Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

256

А С И М П Т О Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Т Р А Е К Т О Р И И

[ГЛ . I V

ную

оболочку).

Важную роль в дальнейшем играет следующее

П р е д л о ж е н и е

15.1. Пусть

Na

— нейманов­

ская

грань

модели Z,

отвечающая темпу роста

а. Тогда

для любого

натурального

Т

найдется число е > 0, обла­

дающее следующим свойством: если траекториях

— (Ж,)(=0

модели Z такова, что *) % =j= О и

- ,

tf«J<e,

t = (0,

i,...,T-i),

то

найдутся

такие траектории %' =

(xi)i=0

и %"

=

— (я()|=о модели Z, что

%t = х\ + x"t

{t = 0, 1 , T ) ,

Х'ф0,

(x'hx't+1)ElNa

(* = 0, 1

Г — 1 ) .

Д о к а з а т е л ь с т в о

предложения

мы

проведем

в несколько

этапов.

1) Рассмотрим

в

пространстве

(Rn)T+l

=

функционалы над пространством

(Rn)T+1

Фо = (/,

g, 0, . . .,0), ф 1 = (0, /,

g, 0, . . ., 0), . . .

. • •, фт-i =

(0, 0, . . /, g)

входят г в

( Z T ) * (т. е. ф | (X) > 0. если

X ЕЕ ZT, t = 0,

1, . . . . Т — 1). С другой стороны,

если ср = (0, 0, , . .

f,g\

. . ., 0) GE(ZT)*, то (/, g)

GE Z* .

§ 15] Т Е О Р Е М А О М А Г И С Т Р А Л И В С И Л Ь Н Е Й Ш Е Й Ф О Р М Е

257

Из этого простого замечания следует, что ZT—

многог­

ранный

конус. В самом деле, так как конус Z

многогра­

нен,

то он является пересечением конечного числа полу­

пространств

вида /<*> (х)

+

(у)

>

0 (к

=

1, 2, . . .,

т),

а потому ZT

является пересечением

конечного числа полу­

пространств,

определяемых

неравенствами

ф,№)

(X) >

О

(t

=

0, 1, . . .,

Г -

1,

к

-

1. 2, ... ., т);

здесь

<р[к)

=

=

(0,

0

f\

0, . . . ,0) .

t

2) Обозначим через Nl

совокупность

всех

элементов

X =

(х0.

. . ., хТ)

конуса

ZT,

таких,

что (хи

xt+1)

ЕЕ i V u

it

=

0, 1. . . . , Т —

1). Множество i V j непусто, так как

оно

содержит

элемент

% =

(г, a

S, .

. ., ат£)

(здесь

Ж — элемент, входящий

в

состояние

равновесия

( а ,

(г,

что Na

является

гранью конуса ZT.

С этой

целью рас­

смотрим

функционалы

р ЕЕ ri па

и

ф( =

(0,

0, . . .

....

,ар,

— р , 0

0) над пространством(i?n )T + 1 . Положим

t

Т-1

Ф =

2

ф|-

Так

как

ф (

(х) > 0

для

любого

элемента

X 6 E Z ~ r

V =

0, .. ., Т

- 1 ) , т о и Ф ( х ) > 0 . Еслиф(х) =

0,

то ф( (х)

=

0 при всех

Это означает, что % ЕЕ i V j . С дру­

гой стороны,

если % ЕЕ N^, то ф (%) =

0. Таким

образом,

множество

Na

совпадает с пересечением конуса

Z

и ги­

перплоскости Н<?

функционала ф. Так как ф ЕЕ {ZT)*,

то

Я Ф

является гранью конуса ZT(CM.

П . 13 § 2).

3) Поскольку

ZT — многогранный

конус,

то

он

яв­

Хи

• • ••> %i- Пусть

элементы %t занумерованы так, что

Xi.

Хз. • • %i е Nl,

Xj+i, . . ., X; GE Nl. Обозначим че­

. . . , Xi с единичной сферой S пространства

(Rn)T+1.

Так

как ф (х) =

0 (х ЕЕ Nl)

и ф (%) >

0 (% ЕЕ Q)

(здесь

ф —

функционал,

построенный в п. 2)), то множества Na

и Q

не пересекаются, а потому р (Nl,

Q) =

б >

0.

4) Рассмотрим траекторию % = (50,

%п .

. ., Жт ), фи­

гурирующую

в условии

предложения.

Эту

траекторию