Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Е М О Д Е Л И

Й13

назовем; нормальным

(в смысле К), если Q — К f]

К = й . (Здесь

отрезок <0, я> (в этом

случае й — К =

Й —

К).

Нормальной

оболочкой

подмножества Q конуса К

назовем пере­

сечение всех нормальных множеств, содержащих й.

Нормальную

оболочку

й обозначим

символом

пй.

П р е д л о ж е н и е

12.1. Если

й С

К,

то

лй =

й —

К

f \

К.

Рассмотрим теперь

снова сублинейные функционалы • па

кону­

се К.

Имеет место

Т е о р е м а

12.3. Пусть

р

—

сублинейный

функционал,

опре­

деленный

на конусе

К

и

обладающий

следующими

свойством:

найдется

подмножество

|

конуса

К'

такое,

что

р

(х)

=

sup h

(х)

(х

£Е

К).

Тогда

1)

функционал

р

вполне

положителен,

2)

множество

Up

сов­

падает

с

нормальной

оболочкой

(в

смысле К')

выпуклой

оболочки

мно­

жества

3.

Точечно-множественные

отображения.

Пусть

Хх

и

Х2

—

означает,

что

sup {К

\ у

+

Xz

GE a (х)} <

оо для

всех

у ЕЕ а (х)

и

z

€Е Х2).

Так же, как в конечномерном случае, отображение а

конуса

Кх

в П (К2)

назовем замкнутым,

если график Z

этого

отображения

является

замкнутым

(в

пространстве

Хх

X

Х2)

множеством. Если

а

— замкнутое

отображение, то для любого х ЕЕ Кх

множество а

(х)

замкнуто.

Введем теперь определение замыкания отображения. Если а

—

отображение конуса ^ в П

(К2),

то замыканием этого отображения

назовем отображение а конуса ^ в П

{К2),

график которого Z сов­

падает с

замыканием

графика

Z отображения

а.

П р е д л о ж е н и е

12.2. Замыкание

вогнутого

отображения

вогнуто,

замыкание

положительно

однородного

отображения

положи­

тельно

однородно.

Важную роль в дальнейшем играют отображения, которые назо­

вем полунепрерывными

сверху.

Будем говорить, что отображение а

конуса Кх

в П (К2)

полунепрерывно

сверху,

если

для

любого

g

ЕЕ К г функционал

qs,

определенный на

Кх

формулой qg

(х)

=

=

s u p g (у),

принимает лишь конечные

значения и

полунепрерывен

214

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е

Т Р А Е К Т О Р И И

[ГЛ .

I I

Если а вогнутое, положительно однородное, полунепрерывное

сверху

отображение,

то функционал

qg

(g €= К%)

является

супер"

линейным.

П р е д л о ж е н и е

12.3.

Если

а —

супераддитивное,

полуне­

прерывное

сверху

отображение,

то

оно

является

гейловским.

Отметим еще, что имеет место

П р е д л о ж е н и е

12.4. Замыкание

полунепрерывного

сверху

отображения

полунепрерывно

сверху.

Следующие предложения показывают, что класс полунепрерыв­

ных

сверху

отображений

достаточно

широк.

П р е д л о ж е н и е

12.5.

Если

отображение

а

полунепрерывно

сверху

в

смысле

Бержа

(см. Берж

[1]), то

оно

полунепрерывно

сверху.

П р е д л о ж е н и е

12.6. Если

отображение

а

таково,

что

мно­

жество

а

(х)

замкнуто,

выпукло

и

ограничено

для

любого

х £

К\

и,

кроме

того,

а

непрерывно

как

однозначный

оператор

со значениями

в

пространстве

выпуклых

множеств

*),

то

а

полунепрерывно

сверху.

Вогнутое замкнутое отображение а конуса Кх

в П (К2)

(Ki

—

конус в пространстве Х\

(£ =

1, 2)) назовем вполне

замкнутым,

если

пространства

Хх

и Х2

метризуемы и образ а

(£) любого слабо ком­

пактного

подмножества

| конуса

Кх

является слабым

компактом.

П р е д л о ж е н и е

12.7. Вполне

замкнутое

отображение

по­

лунепрерывно

сверху.

Важную роль в дальнейшем будут играть нормальные и вполне

нормальные

отображения.

Вогнутое отображение а конуса Кх

в П (К2)

назовем

нормаль­

ным,

если для любого х

6= Кх

множество а (х)

нормально. Нормаль­

ной оболочкой вогнутого отображения а назовем отображение

па,

которое

каждому х

из Кг

ставит

в соответствие множество

па (г).

П р е д л о ж е н и е

12.8. Если

отображение

а вогнуто,

то

и

отображение

па

вогнуто.

С л е д с т в и е .

Нормальная

оболочка

вогнутого

отображения

является

нормальным

отображением.

Отметим

три

простых

свойства

нормальной оболочки.

1) Если отображение о полунепрерывно сверху, то и отображе­

ние

па

полунепрерывно

сверху.

Вогнутое отображение а конуса

Кх

в П (Кг)

назовем

вполне

нормальным,

если

график

Z

этого

отображения

таков, что

Z -

({0} X

Ке) П (Кг

X

f 2 )

=

Z.

П р е д л о ж е н и е

12.9. Вполне

нормальное

отображение

зам­

кнуто

и

нормально.

Указанное предложение в некоторых случаях допускает обра­

щение.

П р е д л о ж е н и е

12.10. Пусть

конусы

Кх

и

К2

телесны,

а —

замкнутое

нормальное

отображение

конуса

Кх

в

П (Kg),

обла-

Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Е

М О Д Е Л И

215

дающее

тем

свойством,

что

множество

а

(К\) содержит

внутреннюю

точку

конуса

К2.

Тогда

отображение

а

вполне

нормально.

П р е д л о ж е н и е

12.11. Вполне

замкнутое

нормальное

отоб­

ражение

является

вполне

нормальным.

Ниже показано, что нормальное,

полунепрерывное сверху,

по­

вательно,

замкнуто).

Пусть а — вогнутое отображение

конуса

Кг

в П (К2)

и Z

—

график этого отображения. Отображение п0а

назовем

вполне

нор­

мальной

оболочкой

а,

если его график

Z0

совпадает

с пересечением

всех подмножеств конуса Кг

х

К2,

содержащих

Z

и

являющихся

графиками вполне нормальных

отображений.

П р е д л о ж е н и е

12.12. Если

а

—

вогнутое

отображение,

то

отображение

поа

вполне

нормально.

П р е д л о ж е н и е

12.13. График

Z0

вполне

нормальной

обо­

лочки

п0а

вогнутого

отображения

а

имеет

вид

Z„ =

Z

-

({0} X

К2)

П

(Кг

X

К2),

где

Z

—

график

отображения

а.

Будем теперь рассматривать (иногда не оговаривая этого особо)

лишь вогнутые положительно однородные отображения конуса Кг

в

П (К2).

Если а

— такое отображение и Z

— график отображения

а,

то двойственный

к конусу

Z

конус

Z +

определим так же, как в ко­

нечномерном

случае,

формулой

Z +

= {(/,

g)

S

Кх

X

К'г

| / (х)

>

g

(у)

для

любой пары (х,

у) 6Е

Z}.

Легко

видеть, что Z + — выпуклый замкнутый в Xi

X

-Хг конус.

Заметим,

что конус Z +

непуст и,

более того, Ргх

Z +

=

К\.

Отобра­

жение

а'

конуса К\ в П (К2),

графиком которого является конус Z + ,

назовем

двойственным

по

отношению

к отображению

а.

П р е д л о ж е н и е

12.14.

Отображение

а'1

(конуса

К\

в

П

(А'2))

вогнуто,

положительно

однородно

и

вполне

нормально.

Так как а' вогнуто п положительно однородно, то имеет смысл

говорить об отображении, двойственном к а'.

Это отображение мы

будем обозначать символом а" и называть вторым

двойственным

по

отношению к а. По определению,

а"

(х)

=

{у

е= К2

|g/ (х)

>s g (у)

для

любого

/ 6= Ki

и

любого

Имеет

место

? s s ' (/)}

(х

е

кх).

Т е о р е м а

12-4. Отображение,

второе

двойственное

к

отобра­

жению

а,

совпадает

с вполне

нормальной

оболочкой

а.

Иными

словами,

а

=

поа.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим

через

Z

и

Z +

+

графики

Z++

=

Z

-

({0}

X

К2)

П

( # i

X

К2).

Из предложения

12.14 следует,

что

Z++ 3

Z

-

({0}

X

К2)

П

(Кг

X

К2).

216

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е Т Р А Е К Т О Р И И

[ГЛ . I l l

(х,

у ) ф

г -

({0} х К2)

П №1 X

.ад-

Нетрудно

проверить,

что

(х, у) ф

Z

— ({0}

х

К2);

учитывая, что

множество

Z

— ({0} X

К2)

является

конусом, найдем

функционал

(/,

g) €5 Xi

х

Х'ч

такой, что

/(*)

+ g ( t f ) < 0 =

(и,

inf

f(u)

+

g(v).

(12.1)

г>)ег-((о)хад

Из правой части

(12.1) легко

следует,

что

/ e . t f i ,

е

Кг,

/ (и) >

(»)

((и, »)

G

Z).

(12.2)

Из

(12.2)

вытекает,

что

(/,

—g)

(Е Z + ,

и

потому, учитывая, что

(a;,y)GZ+ 1 ",

получим / ( х ) >

— g ((/),

что

противоречит

левой

части

(12.1). Полученное противоречие и доказывает теорему.

Перейдем теперь к изучению двойственного

и второго двойст­

однородных отображений конуса

Кг

в П (К2)

обозначать символом

А и

(Ki,

К2).

Т е о р е м а

12.5. Если

а

£ЕАи

(Кг,

К2),

то

а'

(К\)

=

К2.

При

этом

для любых

х

из

Kt

и

g

65

Кг

sup

g(y)—

inf

j(x).

iea(*)

te(a')-'te)

Т е о р е м а

12.6. Если

a

€=.<4U

(Klt K2),

mo

a"

=

na.

Доказательство

можно

провести,

опираясь

на

теоремы

12.3

С л е д с т в и е

1. Если,

а

ЕЕ А и

{Къ

К2)

и

а

нормально,

то

а

вполне

нормально

(и, следовательно,

замкнуто).

С л е д с т в и е

2. Если

а

65 A v

(Кг,

К2),

то

и

а" (=Аи

(Кх,

К2).

Символом A v

(йГц К2)

обозначим

совокупность

всех

вогнутых

положительно однородных отображений

а конуса Кг

в П (К2)

, об­

ладающих

теми

свойствами,

что

1)

а (Кг)

=

К„

2)

для

любого

/ 65 Кг

функционал

pf.

Pf{y)=

inf

/(*)

(yeuli

сублинеен

и

вполне

положителен,

3)

0 е

а

(х)

(х

65 к%).

Из

теоремы

12.5 следует, что отображение а',

двойственное

к

отображению ажгАи

(К^

К2),

принадлежит множеству А „

(К\,

Ki).

Действительно, в силу этой теоремы, a'

(Ki) =

Кг

и, кроме того, из

соотношения

inf

/ ( х ) =

sup

g(y)

/e(o')-'(g)

V&[x)

Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Е

М О Д Е Л И

217

следует, в силу теоремы

12.3, что для2любого а: из Ку

функционал рх:

Px(g)

=

inf

f(x)

(gei('2),

сублинеен

и

вполне

положителен.

Имеет

место

Т е о р е м а

12.7- Если

а£.А„

(Ку,

К2),

то

а'

е

А и

(Ку,

Kz).

При

этом

inf / ( я ) =

sup

g(y).

aea-'(V)

gea'(/)

Т е о р е м а

12.8. Если

а

£Е А и

(Ку,

К2),

то

а" =

а.

Приведем теперь результаты, относящиеся к произведению полу­

непрерывных

сверху

отображений.

Т е о р е м а

12.9. Пусть

щ

ёЕ А и

(К„

Ki+1)

(£ =

1,2) и,

кроме

того,

для любого х

ЕЕ Ку

множество

ах

(х)

слабо

компактно.

Тогда

агоау^Аи

(Ку,

К3)

и

(а2°ау)'

=

аъоау

(12.3)

(здесь

черта

означает

замыкание

отображения

в

пространстве

Х'у X

Хз).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Отображение

a2 °Oi

вогнуто п поло­

Пусть

fee

Кя.

Рассмотрим

функционал

git:

gh (х)

=

sup h

(z ) (x S

Ki).

Используя

теорему 12.5 и теорему

о минимаксе,

имеем

g

(х) —

sup

h (z) =

sup

sup

h (z)

=

zeai(a,(x))

уеа,(ж)

zea2 (v)

=

sup

inf

g(y)=

inf

sup

g(y) =

=

inf

inf

f(x)=

inf

f(x).

(12.4)

gSCaj)-1 (h) I/6=(ai)-»(£)

/e(ai)-402)-»(h)

Из

формулы (12.4) следует, что функционал q^

полунепрерывен

сверху. Это и

означает,

что отображение а2°ау

полунепрерывно

сверху.

Перейдем к доказательству

формулы

(12.3).

Если

h е К3, то

множество (ai)~1o(a2)~1 (h)

выпукло

и ^-устойчиво. Его замыкание

inf

/ (х) = qh (х) > — оо.

/ е (о,)_ 1 о(а„)-ЧЛ) / (ее) =

i n f