Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 139

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

236 А С И М П Т О Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Т Р А Е К Т О Р И Й 1ГЛ. I V

Д о к а з а т е л ь с т в о .

При всех

t = О, 1, 2, . . .

выполняются

соотношения

 

 

 

 

 

 

inf

к и

X (х,

ах)

 

 

 

Х>0

 

 

 

 

= inf

1 х ' \ щ - Ч \ \ > ^ М \ \

 

Х>0

 

 

 

 

= infХ>0 |.т,П

Л||.г||

(13.5)

Нетрудно проверить, что существует число Xt

такое, что

 

 

=

inf

'

Л11г||

 

 

 

 

 

 

Из условия предложения и оценки (13.5) следует соотно­ шение

II х.

- X ,

->0.

(13.6)

II*

 

 

 

Оценим теперь разность между-

• и

 

Имеем

 

 

 

X

 

 

 

Лт^г1 + 1 ^ - 1 | =

-%,

+

 

II *' II

 

- V

+ 1 к и 1

 

 

Привлекая формулу (13.6), убедимся в справедливости предложения

Пусть х, у ЕЕ Rn- Величину || -щ

У

1|

уместно наз­

 

вать угловым расстоянием между хж у. Предложение 13.8 показывает, таким образом, что, при наличии строгого состояния равновесия, из стремления траектории к ней­ мановской грани вытекает ее стремление к равновесному вектору в смысле углового расстояния.

Т Е О Р Е М А О М А Г И С Т Р А Л И В С Л А Б О Й Ф О Р М Е

237

Заметим, что утверждение, обратное предложению 13.8, не­ верно. В самом деле, предполагая, что модель Z имеет строгое со­ стояние равновесия а = (а, {х, а х ) , р), рассмотрим траекторию X = (х{) этой модели, где г; = (а/2)'г. Траектория % стремится к х

 

 

 

 

 

P(xt+d

а .

 

в смысле углового расстояния. В то же время —;—г— =

-к-, и по-

 

 

 

 

 

р [Х()

л

 

тому, как следует

из предложения 13.6, хне стремится к грани

Na.

Важнейшее свойство траекторий модели со строгим

состоянием

равновесия

описывает

следующая

 

 

Т е о р е м а

13.4. Если

модель

Z имеет строгое

сос­

тояние равновесия (а,, (X, ах),

р), то для каждой

траекто­

рии1^ = (xt)

этой модели существует предел х =

l i m a - f x t ,

причем х =

XX (где X >

0).

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из свойств строгого состоя­

ния равновесия вытекает, что р Jg> 0; поэтому, не умаляя общности, можно считать, что для х ЕЕ R+

 

\\х\\

=

р(х).

 

 

 

 

Если траектория

х ы е имеет среднего

темпа

роста

а,

то

l i m а~* || xt || =

l i m а~'р

(xt)

— 0 и,

стало

быть,

в

этом

случае теорема справедлива (число X, фигурирующее в условии теоремы, в этой ситуации равно нулю).

Предположим теперь, что траектория % имеет средний темп роста а. Тогда (теорема 13.1) х стремится к нейма­ новской грани, и потому (предложение 13.8)

 

 

xt

X

 

 

 

 

 

 

-г

 

 

 

 

 

а х .

х

Перепишем это соотношение в виде — ;

> -з-^тг . По-

*

 

 

а_ 'р(а;,)

11*11

лагая и. = l i m orlp

(xt),

имеем

 

 

 

 

 

-г

I 1

 

 

что и требовалось

доказать.

 

 

 

При наличии строгого состояния равновесия теоремы

13.3 и 13.3' (о магистрали в

слабой

форме)

могут быть

сформулированы

в терминах

углового расстояния. По­

скольку в данном случае множество па

содержит функцио­

нал р ^ > 0, то формулировка

этих

теорем

существенно

упрощается. Приведем

лишь

аналог

теоремы 13.3'.

2 3 8 А С И М П Т О Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Т Р А Е К Т О Р И Й [ГЛ . I V

Т е о р е м а 1 3 . 3 " . Пусть о — (а, (X, ах), р) — строгое состояние равновесия модели Z и точка х0 обладает

следующим свойством:

существуют индекс i и траектория

X = (ж*)> исходящая

из

х0,

для которых

l i m а~1х\ >> 0.

Тогда для любой

конечной

оптимальной

траектории

% — (xt), исходящей

из х0,

число состояний

xt, для ко­

зе

||

 

 

 

 

 

торых

^> е,

не

превосходит

некоторого

числа L

 

 

 

 

 

 

Доказательство

теоремы

может быть

проведено с по­

мощью тех же рассуждений, что и доказательство теоре­ мы 13.3, с той лишь разницей, что вместо леммы 13.1

используется

следующая

 

 

 

 

 

 

 

Л е м м а

13.Г

(Р а д н е р). Пусть (а,

 

(X,

ах),

р.)—

строгое

состояние

равновесия

модели

Z.

Тогда

для

любого

е >

0

найдется

б >

0

такое,

что

р (у)

< (1 — 6)сф (х),

если {Х, у)

£ 2

И

-щ

 

щ-

> 8 .

Д о к а з а т е л ь с т в о

леммы

Раднера

проводится

тем же способом, что и доказательство леммы Мак-Кензи.

6. Асимптотика траекторий в произвольных

моделях

Неймана — Гейла. Пусть

Z — некоторая (вообще говоря,

неправильная)

модель

Неймана — Гейла

и

а — темп

роста этой модели. Через па

обозначим совокупность всех

функционалов

р >

0 таких,

что р

(у) ^ ар

(х)

для всех

(х, у) ЕЕ Z.

Если

Z — правильная

модель, то введенное

определение совпадает с данным выше (см. п. 2).

Так же, как и в случае правильной модели, будем го­

ворить, что траектория % =

(xt) имеет средний темп рос­

та а, если l i m а~*р

(xt) >

0 хотя бы для одного р ЕЕ r i я а .

Покажем,

что предел, о котором идет речь,

в рассматри­

ваемой ситуации существует. С этой целью наряду с мо­ делью Z рассмотрим технологическую модель £0?z (см. п. 1 § 10), пучок траекторий которой совпадает с сово­ купностью всех траекторий модели Z. Напомним, что

 

 

3RZ =

{{0,1,...}, (Х()Г=0,

№)<=„, К <)о«<*<~},

где

К0

=

VtxZ,

Kt

=

at (Prx Z) П

(*

=

1,

2, . . .),

Xt

= Kt

— Kt (t

=

0,

1, . . . ); если

т >

t

и

x EE Kt,

то ax>t

(x)

=

az~'

(x)

(~| Pr x Z

(здесь a — производственное

отображение

модели

Z).

 

 

 

 

 

§ 14] Т Е О Р Е М А О М А Г И С Т Р А Л И В С И Л Ь Н О Й Ф О Р М Е 239

 

Пусть р£=яа . Сужение функционала р на пространство

Xt

(t = 0, 1, . . . ) обозначим

через pt.

Функционал

pt

положителен;

кроме

того,

последовательиость Ф Р

=

— (Ро, а - 1 ^ , . . .,a~'pt,...)

является траекториеймоделиЗКг»

двойственной

к

SDlzЕсли % =

(xt) — траектория

модели

Z

(или, что

то

же самое, модели SDiz), то р

(xt) =

pt

(xt)

(t

— 0, 1, . . . ),

и потому

предел l i m a ~ f / j (xt)

существует.

Заметим, что тректория % имеет средний темп роста a

тогда и только тогда, когда эта траектория согласована с Ф Р (где р ЕЕ r i ла).

Используя данные выше определения, нетрудно про­ верить, что доказательств всех результатов, приведенных в пп. 2—4 (за исключением предложения 13.2 и вытекаю­ щего из него предложения 13.7) остаются (с естественными изменениями) в силе и для произвольной (не обязательно правильной) модели Неймана — Гейла,

§ 14. ТЕОРЕМА О М А Г И С Т Р А Л И В С И Л Ь Н О Й ФОРМЕ

1. Положительная граница нормального множества. При некоторых дополнительных предположениях для модели Неймана — Гейла имеет место теорема о маги­ страли в сильной форме, которая утверждает, что про­ цессы, составляющие конечную оптимальную траекто­ рию, отклоняются от неймановской грани лишь в начале и конце промежутка планирования. Ниже будет показа­ но, что справедливость теоремы о магистрали в сильной форме существенно зависит от сходимости последователь­

ности итераций a~la'{xQ)

(где хй—точка,

из которой

исходят траектории, а — производственное

отображение

модели; здесь и всюду в этом параграфе сходимость мно­ жеств понимается в смысле метрики Хаусдорфа).

Д л я доказательства теоремы

нам понадобится ввести

в рассмотрение положительную

границу нормального

компакта и выяснить некоторые ее свойства. Пусть

| —

нормальное (в смысле R+) телесное подмножество конуса

Введем в Rn норму |N|fe (см. § 2), единичный шар ко­

торой совпадает с множеством | — Ъ,. Положительной

гра­

ницей компакта | назовем множество

 

Смотрите также файлы