,, v ( ) ((т, t) еTZ),

Последнее

означает, что неравенство

/,(*,)+ v,</,(*,) +

v,

Ж = { { 0 , 1 , 2 , . . .}, (Х,)/=о, (К,)Г=о, № о } ,

(11-12)

где пространства Xt

и конусы Kt

(t =

0, 1, . . .) таковы же,

что и в технологической модели, Qt

— выпуклое

замкну­

тое множество, лежащее в прямом

произведении Kt

X

X Kt+1

и обладающее следующими

свойствами: (0, 0) ЕЕ

ЕЕ Qu

(0, у) ф Qt

при y=h0,

Pr s Q 4 П i n t Kt+1

=f= ф. Че­

рез at

обозначим

отображение,

графиком которого

слу­

жит Q ( . Полагая

От,* =

a^°ax-i° • • • °at

(т^> t),

нетрудно записать модель (11.12) в стандартном виде

59? = {Е, ( X ( ) / e J J , (Kt)teE

(fl,.«)( T ,0 gg}

206

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е

Т Р А Е К Т О Р И И

[ Г Л .

Ill

Используя теорему 11.2, нетрудно дать характеристи­

ку конечных траекторий модели (11.12). С этой целью

прежде всего покажем, что отображения at можно рас­

пространить с сохранением их свойств на весь конус

Kt.

Пусть

а — точечно-множественное

отображение,

гра­

фик которого Q лежит в прямом произведении выступаю­

щих

воспроизводящих

замкнутых

конусов

К'

и

К".

Так же как и в случае отображений, определенных на ко­

нусе, отображение

а назовем вогнутым

(соответственно,

замкнутым), если Q выпуклое (замкнутое) множество; бу­

дем говорить, что а монотонно

(возрастает),

если из ус­

ловий

хг,

х2

ЕЕ

PrxQ,

хх

— х2

ЕЕ

К'

следует,

что

а

(хг)

ID

а [х2).

11.5. Пусть

множество Q, лежа­

П р е д л о ж е н и е

щее

в прямом

произведении

К'

х

К"

конусов К'

и

К",

является

графиком

вогнутого

замкнутого

монотонного

отображения

а, причем а (0)

=

(0)

и Pr2 Q f ] i n t i f " =j= <£>•

Тогда найдется

отображение

а ЕЕ В (К',

К"),

возраста­

ющее и такое,

что

а {х)

— а (х)

(х

ЕЕ

Ргх й).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

множество

Q

=

Q +

(К'

X

{0}). Так

как

(0, 0) ЕЕ

Q,

то при любом

z

ЕЕ

Я '

ЕЕ

а

(х)

=

{у ЕЕ

К"

|

(х,

у)

Q}

непусто. Таким образом, отображение а, графиком кото­

рого является

Q, определено на всем конусе К'.

Из вы­

пуклости множества

Q следует,

что это отображение во­

гнуто. Покажем, что

а — замкнутое

отображение,

иными

словами, проверим замкнутость й. Пусть {(хп,

уп))

ЕЕ

^

и

(з„,

Уп) -*• (я,

У)- Тогда хп =

хп

+

х"п,

где

(хп,

у„)

ЕЕ

U

и

х£ ЕЕ

К'-

Из

ограниченности

последовательности

((хп, уп)) вытекает

ограниченность

последовательностей

(aVi), (хп) и (уп).

Не умаляя общности, считаем, что после­

довательности

(sQ

и

(х'п)

сходятся

к элементам х'

и ж"

соответственно. В силу замкнутости Q справедливо вклю­

чение \х',

у)

ЕЕ

й; кроме того, х"

ЕЕ

К',

откуда и следует,

что (х, у) ЕЕ

Q-

Таким образом, отображение а замкнуто.

Очевидно,

что

а (К')

(~| i n t К"

=j= ф.

Покажем

теперь,

что

для

х ЕЕ

Prx Q

справедливо

равенство а (х)

— а

(х).

В самом деле,

включение а (х)

а а (х) очевидно.

Пусть

теперь

у ЕЕй(х).

Тогда

(х, у) = (х', у') + (х",

0), где

у' ЕЕ а (х').

Из сказанного следует, что у =

у', х — ж' ЕЕ

ЕЕ К'.

Так как

отображение а

монотонно,

то у ЕЕ а (х),

откуда

и следует нужное

нам

равенство. Из сказанного

вытекает,

в частности, что а — гейловское

отображение.

Проверим,

что а монотонно. В самом деле, если а; ЕЕ К',

то (х, 0) = (0,

0) + (х,

0) ЕЕ Й + (К' X { 0 } ) = Q, т. е.

f(xT)<

sup f(y).

у S Рга £JT

Тогда

найдутся

функционалы /0 , • • •, /т

и числа

v 0 , . . ., VT

(ft ЕЕ Kt*,

V i > 0 ,

t=0, 1, . . ., T) такие,

что

а)

/, (x)

+ v,>/, + 1 (y) + vl+1((x,

z/)EEQ„

1=0,1,...,

T-l),

б)

/, («i) + vt= ful

+ v , + 1

(t = 0 , 1 , . . ., T),

в)

fT = f,vT = 0,f,=l=0(t

=

0,l,...,T).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Наряду

с обобщенной

мо­

делью

(11.12) рассмотрим

обобщенную модель

ё Т = { { 0 , 1 , . . . , т}, (X,)L„, (Kt)L0,

(«C.«W<X<T},

((/t>

v i) ) такой,

что ft =

О, v ( = l при всех

t. Эта харак­

теристика не представляет интереса. Сказанное, в част­

ности, означает, что оптимальные траектории

модели S0J,

вообще

говоря,

не

обязаны

иметь характеристику

((/(> v t))i г Д е

ft =h 0, даже если они исходят из внутренней

точки конуса К0.

В связи с этим

охарактеризуем эти

траектории несколько иным способом, нежели употреб­

лявшийся

ранее.

Для этого

вернемся

к

конечным

оптимальным траекториям.

Пусть

% =

(S,)i=0 — ^-шаговая

траектория модели

3R и существуют семейства (/,)iL0

и (v,)/L0

такие, что при

всех t = 0, . . ., Т — 1

M * ) +

v , > / J + 1

( 0 ) + v , + 1

( ( X , I J ) E E Q , ) ,

(11.13

ft

(%i) +

v, =

(ж/ + 1 ) + v l + 1 ,

(11.14)

и,

кроме

того,

VT = 0. Используя

последнее

равенство,

можно из формулы

(11.14) найти числа v i 5 а именно,

V, = /T(ST)-//(«<)•

(11-15)

Вычитая из соотношения (11.13) равенство (11.14),

полу­

чим,

что при всех t и (х, у) ЕЕ &t

fi(x)-fdX,)>fl+1{y)-ft+1(Xl+l).

(11.16)

Обратно, если семейство (/i)<=0 таково, что при всех t

выполнено

(11.16),

то,

определив

числа

vt

формулой

допускает характеристику,

если найдется последователь­

ность ф = (ft)

(где ft ЕЕ Kt,

ft =j= 0) такая, что при всех

t =

0, 1, 2, . . .

ft И - ft (St) > fui (У) -

f!+i (s,+ 1 )

((х, у) ЕЕ Q,)

и,

кр ше того, ft (%t) >• 0. При этом

последовательность

Ф называется

характеристикой траектории х- (Если С31

является технологической

моделью

(т. е. множества Qt

суть конусы) и Pr2 Qj = Kt+l,

то это определение совпада-