Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

вытекает следующее

— траек­

П р е д л о ж е н и е 16.3. Если

ср =

(ftjt^E

тория

модели 55К', причем /( ЕЕ i n t (Кt) (t

ЕЕ Е),

и траек­

тория

X стремится к семейству гиперплоскостей траек­

тории

ср в смысле семейства норм

(!|-||Г)(еЕ) то она стре­

мится

к этому семейству абсолютно.

сходимости.

16.4. Пусть

модель

такова,

П р е д л о ж е н и е

581

что размерность пространств Xt (t ЕЕ

Е) больше

единицы.

Пусть,

далее,

ср =

—

траектория

модели

502',

причем

ft ЕЕ

i n t (К*

) (t

ЕЕ

Е).

Тогда

для каждой траек­

тории

х =

(xt)teE

(%1 4= 0,

t ЕЕ Е)

модели

5Ш

найдется

семейство норм.

такое, что % стремится

к семей­

ству гиперплоскостей траектории ср в смысле (|Н|();еЕ-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из условия предложения вы­

текает,

что

найдется

элемент

у, (t ЕЕ Е)

конуса

К(,

линейно независимый с х(

и такой, что /, (у,)

= 1.

Так

как

элементы х,

и

y t

линейно независимы,

то

найдется функционал ht

из Xt

такой, что

ht(xt)

= h,(yt)

=

i

(t ЕЕ Е).

Пусть ||-||, — некоторая

произвольная

норма в простран­

стве Xt

и с,

=

max (||ж,||,, ||у(Ц(). Для х

ЕЕ X ,

положим

||а;||(' = т а х ^ 1 ^ - , | ^ ( а ; ) | ^ .

(16.4)

11*,ц;=1Ы|(' = 1-

(16.5

Оценим теперь ||/,||i. Имеем

||/(||;= max /,(у)>/,(у,) = 1-

(16.6)

И1/11('<1

§ 16j АСИМПТОТИКА ТРАЕКТОРИЙ ОБЩЕЙ МОДЕЛИ

269

Пусть (£;,)fcLi— произвольная

возрастающая последова­

тельность элементов множества

Е.

Используя предложение 13.4, а также формулы (16.5)

и (16.6), имеем

/ (ж( , x t l ; + ^ )

\

мана — Гейла Z определяется

нормальным отображением

а : R+ -»• П(Л+). Наряду с Z рассмотрим

технологическую

модель второго рода

= {Е, (X,)tsE,

{Kt)teBE,

(От,

0

е ^ Ь

пучок траекторий

которой

совпадает

с

совокупностью

всех траектории модели Z. (Определение

этой модели см.

в п. 3 § 10.)

Дадим прежде всего

геометрическую

характеристику

траекторий модели

Z,

имеющих

средний

темп

роста а.

Т е о р е м а

16.3. Пусть

модель Z

имеет

состояние

равновесия (а,

(X,

у),

р),

где р ^> 0. Для

того чтобы тра­

ектория X =

(ж() этой модели имела средний

темпроста

а, необходимо

и

достаточно, чтобы она абсолютно стре-

270

А С И М П Т О Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Т Р А Е К Т О Р И Й

[ГЛ . I V

31* =

{Е, ( L f ) ( e E > (rf)( £ E ,

Так

как

Г;г

— грань конуса

R+ и

этот конус много­

гранен,

то

последовательность

( Г * ) ^

состоит лишь из

0 = 0, и рассмотрим

отдельно два

случая.

1) Т = 1. В этом

случае Г'о =

Г^. Пусть а — сужение

отображения

а на грань г*. Тогда, по определению под­

модели,

а (То)

= Тх

=

Го, откуда

следует, что Г* = Го

при всех

t. Обозначим

через Z график отображения а.

исходящих из точки х, можно изучать

с помощью нейма­

новских

граней конуса Z

(существенно более узких,

чем

грани конуса

Z).

2)

Т^>1.

Не умаляя

общности,

будем

считать,

что

Т

=

2. В

этом

случае Го =

Г2 ,

TQ =/= Г*.

Через

at

обоз­

начим сужение

отображения о на грань Tf

(i

=

0, 1). По

определению

подмодели,

а0

(Го) =

Г?, ах

(Г*)

=

Тх

=

Тх-

Из

сказанного

вытекает,

что

Г*

=

Г£

=

. . . =

Tfi =

Г

Х

рХ

1

—

1

3 — • • • — -I 2(+1

—

• • •

Через

(az)i

обозначим

сужение

отображения

а2

на

грань Г? (i

=

0, 1). Имеем

ах.

(а2 ) о = ах о а0 )

( а 2 ) х

= а0 0

Пусть а — темп роста отображения (а2)а. Тогда

найдут­

ся

х0

ЕЕ

Тх

и

Ро ЕЕ (Го)*,

для

которых

выполняются

§ 16]

АСИМПТОТИКА ТРАЕКТОРИЙ ОБЩЕЙ МОДЕЛИ

271

соотношения

ах0 Е Е 02 )„ (ж0),

р0 Е Е ( а 2 ) 0 (р0),

р0 ( х 0 ) > 0.

Так

как

(а2)ь(х0)

= ах(а0(х0)),

то

найдется

xt Е Е

Г*

такой, что ах0

Е Е а^х^), жг Е Е ай

(ж0 ). Используя

эти соот-

пошения,

получим

ахг Е Е

аа0

(х0) = а0 (ах0) d

(жО = (а 2 ) х

(xt).

Так

как

(а2)'0

= (д^д,,)' = а'^а'а, то

найдется р х Е Е (-Ti)*>

для которого (l/a)Po£E:ai(pi). Pi Е Е а 0

( р 0 ) .

Рассуждая

так

а х 0

Е Е

«1 fo), хх Е Е а 0

(я0 ),

1

'

'

Pi Е Е a0

(Ро)

—

Ро GE fli(Pi),

вытекают неравенства р 0 ( х 0 )

< Г р, (xj)

^ р 0 (х„). Таким

образом, р 0

( х „ )

= р х

( х х ) >

0.

Мы показали, что а является

темпом роста отображе­

ния (a2 )i.

Через Zj обозначим график отображения я,- (г = 0, 1),

через

ла — совокупность

всех пар вида

(ри ,

рх )

таких,

что р х

Е Е «о (Ро),

(l/a)Po S

« i

(Pi)-

Положим

#P.,Pt = {(*. 2/)

е

Го X

Г?|

ро

( х )

= рх (у)}

((Ро,

Pi) Е Е

я в ) ,

нк Р,

=

х ) ЕЕ г х

х

г?I Pi {у)

= -^Ро

Ц

(О7», Pi) е я . ),

iv» = z 0 n

п

я £ , й >

i v i =

z 1 n

п #P „,P l -

(Ро, Pi)e*a

(Ро, РОе^сс

Множество

Nla

{i = 0, 1)

уместно

назвать

неймановской

гранью конуса

Zt.

Рассмотрим

траекторию

/

1

1

1

1

\

• •]

ф = [Ро, Pi, — Р о , —

P i . - ^ r P c - ^ - P i , -