Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 17.10.2024

Просмотров: 125

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

272

А С И М П Т О Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Т Р А Е К Т О Р И Й

[ Г Л . I V

теоремы 16.1, траектория % ведет себя следующим образом:

 

Нетрудно проверить, что в рассматриваемой ситуации

имеет место аналог теоремы

 

о магистрали в слабой фор­

ме, показывающий, что процессы (х,, xt+1),

 

составляющие

конечную оптимальную траекторию % =

(x,)iL0,

исходя­

щую из точки х,

мало уклоняются от грани N

°

(при четных

if) и грани iV a (при нечетных

t).

Приведем лишь

форму­

лировку

соответствующей

 

теоремы. Доказательство

 

ее

можно провести с помощью тех же рассуждений, что и в

теореме 13.3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

16.4. Пусть

функционалы

/„ 6= (Тх)*

 

и

fx

ЕЕ

(Г*)*

обладают

следующим

свойством: /J >> 0,

если

Ро >

0; Л

=

0, если р\ = 0; /{ >

0, если

f\ >

0;

f[

=

 

0,

если

p i =

0.

(Яак

обычно,

( Г { ) *

— конус,

сопряженный

к

Тх

в пространстве

Lx

= Т? — Г?.)

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть,

далее, е — произвольное положительное число.

Тогда для

любой

конечной

траектории

XT =

(xt)i=n,

 

ис­

ходящей из х, оптимальной

в смысле /0, если Т

четно,

и в

смысле fx,

если Т нечетно, число процессов

(хи

хн1)

таких,

 

 

— p - ! j p - , Naj

> в (причетном t) ир(

 

 

j ^

'

*

1

, N

(при нечетном t) не превосходит некоторого числа L (не зависящего от длины траектории Т).

Г Л А В А

V

МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ

Внастоящей главе развивается теоретико-игровой подход к моделям экономики. Понятие оптимальной тра­ ектории, которое до сих пор изучалось в этой книге, основано на постулировании некоторого общего критерия оптимальности, выбираемого заранее. При описании ряда экономических ситуаций предположение о существовании такого общего критерия оптимальности является нереаль­ ным. Можно предполагать наличие определенных, четко сформулированных целей только у отдельных частей экономической системы. Поэтому здесь естественным об­ разом возникает теоретико-игровая постановка.

В§ 17 формулируется бескоалиционная игра несколь­ ких лиц в нормальной форме и доказывается ряд фактов, необходимых для дальнейшего. В следующих двух параг­ рафах изучается весьма общая модель экономического равновесия. В частности, показывается, что состояние равновесия в этой модели обладает экстремальными свой­ ствами, т. е. можно подобрать такой критерий оптималь­ ности, согласно которому состояние равновесия будет оп­ тимальным состоянием.

Заметим, что содержание настоящей главы далеко не исчерпывает всего того, что известно в настоящее время относительно моделей равновесия. В частности, не зат­ рагиваются модели, основанные на играх с коалициями, а также модели, в которых равновесие понимается не в классическом смысле Нэша, а в различных других смыс­ лах, см. Берж [1], Нейман и Моргенштерн [1].

Частично вопросы равновесия рассматриваются также в следующей главе. А именно, здесь изучается равновесие только на конечном временном интервале, ему соответст­ вуют конечные оптимальные траектории. В гл. V I форму­ лируется и изучается модель экономического равновесия на бесконечном временном интервале. Состоянию равнове^

274

М О Д Е Л И Э К О Н О М И Ч Е С К О Г О Р А В Н О В Е С И Я

[ Г Л . V

сия этой модели соответствуют бесконечные оптимальные траектории. Модель на бесконечном временном интервале является как раз одним из инструментов изучения беско­ нечных оптимальных траекторий.

§ 17. ИГР Ы п Л И Ц

1. Определение игры. «Классическая» игра п лиц опи­ сывает конфликтную ситуацию, в которой участвует п

игроков. Будем обозначать этих игроков числами

1 , 2 , . . .

. . . ,

п.

Игрок

i имеет в

своем

распоряжении некоторое

множество

Xt,

которое

называется множеством

его стра­

тегий.

Кроме

того, этот

игрок

описывается

функцией

выигрыша

(функцией

полезности)

ии

определенной

на

прямом

произведении

Д

Xk = Хг

X

Хг X . . . X

Хп.

Число

 

щ

(хх,

. . ., хп)

показывает

выигрыш,

который

получает

£-й игрок, если первый игрок выбрал свою стра­

тегию х1г

второй игрок — стратегию х%, . . ., п-ж игрок —

стратегию

хп.

 

 

 

 

 

 

 

 

Игра п лиц, определенная с помощью множеств стра­

тегий Xt

и функций выигрыша щ,

называется игрой,

за­

данной в нормальной форме (или просто игрой в нормаль­ ной форме).

71

Элемент £ = (хг, . . ., Хп) множества Д Xk называется

состоянием равновесия в смысле Нэша рассматриваемой нами игры, если для всех i = 1, 2, . . ., п выполняются соотношения

— HiaX Щ(%х, . . -,

X{, X;+1,

. . . , Xn).

•xi^Xi

Стратегия гг игрока i, участвующая в состоянии рав­ новесия х, называется оптимальной.

Смысл приведенных определений заключается в сле­ дующем. Предположим, что какой-либо из игроков, ска­ жем i, не воспользовался своей оптимальной стратегией £•„ в то время как каждый из остальных игроков h выбрал оптимальную стратегию Хц. В этом случае игрок f обест

И Г Р Ы n Л И Ц

215

печит себе выигрыш пе больший, чем если бы он приме­ нил стратегию х.;.

Нэш [1] показал, что в случае, когда Xt — компактные

выпуклые множества,

а щ — непрерывные вогнутые по а:{

функции ( £ = 1, 2, .

. ., п), состояние равновесия су­

ществует. Ниже мы доказываем теорему, несколько более общую, нежели теорема Нэша.

С точки зрения моделей экономического равновесия представляет интерес рассмотреть некоторое обобщение описанной выше игры п лиц в нормальной форме. Суть этого обобщения заключается в том, что множества стра­ тегий X ; игроков £ предполагаются зависящими от вы­ бора этих стратегий, в то время как в «классической» игре они считаются раз и навсегда заданными. Точнее

говоря, если игрок 1 выбрал свою стратегию х1 5

игрок 2 —

стратегию х2,

. • ., игрок п — стратегию хп,

то множество

всех

стратегий игрока

1 есть Х х

(хи

х2, . .

., хп),

игрока

2 —

Хг (xL,x2,.

. .,хп),.

.., игрока

п

— Xn(xlt

 

х2,.

. .,хп).

При

этом, разумеется,

естественно

считать,

что

х{ ЕЕ

ЕЕ Xi

(xt, х2,

. . ., хп) (£ = 1, 2, . . .,

п). Считаем,

таким

образом, что каждый из игроков, выбирая тем или иным способом свои стратегии, может влиять на совокупность всех стратегий как других игроков, так и самого себя.

Приведем формальное описание рассматриваемой иг­ ры. В этой игре участвуют п игроков: 1, 2, . . ., га. В рас­ поряжении каждого игрока £ имеется некоторое множе-

 

 

11

 

 

 

 

ство

На множестве X

= Д

Хг

заданы функции выиг-

 

 

t=i

 

 

 

 

рыша

щ (£ = 1, 2, . . ., п). Кроме

того,задано п точечно-

множественных отображений Х 4 : X -*- П

(£ = 1

, 2 , . . .

. . ., га). Элемент х = (хг,

х2,

. . .,

хп) множестваX

назы­

вается состоянием игры, е с л и ^ Е Е Х ; (х) (£ =

1,2, . .

. , п).

При этом £-я проекциям вектора х называется стратегией

£-го игрока,

отвечающей состоянию

х,

а множество

Xi (х) — совокупностью

всех стратегий

этого игрока,

отвечающих

указанному

состоянию.

Рассматриваемую

игру будем, так же как и в «классическом» случае, назы­ вать игрой плиц в нормальной форме. Итак, по определению, игра п лиц в нормальной форме представляет собой объект

<? = { № i , ("г)Г=1, ( ^ ) Г = 1 } -

(17.1)

276 М О Д Е Л И Э К О Н О М И Ч Е С К О Г О Р А В Н О В Е С И Я [ГЛ . V

Состоянием

равновесия в смысле Пэша

игры G, опреде­

ленной формулой (17.1), назовем вектор

S =

(5X , S 2 ,

. . . , S n ) ,

обладающий следующими

свойствами:

 

 

 

1) Si GE X j (Sx,

S 2 ,

. . ., Sn)

(i = 1, 2 , . . ., n)

(т. C. S

— со­

стояние игры G),

 

 

 

 

 

 

2) u $ (S x , . . ., S i - i , S; ,

. . ., Sn)

—

 

 

 

 

—

max щ($х,.

. ., Xi-i,

Xi,

. . ., Sn).

х^Х{(х)

Наша ближайшая цель заключается в доказательстве теоремы существования состояния равновесия в игре G. Докажем ее с помощью тех же рассуждений, которыми обычно, доказывается теорема Наша, т. е. используя тео­ рему Какутани о неподвижной точке (см. п. 3 § 3). Пред­ варительно установим некоторые простые свойства точеч­

но-множественных отображений.

 

 

2. Вспомогательные

предложения.

 

 

П р е д л о ж е н и е

17.1. Пусть

Qx

и Q2 — подмно­

жества конечномерных

пространств

Yx

и Y2 соответ­

ственно, причем Qx замкнуто; a: Qx -> П (£22) — ограни­

ченное отображение,

непрерывное

по Какутани.

Пусть,

далее, / —

непрерывная функция,

определенная на множе­

стве 0,2. Тогда при любом

х ЕЕ й х мнозюество

 

 

Ъ (х) =

{у ЕЕ а (х) \f(y)—

max / (z)}

(17.2)

непусто

и отображение

Ь:

Qx —> П (Q2 ), определенное

формулой

(17.2),

замкнуто.

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из полунепрерывности свер­

ху и ограниченности

отображения

а следует,

что при

любом х ЕЕ Six множество

а (х)

компактно. В силу этого

для любого х ЕЕ & х множество

Ъ (х)

непусто. Покажем,

что Ъ — замкнутое отображение. С этой целью рассмотрим функционал ф, определенный на Qx формулой ф (х) =

= max / (z). В силу предложения

3.7, функционал ф не-

zsa(x)

 

 

 

прерывен на Qx . Пусть теперь (хп)

— последовательность

элементов Qx, уп ЕЕ Ъ (хп), хп

-»- х, уп ->- у. Покажем, что

У ЕЕ Ь (ж). Так как Ъ (хп) Щ а (хп),

то уп ЕЕ а (хп) и, в силу

замкнутости а, справедливо

включение у ЕЕ а (х). Из оп­

ределения множества Ь (хп)

вытекает, что Ф

(хп) = f (уп).

Используя непрерывность функционалов Ф

и / и переходя

И Г Р Ы п Л И Ц

277

к пределу,

получим, что f(y) =

ср (х)

— max / (z), откуда

 

 

 

 

 

геа(.\-)

 

 

 

и следует

справедливость

предложения.

 

 

 

 

П р е д л о ж е н и е

17.2. Пусть

Q0,

Qlt

. . ., й „

—

компакты в конечномерных пространствах Y0,

У\, . . .,

Yn

соответственно,

п

 

 

 

 

 

 

 

= П й ь

 

 

 

 

 

 

 

й

 

 

 

 

 

 

 

 

г=1

пусть, далее,

а: £20-*-П(£2) —

 

 

 

 

 

 

 

 

 

замкнутое отображение. Тогда при любом i =

1, 2, . . ., 7г

отображение Рг,- а замкнуто (по определению, Рг; а

ес7?гъ

отобраокение Q0

в Qt;

если

х ЕЕ £20,

т о

(Рг4 а)

(х)

=

=Ргг (а (ж)).

До к а з а т е л ь с т в о . По условию предложения, график Z отображения а является замкнутым множеством,

лежащим

в

прямом

произведении

Q 0

x Q

= Q 0 X

X

(Qx

X

Q2

X

. . . X

Qn). Так как

каждое

из множеств

0,1

(i

=

О, 1, . . ., п) компактно, то

и

указанное

прямое

произведение компактно. Отсюда следует компактность

множества

Z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Непосредственно

из

определения

отображения

Ргг я

следует, что график Zt

этого отображения совпадает с про­

екцией множества

Z

на

пространство

Y0

х

Yt.

Так

как

Z компактно, то и проекция этого множества компактна.

Таким образом,

Zt

компактно и, стало

быть, замкнуто.

Предложение

 

доказано.

 

 

 

 

 

 

П р е д л о ж е н и е

17.3. Пусть Qt

(i =

О, 1, . . ., п)

таковы же,

что

и

в

предложении

17.2. Пусть, далее,

а£ : Q0—»- П

ть

— замкнутое отображение. Тогда

отобра­

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

жение а =

Y\.ai

замкнуто

(по определению,

Д

аг

есть

 

i = l

 

 

 

 

тг

 

 

г=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х ЕЕ Q0 ,

 

отображение Q0

в

Q =

JJ Qt;

если

то

пп

(П ai)(x) =

'[[ai(x)).

 

 

 

 

 

4=1 '

г=1

 

 

 

 

 

 

Доказательство

очевидно.

 

 

 

 

Условимся в дальнейшем о следующем обозначении.

Если

Qx , Q2,

. . .,

Qn

— некоторые множества и

х

=

= (хг,

х2, . .

., хп)

ЕЕ & i X Й г

X . . . X Qn,

то

элемент

(xlt . .

., х^,

xUl,

. . .,

хп) множества Qt X . . . X

 

X

X

X . . . X Q„

будем

обозначать

символом

а*'',

Смотрите также файлы