Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

218

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е Т Р А Е К Т О Р И И

[ Г Л . I I I

Из сказанного следует, что множество ( a i ) - 1 ° ( a 2 ) 1

(А) является

Л^-опорным и (теорема 12.2)

и потому

((a 2 o f l l )') - i (Л) =

( a i r M e i r 1

(^)-

(12.5)

Рассмотрим

отображение

( a i ) -

1 " ^ ) - 1 — замыкание

отобра­

жения

(ax)- 1 °(aa)~1 в пространстве Хз X Х'г.

Непосредственно из

определения

замыкания

и (12.5)

вытекает, что для А 6 : Кз

( а д Г М в Й - 1

(A) Z3 ( « Г М в я Г 1

(А) = ( ( а ^ ! ) ' ) - 1

(А).

Снова используя определение замыкания и учитывая замкну­

тость

отображения

((ae°ai)')- 1 , получаем, что

откуда

в спою

очередь

следует, что

(a.o«i)' =

((чГМв!)-1)-1-

Для

завершения доказательства

осталось

сослаться иа ра­

венство

( ( a i r M e a r 1

) - 1 =

a2 °ai,

справедливость

которого

проверяется

непосредственно.

Теорема доказана.

С л е д с т в и е

1. Пусть

отображения

аг и а2

удовлетворяют

условиям,

теоремы

и,

кроме

того,

1) 01 и

а2 полунепрерывны

сверху,

2) для

любого

f £Е Кi

множества

а% (/) и az°ai

(/) компактны

(в Х%

и Хз

соответственно).

Тогда

{агоа^\'

=

аг»в1.

В

самом деле, из полунепрерывности сверху отображений ах и

а'ч и компактности а[ (/) следует

полунепрерывность

сверху отоб­

ражения

агоа'у.

Используя компактность множества

аъ°а\

(/), не­

трудно

проверить, что это множество

нормально. Следствие 1 из

теоремы 12.6 показывает, что отображение oaoai

замкнуто, откуда и

следует

наше утверждение.

С л е д с т в и е

2.

Если

множество

(ai)~1o(a2)~1 (А)

замкнуто

(в Xi)

для

любого

А €Е Кз, то

отображение

аг°а%

замкнуто.

Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Е

М О Д Е Л И

219

ва, Кх

и К2

— выпуклые конусы в пространствах Х х

и Х2

соответст­

венно . Положительно однородное отображение а конуса ^ в П

(К2)

назовем

ограниченным,

если

sup || 2/ IK оо.

sup

» = К ь

M < 1

1/еа(х)

С л е д с т в и е

3. Пусть

в условиях

теоремы

пространства

Х\

(£ =

1, 2) банаховы,

отображение

ai

ограничено

(как

отображение

К\

в

П (Кг)).

Тогда

(a2 °ai)'

=

a2°ai.

Чтобы показать справедливость этого следствия, достаточно

проверить, что для любого h ЕЕ Кг

множество (ai)~1o(a2)~1

(К)

замк­

нуто в Xi,

а затем сослаться на следствие 2. Так как пространство

Хг

банахово, то (см. Бурбаки [1]) множество (ai)~1o(a2)~1

(h)

будет

слабо замкнутым, если слабо замкнуто каждое из множеств]

( a i ) - 1 o ( a a ) - 1 ( ^ ) n ^ i

(X

>

0),

(12.6)

где Si

—

единичный

шар

пространства

Х\.

Замкнутость множеств (12.6) легко проверить, используя огра­

ниченность

отображения

ai-

В

связи со следствием 3 представляет

интерес

следующее

П р е д л о ж е н и е

12.15. Пусть

Хг

и Х2

—

нормированные

пространства,

К-^и К2

—

выпуклые

замкнутые

конусы

в

пространст­

вах

Xt

и Х2

соответственно,

причем

пространство

Х2

полное, а ко­

нус

К2

воспроизводящий.

Пусть,

далее,

а —

вогнутое

положительно

однородное

отображение

конуса

К± в П (К2),

обладающее

тем

свойст­

вом,

что

при

некотором

X > 0

па

(S*)

3

(где

S* =

{х е

Xi | || х

||

<

1} (i

=

1, 2)).

Тогда

отображение

а'^ ограничено

(как

отображение

ЛГ* в

П (<)) •

Отметим еще справедливость следующего утверждения.

П р е д л о ж е н и е

12.16. Пусть

а\ —

полунепрерывное

сверху,

нормальное

отображение

конуса

Ki

в П (-Kj+ 1 )

(' =

1, 2), причем

для

любого

х

из Кх

множество

аг

(х)

слабо

компактно.

Тогда

отображение

а2оа1

вполне

нормально

(и,

следовательно,

нормально

и

замкнуто).

Справедливость предложения легко следует из следующей тео­

ремы.

Т е о р е м а

12.10. Пусть

а\ €E.Av(Ki,

ЛГ; + 1 ) (£ =

1, 2) и,

кроме

того,

для

любого

/ ЕЕ

множество

ах

(/)

компактно

в К^.

Тогда

a2oaL

Е Е Л 0

(Къ

К3)

и (а2°а,)'

=

а'^а'^

220

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е

Т Р А Е К Т О Р И И

[ГЛ. I I I

Здесь приняты следующие обозначения: Е — множество

неот­

рицательных

чисел,

причем

0 £ Я , sup Е

=

Т е Е,

У >

О, Ё

=

=

{(т, t) е= Е

х

Е

| т >

(}, Xt

— локально

выпуклое

пространство

(t

(=

Е),

К[

— выпуклый замкнутый конус в пространстве

X j (t

g=

£

Е),

ат (

— вогнутое положительно однородное замкнутое отобра­

жение конуса Kt

в П (JfT ) ((т, t) СЕ 2 ) , причем 1) множество от (

(i)

слабо

компактно для любого х е

Kt

((%,

t)

£

£ ) , 2)

а( „( ,оа( , (

=

= a r >

(

(Г,

i <= £ ,

<"

> * ' > * ) .

Траекторией

модели 3JI называется

семейство

% =

( z j ) l e E

такое,

что а)

х,

е

Kt

(t

6Е £ ) ,

б) а* е

вт_,

(г,) ((т, t)ei

Ё).

Т е о р е м а

12.11. Пусть

у0

е= К0,

уТ

g= а т 0 (i/0 ).

Уогда су­

ществует

траектория

х =

модели

5Ш такая,

что

х0

=

!/0>

=

Уу

Модель sffl

назовем

регулярной,

если

(1)

«

^

е

^

^

Ч

C . t e s ) ,

(2)

объект

W

=

{Д, ( Х ( ' ) ( е Е , ( < ) ( е Е , К , , ) ( Х | | ) е 2 }

является

моделью

экономической динамики.

Условие (2) выполняется тогда и только тогда, когда множества

a'xt

(/)

компактны

(в Х'х)

при всех f &

К'{

и, кроме того,

a t - . t =

a ' r . t ' o

a t ; t

( t " , t ' , t & E ,

« " > * ' > * ) .

Траекторию

% =

( ^ ; ) ( е Е регулярной модели Ш

назовем

слабо

оптимальной,

если найдется функционал / е= АГГ

(/

0) такой, что

/(*т )=тах

to)

f(y).

V&T.O

Про

указанную

траекторию

будем говорить,

что она исходит из

точки х0

и слабо оптимальна в смысле /. Из любой точки х

конуса К0

исходит слабо оптимальная траектория. С помощью

модели 5Ш'

можно,

рассуждая

так

же, как

в

конечномерном случае, дать

характеристику *) слабо оптимальных траекторий

регулярной

мо­

дели

Ш-

Т е о р е м а

12.12. Пусть

х0

е

К0,

/т £

К'Т

(ха

ф

0, /0ф

0)

и X=

( г

< ) ( ^ Е

— траектория

модели

5ЭД, исходящая

из

точки

х0.

Для

того

чтобы

траектория

% была

слабо

оптимальной

в

смысле

функционала

fT,

необходимо

и

достаточно,

чтобы

для

любого

е > 0

нашлось

семейство

фЕ == (/Е)(ев (/Е £ К^)

такое,

что

§ 12]

Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Е

М О Д Е Л И

221

1) для любой

траектории.

% = (х1)1^Е

модели Ш функция

h^.

3)

/^=£0 (teiE),

fr = 1T-

Т е о р е м а

12.13. Пусть

регулярная

модель

Ш

такова,

что

конус

К0

телесен

и х0

—

внутренняя

точка

К0.

Тогда

траектория

X =

( z ( ) ( e E '

исходящая

из

х и

слабо

оптимальная

в

смысле

функцио­

нала

fT

(fT

£5 КТ,

fT=j=

0), допускает

характеристику

ср =

(/;) ( & Е

такую,

что

JT

—

fT.

Т е о р е м а

12.14. Пусть

регулярная

модель

такова,

что

отображение

а^

Q

полунепрерывно

сверху.

Для

того

чтобы

траекто­

рия

% =

(xt)i^E

этой

модели

допускала

характеристику,

необ­

ходимо

и

достаточно,

чтобы

нашелся

функционал

f из

конуса

/С*

такой,

что

1)

/ ( * „ ) =

m i n

f(y),

2)

a T , 0 ( / o ) = H O } .

tf<=(naTi

„)-< (* x )

,

l "

жем 0, и срок службы, скажем со. Фонды i-vo

вида в момент t описы­

ваются

двумя

функциями

|? и т]^-

Считаем, что

g| 'g= i 2 ([0,

9]),

V i € E L 2

([0, со]). Функцию

Ц можно

рассматривать

как плотность

распределения

строящихся

фондов вида i по степени недостроенно-

сти; если 0

< ( u 2

G, то число

^ |? (и)

du показывает коли-

Ul

чество фондов этого вида, которым осталось

строиться не более

и2