Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 136

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 1'Л Т Е О Р Е М А О М А Г И С Т Р А Л И В С И Л Ь Н О Й Ф О Р М Е 245

Таким

образом,

х ЕЕ Q (б) и, стало

быть,

т) (Z Q (б).

Пусть

теперь

точка

z ЕЕ | такова,

что

р (z) >

(1 — б)с.

Так как z ЕЕ |,

то

найдется

последовательность

(z;.),

 

 

 

 

 

 

Zj, ЕЕ Ьк

 

л

обладающая тем

свойством,

что

и 2/„

z.

 

 

 

 

 

 

К

К

К

 

Положим е = p(z) — (1 — б)с и найдем номер К

такой, что

при /с> К выполняются соотношения

 

 

 

( l - 6 ) c > ( l - d ) c « k — i - ,

p ( Z t f c ) > j p ( * ) _ - £ - .

 

Имеем при к>

К

 

 

 

 

 

 

 

Р(\)>Р00

 

~ \ = (1 -

б)с + ±->(1 -

б ) V

 

Таким образом, для рассматриваемых номеров к

 

 

%

ЕЕ Q (б, tk),

 

 

откуда

вытекает включение z ЕЕ т).

(1 — б)с}

Мы показали, что множество {z ЕЕ £ | р (z) >

содержится в

T J . Так

как множество т] замкнуто,

то и

О (б) =

{z ЕЕ Е | р (z) >

(1 — б)с} содержится

в и.

По­

скольку

т) — произвольная предельная точка последова­

тельности (Q (б, г)), то эта последовательность

сходится

и l itm Q (б, t) =

Q (б),

 

 

 

Лемма доказана,

 

 

 

3. Доказательство теоремы 14.1

. Рассмотрим

собст­

венное множество |, фигурирующее

в условии теоремы.

Используя формулу (14.3), получим

 

 

П® = а-Цд+1)Г\1

(ft =

1 , 2 , . . . ) ,

 

и потому, как вытекает из (14.4),

 

 

«г» (0*5) n Е-* 26е (б>.

(14.11)

Выберем достаточно малое положительное число v и, используя (14.11), найдем номер ки, при котором

где S, как и раньше, единичный шар пространства Rn. По лемме 14.1 при достаточно больших t

246

А С И М П Т О Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Т Р А Е К Т О Р И Й

[ Г Л . I V

и потому при этих t

bf°dT(l)+^vS. (14.12)

Рассмотрим теперь функционал р, фигурирующий в условии 2) теоремы, и с помощью этого функционала построим по формулам (14.9) и (14.10) множества Q (v, t) и Q (v). Покажем, что при всех t

(G? (v, t) + vS)f]btCZQ

(v {l + M j

, *j

(14.13)

(где ct определено, так же как и при доказательстве лем­ мы 14.2, формулой с, = max р (у)). В самом деле, если ж

принадлежит

множеству,

 

стоящему в левой части вклю­

чения (14.13),

то

ж =

хг

+

ж2,

где

 

Р (xi)

>

(1 -r<y)ct!

 

р

(ж2) >

— v\\p\\.

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

р(х)>

' l

-

v ( l

+

M С/,

откуда и вытекает 1,14.13).

Будем считать в дальнейшем, что функционал р нор­

мирован так, что || р || =

с =

max р (у).

Поскольку,

как

отмечалось

при

доказательстве

леммы

14.2, С( -> с,

то

1 _[_ JzJL ^

з П

р И достаточно больших

t.

Для

таких

t,

как следует

из

(14.13),

 

 

 

 

 

 

 

« ? ( v , t) +vS)

r\b,cr.Q (3v, t).

(14.14)

Отметим еще. что из условия 2) теоремы вытекает включение

rmciQfy). (14.15) Привлекая лемму 14.2, в силу которой при достаточно больших t выполняется Q (v) (Z Q (v, t) + -jvS, и ис­ пользуя формулы (14.14) и (14.15), имеем для номеров t, больших некоторого t',

( X е © + 4~v 5 ) П Ь« С (<? (v) + 4-v5) П Ь« С

e ((?(v, t ) + v 5 ) n b , C ( Q ( 3 v , t ) ) .

Т Е О Р Е М А О М А Г И С Т Р А Л И В С И Л Ь Н О Й Ф О Р М Е

247

Привлекая теперь (14.12), убедимся в следующем: най­

дутся натуральные Т0 и к0

такие, что при всех

t~^T0

ЪЬ С

Q (3v, t).

(14.16)

Выберзм теперь произвольное положительное число е > О

и, используя лемму 13.1, найдем число S >- 0 ;

обладающее

тем свойством, что р (у)

< (1 — б) р (х)

для

любого

процесса

(ж. у) ЕЕ Z,

удовлетворяющего

условию

р ("j^Y"' M»j > е - Положим" в формуле (14.16) v = -|- б2 } таким образом, при t > Т0 справедливо включение

bf°CC?(62 , t).

Поскольку последовательность (с,) = (max р (у)) сходит-

ся, то число Т0

можно

считать

настолько

большим,

что

при

t>

У о выполняется

неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

шах р (у) <

(1 + б) max р (у).

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

конечную траекторию

 

% =

{xt)J=0,

 

длина

которой

Т превышает

Т0

+

&<>• Пусть

Т

 

— / г 0 >

t>

Та.

 

 

 

 

 

 

—р—|— , Naj

 

>

 

8,

 

имеем

 

 

 

 

 

Р ( ж 0 < ( 1 — в ) р ( я / - 1 )<

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 — 6Z ) max р

(у).

 

 

 

 

 

 

(1 — б) max р (у) ^

Таким образом, xt ф О (б2 ,

0

и,

стало

 

быть,

 

х, ф

bf°.

По определению,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ь?° =

^ 0 ( Ь ( ) =

а-^(а+ 6( + ,0 )П^-

 

 

 

 

 

 

 

Так

как

х, ЕЕ

о

(

и

г

 

0

,

то

x

t

ф

a

_ f r o

(9

+

&

( + f r o

).

Пос­

 

сс её of

 

 

 

 

 

леднее

означает,

 

что

аК> (xt)

f]

d+bt+ko

=

ф,

 

 

т.

 

е.

из

точки Xt

нельзя выйти за к0

шагов на положительную гра­

ницу множества

bt+ko

=

a'+K'° (х0);

в

 

частности,

 

х1+ка

ф

ф 3+ я( + ! с » (х0) п. следовательно, [t

+ /с0)-шаговая траектория

(а;т )^о не оптимальна. Тем более и исходная траектория X = (XT)TLO не оптимальна. Итак, наше предположение влечет неоптимальяость траектории %; стало быть, для

248 А С И М П Т О Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Т Р А Е К Т О Р И Й [ГЛ . I V

любой

оптимальной

 

конечной

 

траектории

 

(а;( )( =0 (Т \

^> Т(,

+

/со) выполняется

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{ X t - 1 , X t )

 

,

Na)<s

 

 

 

 

 

(T-k0>t>T0).

 

 

 

Теорема

доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Некоторые замечания, Приведем некоторые замечания к

теореме

14.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

З а м е ч а н и е

1. Рассмотрим модель Z,

обладающую

состоя­

нием

равновесия (а, (х,

 

ах),р),

где

2 >

О,

р

^>

0. Как уже отме­

чалось выше, эта модель имеет телесный собственный

компакт,

от­

вечающий собственному числу а.

 

Применительно

к

модели

Z

теорема

в

сильной

форме

доказана

при

двух предположениях.

Во-первых,

считалось,

что

существует

l i m аг1а!

 

(ха)

=

|

(при

этом

|

автоматически

является

собственным компактом); во-вто­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рых,

предполагалось, что указан­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ный компакт % обладает тем свой­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ством,

что

для

некоторого

р

с=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S r i

хса

выполняется р

(х)

=

const

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(х

G

Зса

(I)).

 

Следующие

 

ниже

 

 

 

 

 

 

 

 

 

примеры показывают, что

каждое

 

 

 

 

 

 

 

 

 

из

этих

предположений

суще­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ственно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р

 

1.

 

Рассмотрим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

подмножества

£х и £2

конуса R * ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

определенныеформулами (рис. 26)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ei = { * e f l J | 2 ** + z * < l } ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ь = { * е л £

1^ + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для]

1 6 ^

 

положим

*)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

о (i) =

х1^

+

х%.

 

 

Легко

 

проверить, что

(a, (S,

ах),

р),

где

а

=

1,

р

=

(1,

1),

s

=

=(1, 1), является состоянием равновесия модели Z, порожденной

отображением а.

Рассмотрим точки х'

= (1, 0), х"=

(0, 1). Очевид­

но, что а

(х') =

%и а (х") = £2 ,

заметим еще, что а (|х)

=

£2,

а

(|2)=

= | х . Из

сказанного следует,

что

последовательность

а1

(х1)

не

сходится. Пусть

Т — произвольное натуральное число. Рассмот-

рим траекторию

% •.

fa)*=o

«одели

Z,

где

 

 

 

1

 

г ( ( = 2 г ,2 Т + 1,

= х" (г = 0, 1, . . .

Т - 1 ) ,

xt: = у

 

4Г). Так

как у

х е

Э + (a4 i (ж'))

=

d + Е2, то траектория^ %

') Это отображение рассматривал Р. Рокафеллар [1].

 

 

 

 

 

ТЕО РЕ МА О МАГИСТРАЛИ В СИЛЬНОЙ

ФОРМЕ

 

 

249

оптимальна.

 

Заметим,

что

р

(х')

=

р

(х"),

поэтому

процессы

 

 

 

 

(t =

1, 2,

. . ., 2 Т

— 2)

лежат

в грани Na.

Кроме того,

(xt, xui)

 

е

Na

при t = 2 Т,

2 Г +

1, . . ., 4 Г — 1. Процесс же

(^х",

" ! " 2 ^ = (X2T-i' ^гт) г

Р а н

и

Na

 

ив принадлежит. Так как Т

про­

извольно и процесс (xiT_v

i 2 y ) лежит посредине траектории, то в

рассматриваемом

случае теорема

о магистрали

в сильной

форме

не имеет места.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отметим в

заключение,

что отображение

а

имеет собственное

множество £, обладающее тем свойством, что Э£° (£) с

р~г

(с). (В ка­

честве множества | можно взять, например, треугольпик {xEiR\

\ х1-^-

+

*2

<

 

Ц-)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р и м е р

2. Рассмотрим отображение а:

-*

П (Д+),

оп­

ределенное

формулой

a (z) =

<0, г>.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Модель

Z,

порожденная

отображением а,

имеет

единственный

темп

роста

а

=

1. При этом,

как

нетрудно

 

проверить,

j t a

=

= ( Я *

) * \ { 0 } . Пусть х0—

произвольная внутренняя точка конуса

R\.

Тогда

при всех

натуральных

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а1

 

(х0) = <0, х0>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и,

стало

 

быть,

предел

li m а1

(хо)

суще­

 

 

 

 

 

 

ствует

и

равен

множеству

% =

<0, хэ>.

 

 

 

 

 

 

Множество <3+£ состоит из точек х

таких,

 

 

 

 

 

 

что

0 <

х

<

х0

 

и либо х1

= х1,

либо х2

=

 

 

 

 

 

 

 

=2д(рис. 27). Любой функционал р из r i л;а

принимает на <?+ | разные значения. Пусть

Т— произвольное натуральное число. По­

ложим

хх =

(хд,

-L х*)

И рассмотрим тра-

 

 

Рис. 27.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

екторшо

х =

(*()(=(,'

 

г Д е

 

 

!0 (* =

0.

Так как х 2

Т =

х

 

1, .

. .,

Т), xt

=

хх (t

=

Т +

1, . . ., 2 Т).

 

 

то

траектория

% оптимальна. При любом р

 

 

 

 

 

р

(*,)

= р

(xt+1)

 

{t =

0, 1, . . ., Т

-

1,

Т +

1,

 

 

2Г),

 

 

 

 

 

 

Р

(*г) > i > (*r+l)'

 

 

 

 

 

 

так что процессы (xt,

 

x^J

(t

=j= T)

лежат в грани Na,

а

процесс

(хт,

х т + 1 ) в этой грани не лежит. Таким образом, в модели Z

теоре­

ма о магистрали в сильной форме не имеет места.

 

 

 

 

 

З а м е ч а н и е

2. Пусть a — нормальное отображение

i ? " —>•

- * П (Д"), причем модель

Z,

определяемая

этим

отображением,

имеет состояние равновесия (а, (2,

у), р),

где р

^> 0. В этом случае а

имеет собственный компакт |, отвечающий

собственному

числу а,

Смотрите также файлы