Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

250

А С И М П Т О Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Т Р А Е К Т О Р И Й

[ Г Л . I V

ния а щ ) . Это позволяет применить

теорему 14.1 для

исследования

асимптотики траекторий модели

Z,

исходящих из

точек

конуса

ГШ-

В

случае,

когда

модель Z

обладает лишь темпами роста а та­

кими,

что я а

не

содержит

внутренних

точек

конуса

имеет

смысл рассмотреть модель Za

(см. п. 3 § 13). Эта модель имеет

со­

стояние равновесия

вида

(а

(х,

у),

р),

где р ^> 0. Используя ее,

можно изучить асимптотику проекций (xi)JL0

конечной траектории

X =

(xf)jL0 (определение этих

проекций

приведено

в п.

3 § 13).

З а м е ч а н и е

3. Пусть

о

отображает

в П (Д£)

и не

яв­

ляется нормальным. Так как оптимальная траектория в модели

Z,

порождаемой

а,

является

оптимальной

и

в модели

nZ,\порождае­

мой

отображением па, то доказательство

теоремы о магистрали в

сильной форме для

модели Z

сводится

к

доказательству

теоремы

для

нормальной

модели

nZ.

З а м е ч а н и е

4. Если модель имеет строгое состояние равно­

весия

(ос, (х,

ах),

р),

то в формулировке теоремы 14.1 вместо не-

xUi)

/и

\

равенства р \ — J T ^ - J — - ' ' а у ^ е

можно

написать

/4*1' xt+i)

д,

\

,Г]

здесь зависит лишь от еиа;0 , ноне

р ^ — p r ~ j j — ,

NaJ

< е . (Число L

§ 14]

ТЕОРЕМА О МАГИСТРАЛИ В СИЛЬНОЙ ФОРМЕ

2 5 1

им модель Z

имеет

строгое

состояние

равновесия

а =

=(а,(ж, ах),

р),

причем ж^>0. Тогда для любого е > 0 найдут­

ся числа Lj

и Ьг

такие, что для всякой конечной

оптималь­

ной траектории

(xt)J^0,

исходящей

из внутренней

точки

х0 конуса i?+, выполняется

х1

о ,

ИМ

Я* II

если

Lt <.t

<С Г —

L2.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Считаем, не умаляя

общно­

сти, что а

=

1 и

р

(х) =

1. Доказательство теоремы

ра­

зобьем на три части.

1)

Положим

11=[]~иЩ,

£,=

П

/

t

где

т] = {у

ЕЕ

R+1 р (у)

< ; 1 =

р ($)}•

Так

как

сос­

тояние равновесия

а — строгое, то

р ^ > 0,т и'поэтому

(см. п. 4 § 7) Ед и 1г

— собственные компакты отображения

а. При этом

Ед CZ

£,2- Кроме] того, поскольку

Ж^>0, то

Ел — телесный компакт. Введем в Rn

монотонную

норму

зательстве равенства Ед =

Е,5. Предположим, что

это

ра­

венство неверно. Тогда найдется элемент

у ЕЕ

| 2

такой,

что

у §Ё Ед,

т. е. jl у

=

1 +

2е, где б >

0.

Последнее

неравенство

означает,

что

у

(1 + е)Ед. Так

как

Е2

=

=

П ят (т|),

то у ЕЕ а т

On) при

любом натуральном

Т,

и,

т

где !/

Е

г), ут =

у. При этом

0т

yjф(1

+

е)Ед

(« = 0 , 1 , 2,..., Г; Г = 1, 2,...). (14.17)

ния yj

ЕЕ

(1 +

е) Ед следовали] бы соотношенияТг/i+i ЕЕ

Её a (yj)

CZ

а((1

+ в)!,) = (1 + е)Ед, y£zEE(i

+ в) gl f . . .

2 5 2

АСИМПТОТИКА ОПТИМАЛЬНЫХ

ТРАЕКТОРИЙ

[ Г Л . I V

существовали пределы

Уо =

Н т yf*,

ух =

l i m у**,yt

= l i m у? к,...

(14.18)

Последовательность (yt)

является траекторией модели Z.

Так как Z имеет строгое состояние равновесия, то (тео­

рема 13.4), существует

предел l i m уи

равный Я.Ж, где X —

некоторое

неотрицательное число.

Из

(14.18)

следует,

что

yt ЕЕ а' (л)

(t = 1, 2, . , .)• Но, по

определению т):

следовательно, yt GE т], а потому и l i m у, = Хя GE ть

Еще

раз привлекая определение множества л,

получим

р {XX) < р

(ж),

откуда следует неравенство A, < I 1.

Покажем, с другой стороны, что Х>

1. В самом деле,

переписывая (14.17) в виде |! yj

;> 1 +

е (£ = 1 , 2 , . . .

7Л.21 = 1, 2, .. .),получим неравенство || yt

1 + 8,

откуда следует, что

положение неверно; таким образом,

Si =

5г .

(14.19)

2) Покажем,

что

Ж° (SO = {ж}.

Включение

Ж ЕЕ

ЕЕ 36° (Si) очевидно. Пусть теперь £ E E S u a ; = r = S H %

=

траектория, исходящая из х. Тогда при некотором X

О

выполняется l i m xt =

Я.Ж. Очевидно,

что

А. = l i m р (ж,).

Так как ж =£= Ж и состояние равновесия

о — строгое,

то

l i m р (xt)

р (хг) <

р (ж) ^ max р (ж) = 1.

одна траектория, исходящая

из точки

ж. не является

^-оптимальной, т. е. х ЕЕ Ж° (£г ).

Из доказанной нами формулы Ж°

= {ж}

следует,

что собственное множество

| х

удовлетворяет

условию

2)

теоремы 14.1.

3) Покджем теперь, что для

любой точки ж„ ^ > 0 вы­

полняется при некотором л >

0 равенство

l i m а1 (ж0) =

=

Для пормального компакта | положим

Я, (£) = max {% I

E E l } , ц (I) =

max p (г/).

(14.20)

bt = а' (х0),

Xt = X (b^

ц( = ц (&,).

Так как А.( Ж ЕЕ Ь( = а' (Жй) и Ж Е а (Ж), то

%[Х ЕЕ а.

с а (а* (ж0)) =

Ь( + 1 ,

откуда вытекает неравенство л . т Е>

Таким образом,

последовательность (Xt)

возрастает.

Ц-f+i — Р(У)<Р (х) < max р (ж) = р.,.

Таким образом, последовательность

(ц.,) убывает. Из

мо­

нотонности последовательностей (Xt)

и (р,,) вытекает

су­

ществование пределов l i m Я.( =

и l i m рг = pt. Покажем,

что X — (X. Последовательность

(&( )

ограничена (в про­

дельные точки

П у с т ь ! — одна из этих точек; I = l i m blr

Так как отображение а непрерывно

(см. предпоже_

ние 7.1), то

а (|) = l i m и (btl).

Из

непрерывности