Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 154

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 11] О Б О Б Щ Е Н Н А Я Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К А Я М О Д Е Л Ь 209

ет с определением характеристики, данным для техноло­ гических моделей.)

Нетрудно проверить, что траектория % обобщенной модели, допускающая характеристику, является оптималь­ ной. В самом деле, для каждого Г-куска этой траектории выполняется соотношение (11.15) и, стало быть, при со­ ответствующем выборе чисел v 0 , . . ., VT соотношения (11.13), (11.14). Из этих соотношений следует в свою оче­

редь оптимальность

траектории %.

 

Имеет место

 

 

 

Т е о р е м а 11.4. Пусть

обобщенная технологическая

модель (11.12) такова, что отображения at

(t = 0, 1, . . .)

монотонны. Пусть,

далее,

оптимальная

траектория

% = (Я( ) этой модели исходит из внутренней точки х ко­ нуса К0 и обладает следующим свойством: найдется на­ туральное Т такое, что при всех т > Т элемент хх не

является граничной

сверху

точкой множества Pr 2 Q T _ 1 .

Тогда траектория

% допускает характеристику.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из условия теоремы следует,

что т-кусок траектории % обладает при х > Т свойством

(Л).

Поэтому,

в силу

теоремы 11.3, найдутся семейства

(fJ)t=o

и

b>l)J=a,

для которых

выполнены

соотношения

(11.13),

(11.14)

или,

что то

же самое,

(11.16). Иными

словами,

 

 

 

 

/Г (*) — /7 («,) > У?+1 (у) — У7«

((z, т/) ЕЕ Q,; * = 0 , 1 , ... ,т - 1 ) .

Не умаляя общности, считаем ||/т|| = 1- Отметим еще, что, как легко следует из (11.13), (11.14), У-кусок %т траек­ тории х оптимален в смысле fr. Покажем, что при любом

г и любом t (Т ^

t <; т) найдется константа ct

(не зави­

сящая от т) такая, что || f || =sC ct.

В самом

деле, при

t = Т можно положить с( = 1. Предположим,

что при

некотором t^T

константа с( существует, и покажем, что

можно найти число ct+l,

обладающее

нужным свойством.

Так как х1+1

не является

граничной

сверху точкой мно­

жества Pr2 Q,,

то найдется элемент и ЕЕ i n t Kt+1

такой, что

£t+i + и ЕЕ Pr 2 Q t . Пусть элемент х ЕЕ Р г ^ обладает тем свойством, что (х, Я1+1 + и) ЕЕ й ( . Тогда

ft (х) - f (£,) > /7+1 + и) - fi+1

210 О П Т И М А Л Ь Н Ы Е Т Р А Е К Т О Р И И [ГЛ . I l l

т. е.

 

 

 

/7 ( * - * , ) > / ? „ (и).

(11.17)

Полошим

 

 

 

т. =

min

g (и).

geict+r

и с !i =

i

 

Так как и — внутренняя

точка

конуса

Ktn, то т > 0.

Используя (11.17), имеем

 

 

 

с, Их - г, ||> I/J Ц-Цг - г, || >П(х-

xt)

>

> /?«(") = ,r^K (u>' I II > m

I "'

II U+i II

 

откуда следует, что в качестве с,+ 1 можно принять число

с,

 

Т последовательности

-^-||ж —

Итак, при всех]

(ft)T=t ограничены. Используя обычным образом диаго­ нальный процесс, найдем последовательность (ft)tLr, для которой выполняются соотношения

 

/, (х) -

ft (Xt) >

ft+1

(у) -

 

(xt+1)

 

((х, z/) 6Е Q,).

 

При этом || /т || =

1- Покажем, что /< =^ 0 (г >

Т).

Дейст­

вительно, / т

ф 0. Предположим,

что ft ф 0 при некото­

ром

t~^* Т.

Тогда

если

ft+1

=

0,

то при

всех

х £Е Рг х Я г

выполняется /(

(х)

>

/t

(Xt).

В частности,

полагая а: =

0,

получим, что /(

(xt)

=

0. Заметим,

что fj

(Xt)

=

max

ft

(у)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VSa(0(Xo)

 

при

любом

т !>

 

а

потому

и

/, (xt)

=

max

ft

(у).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

veat<0(x„)

 

 

 

Так как Х0Е=

i n t iT0 , то множество

a t ) 0

(ж0) содержит

внут­

реннюю точку конуса Kt.

(В

этом легко

убедиться,

при­

менив предложение 4.7 к отображению at)0,

построенному

при доказательстве теоремы 11.3.) Из сказанного

следует,

что равенство ft

(Xt)=0

может иметь место лишь в случае,

когда ft = 0, что

невозможно. Таким образом,

 

ф

0.

Рассмотрим теперь номера t =

0, 1, . . . , Т — 1. Так

как Г-кусок %т траектории % оптимален

в

смысле

/т,

то, в силу теоремы 11.3, найдутся функционалы

/„, . . .

 

и числа v 0 , . . ., VT-I

такие, что семейства

 

 

 

 

(/о. • • м/г- 1,

/т)

и (v0 ,

. . . , v T

_ l t

0)

 

 

 

 

 

 

Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Е

М О Д Е Л И

211

характеризуют х* (т.

е. удовлетворяют условиям а) —

в) этой теоремы). Это

означает,

что последовательность

Ф =

(ft)fLQ

является

искомой характеристикой

траекто­

рии

х-

 

 

 

 

Теорема

доказана.

 

 

 

§ 12. Х А Р А К Т Е Р И С Т И К А ТРАЕКТОРИЙ БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ

1. Введение. Модели, рассматриваемые в настоящее время, как правило, конечномерные. Сейчас, однако, уже становится ясным, что углубленное исследование ряда экономических явлений требует рас­ смотрения бесконечномерных моделей. В частности, бесконечномер­ ные модели естественным образом появляются в том случае, когда время и местоположение предполагаются непрерывными и учитыва­ ется запаздывание, задержка между произведенными затратами и выпуском. В качестве примера в конце параграфа схематически опи­ сывается производство, функционирующее в непрерывном времени, в котором фонды различаются по сроку службы и степени недостроенности. Модель для этого производства автоматически является бес­ конечномерной.

Здесь мы показываем, что теоремы о характеристике оказыва­ ются справедливыми в существенно более общей, нежели конечно­ мерная, ситуации. Предполагаем, что читатель знаком с основами теории локально выпуклых пространств (см. Бурбаки [1]), опреде­ ления и результаты этой теории, используемые ниже, явно не фор­ мулируются. В п. 2 рассматриваются сублинейные функционалы и соответствующие им выпуклые множества, п. 3 посвящен точечномножественным отображениям, в пп. 4, 5 описывается модель.

Большинство результатов этого параграфа формулируются, но не доказываются.

2. Суперлинейные функционалы и Я-опорные множества; впол­ не положительные сублинейные функционалы и нормальные мно­ жества. Рассмотрим локально выпуклое пространство X и выпуклый замкнутый конус К в этом пространстве. Условимся о следующих обозначениях. Через X * будем обозначать пространство, сопряжен­

ное к X , через

конусвХ*, сопряженный к К. Элементы К* будем

называть положительными функционалами. Через X ' обозначим

пространство, совпадающее по составу элементов с X * , но наделен­

ное топологией а

(X*, X ) ; через К' обозначим конус в X ' , совпада­

ющий по составу элементов с К*.

Так же, как и в конечномерном случае, функционал д, опреде­

ленный на К,

назовем суперлинейным,

если он положительно

одно­

роден (g (Хх)

= Xq (х), X > 0, х е= К),

супераддитивен (д (х +

у) >

>9 (х ) + 9 (У), х > У S К ) и полунепрерывен сверху. Линейный

функционал h назовем опорным к д, если h (х) ^ д (х) для всех х из К. Множество всех линейных функционалов, опорных к q, обозначим

через U q . Справедливо следующее

обобщение теоремы

Фенхеля.

Т е о р е м а 12.1 ( т е о р е м а

Х е р м а н д е р а ) .

Если g —

суперлинейный

функционал,

определенный

на конусе К, то

множество

212

 

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е

Т Р А Е К Т О Р И Й

[ Г Л . I I I

Uq

непусто;

при. этом

для

любого

х

S

К

 

 

 

 

q (.г) =

inf

A

(х).

 

 

 

 

 

heue

 

 

 

 

Доказательство этой теоремы см. Хермандер [1].

 

 

Совокупность всех суперлпиейных функционалов, определенных

на К, обозначим через Q

(К).

Введем в Q (К) естественным образом

операции сложения и умножения на неотрицательное число, а также

отношение порядка; тем самым Q (К)

превращается в упорядоченное

полулинейное пространство.

 

 

 

 

 

 

 

Непустое подмножество U пространства Л" назовем

К'-устойчи­

вым,

если

U

-f- К'

С

U;

подмножество U

этого пространства

назо­

вем К-опорным,

 

если оно выпукло, замкнуто, .йГ'-устойчиво и, кроме

того,

inf

h

(х)

>

—

оо. Совокупность всех

Т-опорных

множеств

обозначим через IIQ (К).

Введем в IIQ (К)

отношение

порядка,

по­

ложив Ui

^> U2,

 

если

иг с U2 (иъ

U2

е TLQ

(К)).

Естественным

образом введем в UQ

(К)

операцию утюжения на положительное

число. Кроме того, положим О- U —

К'.

Если

Ux, U2

е

IIQ (К),

то

через

иг-\-

 

U2

обозначим замыкание (в

X')

множества

Ux

+

U2.

Относительно введенного отношения порядка, операции - j - и умно­

жения на неотрицательные числа IIQ (К)

является

упорядоченным

полулинейным

пространством.

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а 12.2. Отображение

q

-+UQ

является

 

 

изоморфизмом

упорядоченных

полулинейных

пространств

 

Q (К)

и

HQ

(К).

 

Функционал р,

определенный на К,

назовем сублинейным,

если

—р

является суперлинейным функционалом. Линейный функционал

А называется опорным

к сублинейному функционалу р,

если h (х) ^

<J р

(х) для всех х

пз К.

Множество всех линейных

функционалов,

опорных к сублинейному р, обозначим так же, как и для

суперлп-

нейного функционала, символом Up (это не приведет к путанице, так как из контекста всегда ясно, о каком функционале идет речь). По­

ложим также U* =

Up

П К'• Сублинейный функционал р назовем

вполне

положительным,

 

если

 

 

 

 

 

 

 

р

(х)

=

sup А (х)

(х е

К).

 

 

 

 

Легко проверить, что каждый монотонный функционал р

вполне по­

ложителен (монотонность р

означает, что р (х)

>

р (у),

если х —

у е

S К).

Обратное утверждение удается доказать лишь в следующих

двух случаях: 1) конус К

телесен, функционал р

непрерывен, 2) ко­

нус К

миниэдрален *),

операция /+:

х —>

х+

непрерывна.

 

При изучении вполне положительных функционалов важную

роль

играют нормальные

множества.

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим локально выпуклое пространство X,

в котором вы­

делен

выпуклый замкнутый конус К. Подмножество Q конуса К

*)

Конус К называется миниздральным,

 

если отношение поряд­

ка, индуцированное им в пространстве X,

таково, что любые

два

элемента из X имеют верхнюю грань (супремум). Если К

миниэдра­

лен, (то каждому

 

можно сопоставить элемент х+

=

sup (х,

0).

Смотрите также файлы