Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

§ i 3 ]

Т Е О Р Е М А О М А Г И С Т Р А Л И Й С Л А Б О Й Ф О Р М Е

2 3 1

Если

(х,

у)

ЕЕ Za, то для любого р

ЕЕ r i па выполня­

ется р (у)

^

ар

(х). Если, в частности, х

= 0, то р (у) = О,

У ЕЕ Та,

то

у* =

О и для

номеров

i ЕЕ I

\

Ga.

Таким

образом,

если (х, у)

ЕЕ Za

и х = О, то у =

0.

Отождеств­

ляя

Г а

с положительным ортантом R™ пространства

Rm

(где

т — мощность

Ga),

нетрудно

убедиться

в

том,

что

Za

— модель

Неймана — Гейла.

Рассмотрим

состояние

равновесия а =

(а,

{х, у), р) модели Z (здесь р

ЕЕ r i я а ) .

По

определению

состояния равновесия, ах <;

у и,

кроме

того, р

(у) =

ар

(х).

Из сказанного вытекает, что ая* = у*

для

всех

i

ЕЕ Ga,

и,

стало

быть,

элемент

(х,

ах),

где

% ЕЕ Рг^а я,

входит

в

конус

Za.

Таким

образом,

а =

(а, (2, а %), р)

является

состоянием равновесия

мо­

дели

Za,

а а — темп роста этой модели.

Через

Na

обозначим неймановскую грань модели

Za,

отвечающую

темпу

роста а. Применяя формулу (13.3) к

траекториям модели Za,

убедимся

в справедливости

сле­

дующего

утверждения.

13.6. Для

траектории

% =

(хг)

П р е д л о ж е н и е

модели Z соотношение

модели Z, имеющей

темп роста

а

такой,

что Ga

— I =

= { 1 , 2, . . ., п) (в

этом случае

Z

— Za).

Точнее

говоря,

имеет место

1)

<г%-*0,

2)

p(p0L,Na^O.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Не умаляя общности, можно

считать,

что для х ЕЕ R+

\\х\\=р{х).

Последовательность

( a - ' p(xt))

= (аг'Ц xt

||) убывает и

по­

тому

имеет

предел.

Если l i m а~'|| xt

|| > 0,

то,

как

сле­

дует из условия А),

траектория % стремится к грани i V a .

Теорема

доказана.

В заключение этого пункта приведем

П р е д л о ж е н и е

13.7. Пусть

модель

Z

обладает

таким

состоянием

равновесия (а, (ж,

у),

р),

что у J§> 0,

р ^ > 0.

Тогда каждая траектория этой

модели, допускаю­

щая согласование, стремится к грани

Na.

Доказательство следует из предложения 13.2 и тео­

ремы 13.1.

Каждая

оптимальная

траектория

С л е д с т в и е .

модели Z,

исходящая из

точки х^О,

стремится к

гра­

ни

Na.

4. Асимптотика

оптимальных конечных

траекторий.

предложения

13.5 играет следующая

Л е мма

13.1 ( л е м м а М а к-К е н з и). Пусть а —

дется 6 > 0 такое, что р (у) < (1 — б)ар (х)

для

любого

процесса (х,

у) ЕЕ Z, удовлетворяющего условию

Д о к а з

а т е л ь с т в о . Предположим,

что

лемма

> е

и р ( г / А ) > — £ — а р (хк).

Не

умаляя

общности,

можно

считать, что последовательность (хк,

ук)

сходится

к про­

цессу (х, у). Процесс (х, у)

ЕЕ Z

и р ((х,

у), Na)

>

е. В то

же

время р (у)

=

ар {х), т. е. (х,

у)

ЕЕ

Na.

Полученное противоречие и доказывает лемму.

Имеет

место

Т е о р е м а

13.3 (о м а г и с т р а л и

в

с л а б о й

ф о р м е ) .

Пусть

а — темп

роста

модели

Z,

точка

х0 >

0

и

функционал / >

О удовлетворяют

следующим

условиям:

а) из точки х0

исходит

траектория

% — (Жг),

расту­

щая средним темпом а,

б)

найдутся положительные числа 1с', к" и функционал

р ЕЕ r i ла

такой,

что

k"pKf<k'p.

(13.4)

Пусть,

далее,

е — произвольное

положительное

число.

Тогда

для

любой

конечной траектории

%т =

(xt)?=0,

ис­

ходящей из х0

и оптимальной

в смысле f,

число процессов

—'n'g'jl"1

1

j

>

8 )

н е

превосходит

некоторого числа L (не зависящего от длины траектории

Т).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть m — число

процессов

—'n'g'jj"1

» ^ а

J

^ е -

Найдем по дан­

леммой

13.1. Имеем (считая р (xt) I р (xt+1) = а, если

Р

=

0)

Р

(хт)

откуда р (хт)

агт <

р (х0) (1 — б ) ж .

Положим

с =

l i m a~lp (st) (по условию, с > 0). Ис­