Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 140

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

240 А С И М П Т О Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Т Р А Е К Т О Р И Й [ГЛ . I V

Из предложения 2.11 следует, что элемент х входит в с?+£ тогда и только тогда, когда х ЕЕ % и найдется функционал

/ > 0, для которого

 

 

f{x)

= m a x / ( i / ) > 0 .

Непосредственно из определеиия вытекает замкнутость

положительной границы нормального

множества.

Имеет место

14.1. Пусть

последовательность

П р е д л о ж е н и е

телесных нормальных

множеств (|„)

сходится к телес­

ному нормальному множеству

|. Тогда для любого

е >

0

 

найдется номер N

такой, что при п >

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дЧпСд+1

 

 

+

sS

 

(где S = {хЕЕ A"|\\i||< 1}).

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

 

Предположим,

 

что

предложение

 

неверно. Тогда можно считать, не умаляя общности, что при неко­

 

тором е0

 

>

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д+1п

 

 

Ф

 

 

+ euS

 

 

(п = 1, 2, . . .).

 

 

 

 

 

Найдем последовательность (х а ), для которой выполняются соот­

 

ношения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ £ 3 + U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(14.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Хп ф

д+Ъ + S-S.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так

как

 

хп

 

ЕЕ

5 + | п ,

то

найдутся

функционалы

 

/ п

>

0 такие,

что

 

! l / l l 5 =

1

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/п {хп)

=

max /„ (х)

 

 

 

 

 

 

 

(14.2)

(здесь

J / / L

=

шах / (у). В

силу

замечания

к

 

предложению 2.11

для

/ >

 

0

 

выполняется

|| / ||_ =

шах / (у)).

Не

умаляя

общно-

сти,

считаем,

что

п

существуют

пределы

l i m хп

—

х,

l i m / п =

/.

 

 

 

 

 

 

п

е

+

|

С

 

 

 

n

- »

 

 

 

 

I ,

 

 

 

 

£

1.

Так

как

 

х

 

а

 

| л

и

|

 

1 ,

то

х

ЕЕ

т.

е.

|] ж ц <

Так

как

|| fn

=

 

 

1, то и || /1|^ =

1. На единичной сфере

б1? =

{g

ЕЕ

ЕЕ (#")*

 

11| g

Kg =

 

1}

определим

функционалы

 

р п

(л =

1,

2,

. . .)

и />, положив

для

 

g ЕЕ

S%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рп

(g)

=

 

max

g (?/)

 

 

(л

=

1, 2 , . . . ) ,

р

(g)

=

1;

 

 

 

 

иными

 

словами,

 

 

(g)

=

|| g

L

=

max g- (г/).

 

Так

как

\ п

—* £

до

метрике

Хаусдорфа,

то

(см. предложение

3.9) ^ п

равномерно

 

§ 14j

Т Е О Р Е М А О М А Г И С Т Р А Л И В С И Л Ь Н О Й Ф О Р М Е

241

стремится к р, откуда вытекает соотношение рп (/„) —»;>(/) = 1. Используя формулу (14.2), имеем

/ (ж) = l i m /„ (хп) = l i m рп (/„) = p(f) = max / (у). v&

Из написанных

соотношений

и неравенства

|| х \\^

1 следует,

что

I х ||- = 1,

т. е. х £ д\,

а

это противоречит (14.1).

Получен­

ное противоречие и доказывает предложение.

 

 

 

 

Рассмотрим теперь нормальное отображение

a: R+

->

->• П

(i?+). Пусть % = (a:t)j=o ~

конечная

траектория

мо­

дели

Неймана — Гейла

Z,

порождаемой

этим

отображе­

нием, исходящая из внутренней

точки х0

конуса i?". Как

следует непосредственно

из

определений,

траектория

X оптимальна тогда и только тогда, когда хт ЕЕ д+(ат

{х0)).

Кроме того, в силу принципа оптимальности, из вклю­

чения хт ЕЕ д+(ат(х0))

 

следует

соотношение xt

ЕЕ д+ (а1

(х0))

(t =

1, 2,

. .

.,Т).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нам понадобится

еще

одно определение.

Пусть

\ —

нормальное

телесное

множество

в

Конечную

траек­

торию х =

(Zi)J=o

модели

Z,

рассмотренной

выше,

назо­

вем

£ -оптимальной

*),

если

х0

ЕЕ I,

хтЕЕд+{аТ

 

(|)).

Траекторию % = {xt)

этой модели назовем

 

^-оптималь­

ной,

если

Г-кусок

х П Р И

любом натуральном Т

является

g-оптимальным. Нетрудно проверить,

что для

конечных

|-оптимальных траекторий верен принцип оптимальнос­ ти. (Это можно показать с помощью тех же рассуждений, что и при доказательстве теоремы 11.1, более того, по­ скольку рассматриваемое отображение а суперлинейно, то эти рассуждения можно существенно упростить.)

Символом Жт (Е) обозначим множество тех элементов, содержащихся в из которых исходит хотя бы одна Г-шаговая ^-оптимальная траектория. Таким образом, по определению,

3Er® = a - T ( 0 V - ( i ) ) n g .

(14.3)

При всех натуральных Т

*) В более общей ситуации ^-оптимальная траектория была определена ранее в § 12.

242

А С И М П Т О Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Т Р А Е К Т О Р И Й

[ГЛ . I V

Кроме того, как непосредственно следует из принципа оптимальности,

^(Е)=>зев в й)з...=.жт (|)=>...

Через Жа (!) обозначим совокупность тех элементов, со­ держащихся в |, из которых исходит хотя бы одна ^-оп­ тимальная траектория. Используя канторовский диаго­ нальный процесс, легко проверить, что

Г ( £ ) = р, Гт{1).

т

Используя формулу (14.3), нетрудно убедиться в компакт­ ности множеств Х т Ш {Т = 1, 2, . . . ); отсюда непосред­ ственно вытекает, что £ а (|) непусто. Заметим также, что, в силу предложения 3.8,

Жат(1)->Г(1).

 

(14.4)

2. Формулировка теоремы о

магистрали

в сильной

форме. Леммы. Наша цель заключается в доказательстве следующей теоремы.

Т е о р е м а 14.1 Пусть а — нормальное суперлинейное отображение конуса Д™ в П (R+), причем

1)существует телесный выпуклый компакт |, для ко­ торого а| = а (£), где а — темп роста модели Z, порож­ даемой отображением а,

2)найдется функционал р из r i я а , принимающий на множестве Жа (£.) постоянное значение.

 

Тогда

если точка х0 ЕЕ Д+ такова, что l i m a - ' а '

(х0)

=

=

\, то для любого е >

0 найдутся

натуральные числа

L±

и L2,

обладающие следующим свойством: для всякой

конечной

оптимальной

траектории

(x,)iL0 , Т >

L±

+

+

L 2 ,

исходящей из точки х0, выполняется

 

 

если L-L <[ t <

Г

— L 2 .

 

 

 

 

З а м е ч а н и е

1. Если

модель Z,

порожденная

отображе­

нием а, имеет состояние равновесия (а, (х,

ах), р), где р^>

О,

О,

то телесный выпуклый компакт |, удовлетворяющий условию

а | =

= а (§), заведомо

существует

(см. § 7).

 

 

 

§ 14] Т Е О Р Е М А О М А Г И С Т Р А Л И В С И Л Ь Н О Й Ф О Р М Е 243

З а м е ч а н и е 2. Так как отображение а~ха непрерывно (см. предложение 7.1), то из существования предела у последователь­

ности (а~'а(

(х0)) вытекает,

что этот предел является собственным

множеством

отображения

а, отвечающим собственному числу

а.

Не умаляя общности, считаем в дальнейшем, что а =

1

(в'^противном случае вместо отображения а можно рас­

смотреть отображение

аг1а).

Положим bt = а' (х0)

(t = 1, 2, . . .). Так как bt -*• £

и множество £ телесно, то, начиная с некоторого номера,

каждое из множеств bt

телесно. Будем считать, что телес-

ны все множества Ьх,

Ь2, . . .,bt,

. . . Положим также

ЗД|)=ь?

 

4*,fc =

i , 2 , . . . ) .

 

Заметим, что а1: (bt)

=

at+k

(х0).

Это позволяет сформули­

ровать определение

Ь1} в

несколько

иных

терминах; а

именно, ft? совпадает

с множеством

точек х

из bt, обла­

дающих следующим свойством: найдется оптимальная

траектория % =

(хх)^0,

исходящая

из

х0 и

такая,

что

х = xt.

Доказательство теоремы

14.1 опирается

на

сле­

дующие

леммы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л е м м а 14.1 Для

любого

е >> 0 найдется

натураль­

ное число Тк такое, что при

t >

Tk

 

 

 

 

 

 

Ь? CZ (о-* ( П )

Г Ш +

»S

 

(й =

1, 2, - . ),

 

 

где S — единичный шар пространства

Rn.

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Покажем прежде

всего,

что

по данному е найдется % >

О, для

которого

*)

 

 

or* {дЧ + 4S)

П (6 +

С

(<г*

(д*£) f| 6) +

iS.

(14.5)

Предполагая противное, найдем для любого п элемент уп

такой, что

 

 

« . e [ ^ ( ^ + 4 - s ) ] n ( 6 + 4 - e ) . l

( 1 4 . в )

K,«((a-*(94)T1E) + »S)-

>

 

Не умаляя общности, считаем, что уп -*- у.

Тогда,

как

нетрудно проверить, первое из соотношений (14.6) пока­ зывает, что у принадлежит множеству а~к (<9+|) |~] £» а

*) Под символом a~k ( 5 + | + e 1 i ' ) понимается множество а~к

+ e,S) П Д >

244

А С И М П Т О Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Т Р А Е К Т О Р И Й

[ Г Л . J V

второе, что у не принадлежит этому множеству. Таким образом, наше предположение неверно, т. е. включение

(14.5) имеет

место при некотором е± >

0.

 

 

 

 

Так как

bt

|, то bt

CZ £ +

SiS

при всех t,

больших

некоторого числа 7". Кроме того, из предложения

14.1 вы­

текает включение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d+bt е д%

+

е,5

 

 

 

 

(14.7)

при всех

t,

больших некоторого числа

Т".

При

t~> Т"

справедливо

соотношение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а~к [d*bt) CZ о~к

[д*1 +

ex S).

 

 

 

(14.8)

Из (14.5), (14.7) и (14.8)

вытекает

*),

что

число,

равное

max (2", Т"

+ к)

является искомым.

 

 

 

 

 

Лемма

доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для произвольного числа

6 ЕЕ (0,

1)

и

функционала

р >• 0 положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q (б, t) =

{ж ЕЕ Ь, | р (ж) > ( 1 -

б) max р (г/)}

 

(* =

1, 2,...),

 

 

 

(14.9)

Q (б) = {жЕЕ11Р(ж) > ( 1

-

б)maxр(у)}.

(14.10)

Л е м м а 14.2. Имеет место соотношение

 

l i m (2 (б, t)=Q

 

(б).

 

{— 0 0

До к а з а т е л ь с т в о . Положим

с, =

maxp(i/)

(£ = 1,2,...), с =

max p(z/).

Так как bt

-*> £: то ct

с. Множества (? (б. г) компактны;

кроме того, последовательность (О (б, £))

ограничена. В

силу теоремы Бляшке из этой последовательности можно

выбрать сходящуюся

подпоследовательность (О (б,

th)).

Покажем, что множество ц

=

l i m О (б, tk)

совпадает

с

Q (б). Пусть

ж ЕЕ п. Тогда

найдется

последовательность

(xtk)

такая,

что x( f c

ЕЕ Q (б,

th) и

х1к->

х.

Поскольку

<? (б,

th) CZ

то и ж,А ЕЕ b( / f , откуда .следует, что х ЕЕ £.

Кроме того, р (ж( к )

(1 — 6)c<fe и потому р (ж) >

(1 — б)с.

*) Здесь использована формула Ъ}[ = а~к (cf'6( + ! c ) f)

Смотрите также файлы