Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

б) к"р

<

/ <

(где к', к"

>

О,

р ЕЕ r i яа).

Тогда

для любой конечной траектории

(.x,)/L0,

базисной и

опти­

мальной в смысле}:, число процессов (xh

xt+1),

не лежащих в

грани Na,

не превосходит некоторого

числа

L.

Нетрудно

привести

примеры,

показывающие,

что и

образом

норма, которую обозначим

символом ||-jlt . За­

метим, что никакой связи между нормами ||-||t

при разных

t не предполагается. Пусть (х,

t)

ЕЕ

Ё. Символом ||-|!(;t

обозначим норму в пространстве X ,

X X t , определяемую

следующимобразом:

II(х, У)Iх = (Ixf + jyI?)*

((х,

]/) ЕЕ X ,

х

Х т ) .

Расстояние от элемента z до множества О в простран­

стве

Xt

(соответственно, в

Xt

X Хх)

будем

обозначать

символом р, (z, Q) (соответственно, р,,т

(z, £?)). Если норма

в каждом из пространств Xt

(t

ЕЕ

Е)

обозначена

символом

||-jl(,

который снабжен пекоторым

индексом, штрихом и

т. п.,

то

символы ||-||i,t) Рм

Р/,т

будем снабжать тем же

264

А С И М П Т О Т И К А

О П Т И М А Л Ь Н Ы Х

Т Р А Е К Т О Р И Й

[ Г Л .

I V

В

этом

пункте мы рассмотрим асимптотическое

пове­

дение тректорий модели SR, допускающих согласование*).

Нам

понадобится следующее

простое

— конечно­

П р е д л о ж е н и е

16.1. Пусть

Хг,

Хг

мерные

нормированные

пространства;

x-t

ЕЕ X,,

/,• ЕЕ Хг

(i

=

1, 2),

причем

fx (xj)

!> /2

(х2 ) ^> 0.

Положим

Н

=

=

{(х,

у)

ЕЕ Хг X Х 2

| А

(х)

= U

(У)}-

Тогда

**)

ад

I ^

/ i

(ад)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

функционал

g

=

(flt

— /,) из пространства (Хг

X Х2)*-

Очевидно, что

g ( W )

= T ^ ( / l ( i l ) - / 2 ( : C 2 ) ) > 0 '

то,

используя предложение

13.4, получим

/ (ад,

ад)

рт\_

8 (ад. яа)

1ад||

'

J

11ад1Мк11 '

Учитывая,

что

g ( ( х ь

0))

=

/х

(xj),

имеем

Таким

образом,

/ (ад, яг)

'

гЛ

< r

g ((ад, ад.)) _

/i(ад) — hЫ

_ , _

h(ад)

р

1

«адИ

^

Ыад)

~

/1(ад)

"

А (ад) '

что и требовалось

доказать.

*)

Напомним,

что траектория X = (ад) ; е в модели §Ш допускает

согласование,

если

найдется

траектория

ф =

(ft)ieE

м ° Д е л и

9Й'

такая,

что

l i m /< ( x t ) >

0.

/ (ал, хг)

\

**)

(

Здесь

символом р ^—ц ^

ц

, IIj

обозначено

расстояние от эле-

ад,ад\

I х

|| j

пространства

Хг

X

Х2

до множества //, вычисленное

по

норме

|| (х,

у)

|| = (|| х

f + || у

|| 2)Ч'-

Заметим, что

|| хг ||

0, т

как

h

(хг)

>

0.

§ 16] А С И М П Т О Т И К А

Т Р А Е К Т О Р И Й

О Б Щ Е Й

М О Д Е Л И

265

Т е о р е м а 16.1. Пусть

{%, ф) — согласованная

пара-

траекторий

*)

X = (яОгеЕ' X GE i V ,

ф =

{fi)teS,

Ф е Рт-

Пусть,

далее,

(£ft)JcLi

—

произвольная

возрастающая

последовательность элементов множества Е и

Н ' к - =

»

)

е ^

х

I//*(*) =*= //к+1 (г/)}-

Тогда

.

I

(xi

'к

> xi

ЧМ'

)

тт

\

I

v

п

.

\Sk

; ' k + l l a w

откуда и следует справедливость теоремы.

Пусть в каждом из пространств

Xt (££= Е)

введена

норма ||-И/. Пусть, далее,

ф = (ft)teE

и % =

( ж , ) , е Е —

траектории моделей €DJ' и 50J соответственно.

Положим

# « . т (Ф) = {(^, 2/) ЕЕ X, X

X , | /, (ж) =

/, (г/)}

((г, *) 65 5 ) .

*) Напомним, что символом

(соответственно, Рш,)

обозна­

П р е д л о ж е н и е 16.2. Пусть ср =

( / л

, е я

—

траек­

тория

модели Ш

такая,

что ft

ЕЕ

i n t (К,)

(t

ЕЕ Е);

пусть,

далее, траектория

X — (x,)t(=E

модели 59J стремится к се­

мейству гиперплоскостей

траектории ср в смысле семейства

норм

(|!-||f)( e E и х, =j= 0 (t ЕЕ Е).

Тогда пара

траекторий

(X, ф) согласована.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Допустим, что

предложение

неверно. Тогда l itm /, (xt)

=

О, и потому найдется возрас-

тающая последовательность

(t^^i

элементов

множества

Е такая, что

* - »

W

По условию предложения,

(

, ж,

)

\

/, (х. ) — /,

(х,

)

1

/,

'i-t+A+i*

У2

\

w

Учитывая (16.3),

имеем0 =

—j=-(1 — s), что

невозможно,

так как s < l . Полученное

противоречие

и

доказывает

предложение. Из

предложения

16.2 вытекает следующая

теорема, которую можно рассматривать как

частичное

обращение теоремы 1 6 . 1 ' .

(/( )(Е Е — траектория

Т е о р е м а

16.2. Пусть

ф =

модели

93Г такая, что ft

ЕЕ i n t (Kt)

(t ЕЕ

Е);

пусть, далее,

траектория

X =

[xt)mE

модели ?К абсолютно

стремится

к семейству

гиперплоскостей

траектории

ф

и xt =j= 0.

Тогда

пара

траекторий

(X,

ф)

согласована.