Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

§ 15] Т Е О Р Е М А О М А Г И С Т Р А Л И

В С И Л Ь Н Е Й Ш Е Й Ф О Р М Е 259

I

лен в виде X = 2 ^ X i (^« >

0)>т о п о крайней мере одно

%' =2^гХь X" = 2 ^ХгОчевидно,

что

элементы

г =Х

г=У-1-1

%' и х" являются искомыми.

Предложение

доказано.

Так как конус Z. рассматриваемый нами, многогранен,

то

он является

конической оболочкой

конечного числа

образующих. Не умаляя общности, можно

считать, что

эти

образующие

«конически независимы», т. с. ни одна

обозначать через

(as , Rs) (s =

1, 2, . . ., S).

Пусть

%т = (xt)f=0

— конечная траектория модели Z.

Для

траектории

Хт

существует

последовательность

(h,)f=1

(где h, е= R+ (t = 1, . . ., Г)) такая, что

S

S

x t = 2

a s f r i + i .

S f + i =

2 Ps^t+i-

s=0

s=o

Вектор / i ( называется

планом

траектории Хт в период

t, а сама

последовательность

{h,)J=1

— траекторией пла-

260

А С И М П Т О Т И К А

О П Т И М А Л Ь Н Ы Х

Т Р А Е К Т О Р И Й

[ Г Л .

I V

ность Я = (/it, h2: .

. .,

ht,

. . .)

такая,

что

каждый

ее

«кусок»

(их, h2,

. . .,

ht)

содержит

не более п (t

+

1)

от­

личных

от нуля

координат.

Следующее предложение

гарантирует

существование

конечных базисных

траекторий.

П р е д л о ж е н и е

15.2. Пусть

хи

ЕЕ

R+,

у ЕЕ

аТ

(х0)

(где а — производственное отображение

модели Z).

Тогда

найдется базисная Т-шаговая траектория % модели Z,

исходящая

из точки

ха и приходящая

в точку у.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

как

у ЕЕ

аТ

(хи),

то

точки х0

и у можно соединить Г-шаговой траекторией. Это

означает, что найдется вектор Н — (hx, h2,...,

hx)

( Я >

0)

такой, что

Ahx =

х0,

Bhx

= Ah2,

. . ., BhT-i

=

AhT,

BhT

=

у.

(15.1)

(<xlt - р ь

0, . . . ,0), . . .,(as, -

pa, 0, . . . ,0),

(0, ах, - р

ь

. . . , 0 ) , . .

.,(0, a s ,

- p s , 0

0).

(15.2)

(0, 0, . . .

0, a l f - Р 0 ,

• • „(О, 0, . . ., 0, a s ,

- Ps)-

Из формулы (15.1) следует, что п х

(Т + 1)-мерный

вектор х

=

(яо, 0, 0, . . .,0, у)

входит в Z.

Воспользуемся

Множество

Y связно,

и поэтому

элемент % представим

как выпуклая комбинация нз более чем п (Т

+ 1) точек

из Y.

Поэтому

найдется

вектор

Я =

(hi,

h2,. . .hr),

Я > 0 ,

имеющий не

более

чем

п (Т

+ 1)

ненулевых

координат

и такой,

что

Ahi

=

х0,

Bhx

— АЪ2

=

0, . . ., Bhr-i

— AhT = 0,

Ясно, что последовательность

% =

(Ж,)^о>

где £0

= х0,

= Bht = Ahm

(t = 2, . . .,

T —

1), хт

= BhT

явля­

ется базисной траекторией модели Z.

Предложение

доказано.

если

1) неймановская грань Na

представляет

собой

кони­

ческую оболочку в точности п базисных процессов (аи

[},),

(а2 , р*2), . . .,

(ап,

fj n );

2) существует натуральное М

такое,

что для

любой

Г-шаговой траектории %т =

(xt)J=0

(Т>

М),

обладающей

тем свойством, что (xt,

xi+1)

ЕЕ

Na

(f

=

0, 1, . . . ,

Т

— 1),

каждый из процессов (ж,, xm)

(t =

М,

М

+ 1, . . ., Т

—1)

является относительно внутренней точкой грани

/Уа.

(Последнее

означает,

что

в любом

разложении

(xi,

Xt+i)

п

по образующим

(xt,

xi+l)

— 2

n

s

, t (as>

Ps) в

с е

коэффи-

циенты hs>t

положительны.)

s=X

2. Т е о р е м а о м а г и с т р а л и в с и л ь н е й ш е й ф о р м е .

Т е о р е м а 15.1. Пусть

модель Z обладает невырож­

денным темпом

роста

а.

Тогда у любой базисной

траек­

тории х =

(Х[),

имеющей средний

темп роста а,

все про­

цессы (xi, х1+1),

за исключением, может быть,

лишь конеч­

ного числа, лежат в грани

Na.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

е — число,

которое

отвечает натуральному

М +

1 в силу предложения 15.1.

(Здесь М — число, фигурирующее в определении невы­

рожденности.)

T

I K

как траектория

% имеет темп роста а,

то она стремится к грани Na.

и потому

найдется

номер

т такой, что при t >

т

262

А С И М П Т О Т И К А

О П Т И М А Л Ь Н Ы Х

Т Р А Е К Т О Р И Й

[ГЛ . I V

нулевых координат. Рассмотрим (М

+ 1)-шаговую

траек­

торию %м — (ят. хх+1>

• • •>хг+м+\)

и, используя предложе-

ние

15.1, найдем траектории

%' =

(x't)?=o

и х" =

(x'i)t^o

такие, что xx+l

— x't

+ x"t(t

= 0, 1, . . ., М

+ 1), %' 4= 0>

(x't ,

xi'+i) ЕЕ Na

(t =

0, 1..

. ., Af). Представлению

траек­

ставление вектора (hx,

. . .,/IT+M), порождающего %м, в

виде суммы векторов

. . ., Ь,'х+м) и (hx, . . . ,

порождающих %' и х "

соответственно. Так как траекто­

том,

что у вектора hr+T(T

М) координаты

к\+м, • • •

... , 7г£+м, отвечающие

неймановским

образующим,

по­

ложительны

(для этого надо

рассмотреть

траекторию

(х-с+т-м. • •

Ят+т))-

Предположим, что существует р процессов ( x T

l , x T l + i ) , . • •

. . .,

( x v

x-cp+i) ( т р >

T p _ i >

. . . >

т, >

т +

М),

не

мя,

используя

базисность траектории

х> получим

Q sg; n(t +

1) =

nt + п. Итак, nt + п >

nt — (п — 1)(т

+

+

М — 1)

+ р, откуда вытекает, что р

п +

(п — 1) (х

+

+

М— 1)

. Из полученного неравенства и следует утверж­

дение теоремы. .

теоремы, легко

показать, что имеет место

Т е о р е м а

15.2. Пусть а — невырожденный

?пемп

роста модели Z,

точка Хц 1> 0 и функционал f ] > 0 удов­

летворяют следующим условиям:

а) из точки х 0 исходит траектория %, имеющая

сред­

ний темп роста

а,