Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

222

ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ

[ Г Л . I I I

если 0 ^ Vf <

i>2

< со,

то интеграл ^ т)| (у)

равен

количеству

фондов, проработаввшх

не более vz

и не менее vx

единиц времени.

Положим %t

=

{%[,

£ ^), т), =

(i^,

rv^). Через zt

обозначим

ния, и что

X естественным образом упорядочено.

Конус

положи­

тельных элементов

этого пространства обозначим

через

К.

Считаем, что рассматриваемая экономика функционирует на

промежутке

[О, Т].

Пусть О ^ ^ т ^ Г , и и момент t

состояние

экономики

задано

вектором xt = (%t, т)( , zt). Часть продуктов zt

вектор

продуктов.

В результате экономика перейдет в новое со­

стояние хт =

(£т , пт , 2Т ). Указанный

переход задается с помощью

производственного

отображения а т ( ,

которое переводит конус К в

П (К).

Относительно этого отображения мы сделаем следующие

предположения.

1) Отображение а_ ( вогнуто, положительно однородно, замкну­

то, и,

кроме

того,

ограничено.

2)

Если

х

К,

то найдется элемент у из а т ( (х)

такой, что

(12.7)

где А.т (

— положительное число, не

зависящее от

х.

Смысл

последнего предположения заключается

в следующем:

в период [t,

т] экономика может «ничего не делать», т. е. быть закон­

12]

Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Е

М О Д Е Л И

223

Из сказанного вытекает, в частности, что это отображение полу­

непрерывно сверху (предложение 12.7) и для любого х

ЕЕ К множе­

ство

а т ( (х)

слабо

компактно.

Экономические

соображения

подсказывают, что

отображения

ат ( должны

удовлетворять условию согласования

а,„( =

a r , r o a i ' , f

(0 <

i < *' < Г < Т),

зи =

{[0,

т],

№

) 0 < (

< т ,

( K t ) 0 < i < T ,

( f l T , ( ) 0 < ( < T < T } ,

где Х[ = X,

KT

=

K

( 0 <

* <

Г).

жение а'х ( ограничено (как

отображение

конуса

К * в

П (К

*)).

Привлекая теперь следствие

3 из

теоремы

12.9, получим, что

at',f °a't',t =

a't",t

(0

<

« <

г'

< * " <

Т).

Кроме того, для любого f

Е- К

* множество а'х t

(/) (0

t <

т <J

^

Т) слабо компактно. Тем самым и доказана регулярность моде­

ли

5JJI.

Для описания всех

траекторий

модели 3)J, допускающих

ха­

неприменима

непосредственно к модели 2Л, позволит описать

важ­

ный

класс

траекторий,

допускающих

характеристику.

Введем следующее определение. Пусть | — подмножество ко­

нуса К,

f Е= К

*

\

{0}. Траекторию

% = ( i ; ) t e

E модели 5ГО назовем

слабо

оптимальной

относительно

%, в смысле функционала /, если

f(xT)=

max

/(у)

и, кроме

того,

х 0

ЕЕ |.

Если % — слабо компактно, то, как следует из полной замкну­

тости отображения

аТ 0 , слабо

оптимальные

относительно £ траек­

тории

существуют.

L _

Имеет

место

~ Т е о р е м а

12.15. Пусть

£ —

выпуклое

замкнутое

ограничен­

ное

подмножество

конуса

К0

такое,

что

£

р

\S£

при

некотором

% >

0

(где

=

{х

е

К0

|

| х

||<

1}).

_

Пусть,

далее,

/ т

ЕЕ К

*

(/т

=jfc 0) и

] ( =

( 5 j ) ( e g

—

траектория

модели

SDJ, слабо

оптимальная

относительно

| в смысле

функционала

fT. Тогда траектория

%

допускает

характеристику

<р =

( F ; ) i e E l

обладающую

тем

свойством,

что /у =

fT.

224

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е

Т Р А Е К Т О Р И И

[ Г Л . I I I

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Наряду

с моделью

рассмотрим

объект

501» = {Е», (27)( & Е о,

(Kf)ieB>.

(«?,,)

},

где

£ ° =

{ -

1} U [О, Т],

X°_t =

R\

Х°

=

X

(t <Е [0, 71 ]),

Л ' ^ ==

= R\,

К«

= К

( J 6 [О, Г]), а » ^

=

М;

(Л, е

= <Ч„Ч -1

(т е

1°.Т

^ аЬ

= <Ч/

(0 <

* <

т <

Г).

Объект

вообще

говоря,

не является моделью,

так

как

miEa

= — 1 . Нетрудно, однако, проверить, что этот объект обладает

всеми свойствами модели

(кроме

указанного),

и потому,

допуская

намики. Нетрудно проверить, что отображение (

((т, t) g= Е°)

ограничено (как отображение конуса (ЛГ(°) * в П ((К°)

*)). Привле­

Рассмотрим семейство

х° = (^i^o, где =

1, 3aL = х{ (t е Е),

Так как х 0

£ = % _ х (1)> то семейство х° является траекторией

модели Ща\

так как

fT ( х т ) =

max fT (у) =

max

/ т (у),

1/eaj- о (£)

и е а Г ] _ 1 (1)

является внутренней точкой конуса К_х

то, в силу

теоремы

12.13,

траектория

%° допускает

характеристику ф° = (7()1 е Ео

такую,

что ] т = / т . Семейство ф =

(7[) ( е [ 0 т]

является

характеристикой

траектории

Теорема

доказана.

226

А С И М П Т О Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Т Р А Е К Т О Р И Й

[ГЛ . I V

« а =

{Р >

0 | р

65 аа'

(р)}.

Множество па

непусто;

при

этом я а

|J {0}

представляет

собой выпуклый замкнутый конус. Нетрудно

убедиться

в том, что все функционалы

из r i я а

имеют одни и те же

ненулевые координаты. Через Ga

обозначим

множество

всех номеров г из / =

{ 1 , 2, . . . ., п},

для которых р { > 0

(рбЕп я а ) . Отметим еще, что

если р 65 я а

, то

последова­

тельность

фр

=

(р,

а~гР,

• • .,

й~(Р,

• • • )

является

траек­

торией модели 3 l z

, двойственной к 31z-

Будем говорить, что траектория % =

(xt)

модели Z

(или, что

то

же самое,

модели

3lz ) имеет средний

темп

роста а, если эта траектория

согласована с траекторией

ФР

при некотором р 65 r i ла;

иными словами, если

l i m

а~' р

(xt)

>

0

[р

65 r i

ла).

Траектория

% имеет средний темп роста а

в том и только

том случае,

когда

найдется

индекс i

65 Ga,

при котором

l i m c r ' z j

>

0.

Для

р 65 r i я„

наряду с

траекторией фр

рассмотрим

множество

{na)-1(yp)

=

\Jata-t

(р).

t

Из

результатов п. 6 § 9 вытекает

следующее

П р е д л о ж е н и е

13.1. Для

того чтобы

из

точки

х0

исходила

траектория,

имеющая средний

темп

роста

а, необходимо и достаточно, чтобы эта

точка была со­

гласована с траекторией

фр при некотором pEEvi

ла,

т. е.

чтобы

inf

h (х0)

>

0.

С л е д с т в и е . Если 0 ^

х ^

у и из точки х исходит

траектория,

растущая

средним темпом

а,

то и точка

у обладает этим свойством.

Отметим еще, что если Z обладает

состоянием равнове­

сия вида (а,

(х, ах),р),

то траектории, имеющие средний

темп роста а, заведомо существуют.

Эти траектории в некотором смысле близки к опти­

мальным. Мы покажем это в простейшей

ситуации.