Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 144

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 13] Т Е О Р Е М А О М А Г И С Т Р А Л И В С Л А Б О Й Ф О Р М Е 227

П

р е д л о ж е н и е

13.2. Пусть Z обладает

состоя­

нием

равновесия (а, (я,

у), р) таким, что у^>0,

р^>0.

Тогда, для того чтобы траектория % = (xt ) имела средний

темп роста а, необходимо и достаточно, чтобы она до­

пускала

согласование.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В доказательстве нуждается лишь достаточность. Пусть

траектория

ср =

(ft)

согласована

с

%•

 

Не умаляя общ­

ности,

можно

 

считать,

что

/0

^

р.

Положим *)

£ =

=

оо

(а')'(р).

Пусть^еЕ! |; тогда^бЕа'

 

(а')'(р)принекото-

U а'

 

(=i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ром натуральном t. Так как а*£

ЕЕ а* (х),

 

то g

(х)

^

р

(х).

Из

соотношения

£ ^ > 0

следует,

что m i n h (%) — т > 0.

Таким

образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мы показали,

что

множество

\ ограничено. Поскольку

р ^ > 0,

то найдется

X >

0, при котором

g a

X < 0,

р >.

Отображение (а'У нормально и, стало

быть,

монотонно.

Учитывая это обстоятельство и неравенство /0 ^

р,

имеем

 

 

 

 

 

/ , e M U ) c ( a ' № ) ,

 

 

 

 

 

 

откуда

следует

 

соотношение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а'/<6Е а'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким

образом,

a'ft

^

Хр

при всех

натуральных

t.

Так

как траектория ср =

(ft)

согласована

с

траекторией

% =

(хд> т о

l i m

/ ( ( я * ) > 0 , стало

быть, и

l i m c r ' p

(xt)

> 0 .

 

Предложение

доказано.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С л е д с т в и е .

В

условиях

предложения

 

каждая

траектория

%, допускающая характеристику,

имеет сред­

ний темп роста а. В частности, каждая оптимальная траектория, исходящая из внутренней точки, обладает этим свойством.

3. Асимптотика траекторий, имеющих средний темп роста а. Асимптотику интересующих нас траекторий удоб­ но изучать с помощью неймановской грани. Введем соот­ ветствующее определение. Пусть а — темп роста модели

*) Множество £ является собственным множеством отобра­ жения « ' .

8*

228

 

А С И М П Т О Т И К А

О П Т И М А Л Ь Н Ы Х

Т Р А Е К Т О Р И Й

1ГЛ. I V

Z. Для р ЕЕ па

 

положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

# Р

=

{ ( * , у) ЕЕ Rn

X

Rn

\ ар (х)

=

р

(у)}

 

 

(Hv

есть

 

гиперплоскость

функционала

(ар,

—р)).

Если

(а, (я, у), р)— состояние равновесия, то луч

(X (х,

j/))x>0

входит в Нр

при любом р ЕЕ па.

Нетрудно проверить, что

множество

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Na-=Z[\(

П

Hv)

 

 

 

 

 

 

 

 

является гранью

конуса

Z.

Это множество и называется

неймановской гранью (отвечающей темпу роста а ) .

 

 

 

П р е д л о ж е н и е

13.3. Если

р ЕЕ r i па,

то

Na

=

— Z П

Нр.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(х,

у) ЕЕ Z

f| Нр

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

 

и

р'

ЕЕ ла.

 

Так

как р ЕЕ r i па,

то р

— 8р'

ЕЕ па

 

при

до­

статочно

малом положительном б. Имеем

 

 

 

 

 

 

 

Р

(У)

 

=

 

(*)>

(Р

—

&>')

(у)

<

 

а (р

— Ьр')

 

(х),

 

откуда следует неравенство р' (у)

!> ар' (х).

С

другой

стороны,

 

из

соотношения

р'

ЕЕ аа'

(р)

 

вытекает,

что

р'

(у)

^

ар'

(х).

 

Таким

образом,

 

р'

(у) =

ар'

(х),

т. е.

(х,

у)

ЕЕ Нр-.

Так как

р'

— произвольный элемент я а , то

 

 

 

 

 

Na

= Z[\(

П

Hp.)zDZ(\Hp.

 

 

 

 

 

Обратное

включение

очевидно.

 

 

 

 

% =

(xt)

 

(xt

=j= О,

 

Будем

говорить,

что

траектория

 

t = 0 ,

1, . . . ) модели Z

стремится

к неймановской

грани

Na,

если

*)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*)

Символом

 

|| д || ' > LJ

обозначается расстояние

от

элемен-

(х,

у)

 

 

 

 

 

 

 

 

та ц д. ц пространства

R n

X

R n до множества

L в этом

простран­

стве. (Считаем,

что

в R n

введена некоторая

норма || -||,

которая

индуцирует B F

X

F

норму, скажем, || (х, у)

||= (|| х

f

+ || у || 2)V

Заметим, что стремление траекторий к неймановской грани не

зависит от того, каким именно образом введена норма в R n .

Иногда

будем пользоваться этим обстоятельством и выбирать в рассматри­ ваемых ситуациях норму, наиболее удобную с точки зрения этих ситуаций.

§ 13J

Т Е О Р Е М А О М А Г И С Т Р А Л И

В

С Л А Б О Й Ф О Р М Е

229

Для

описания траекторий, стремящихся к грани Na,

нам

понадобится

следующее

 

 

 

П р е д л о ж е н и е 13.4. Пусть х ЕЕ i ? n и функцио­

нал g ЕЕ (Rn)*

таков, что g (х)

>

0, g =j= 0. Пусть,

далее,

Н =

g-Щ.

Тогда

 

 

 

Доказательство легко следует из теоремы Хана — Банаха. (Более общее утверждение доказано, например,

в монографии Канторовича

и Акилова [1], гл.

I V ,

§

2.)

П р е д л о ж е н и е

13.5. Для того

чтобы

траекто­

рия

% = (xt)

стремилась к неймановской грани

Na,

необ­

ходимо и достаточно,

чтобы нашелся функционал

р

из

r i я а

такой,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а р ^ - "

( Х ^ - > 0 .

 

 

(13.1)

 

 

 

IK

II

 

 

 

 

4

'

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

р ЕЕ r i па.

Тогда,

в

силу

предложения 4.3,

Na

= Нр

f| Z.

Покажем, что

траектория % стремится к грани Na

тогда и только тогда,

когда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отметим прежде всего, что отображение а, графиком которого является конус Z, ограничено, и потому последовательность ( — p g - y — I имеет предельные точки. Соот­ ношение

выполняется тогда и только тогда, когда все предельные

—д'^ '+1 \ принадлежат ги­ перплоскости Нр, или, иными словами, тогда и только тогда, когда выполнено (13.2). Привлекая предложение 13.4, в силу которого

р

\

1*0

'

р

/ ~ II*,IIII(«?,-?)II '

 

4

 

 

2 3 0

А С И М П Т О Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Т Р А Е К Т О Р И Й [ГЛ . I V

убедимся, что для стремления траектории х к нейманов­ ской грани, необходимо и достаточно, чтобы

ар (xt)-p(xi+1)

IK II

Предложение доказано.

З а м е ч а н и е . Если хотя бы для одного функционала р £= пла

выполняется соотношение (13.1), то оно имеет место и для всех р из r i я а .

Через Г а обозначим грань конуса Д", натянутую на орты с номерами из Ga, через Г а — дизъюнктное дополне­ ние к Г а . Для х ЕЕ Rn положим

х — Ргр- х, х = Рг~ х.

Вернемся к формуле (13.1). Если р (хх) = 0 при некото­ ром т, то и р (xt) — 0 при всех t z> т. В этом случае про­

цессы

(i* = т, т +

1, . . . ) лежат в нейманов­

ской

грани.

Предположим

теперь,

что р (xt) >> 0 при

всех

t. Не умаляя общности,

можно

считать, что норма

в Rn

введена

так, что для х ЕЕ R+

 

\\х\\ = р(х) + \\х\\0

(где ||-||0 — какая-то норма в пространстве Г а — Г а ) . Ис­ пользуя это обстоятельство, перепишем (13.1) следующим образом:

» » ( - ^ ) (4 +ЙГ-0 -

(13-3)

Равенство (13.3) показывает, что, грубо говоря, стремле­ ние к неймановской грани вызывается двумя обстоятель­ ствами. Траектория % = (xt) заведомо стремится к ней­ мановской грани, если

AN V P(xt+i>

= а

т И2» Л

А

A) l i m —уЩ-

или Б) lira

= 0.

рЫ

 

 

II*, II

Из А) немедленно вытекает

Смотрите также файлы