Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

3. Существование состояния равновесия. Т е о р е м а 17.1. Пусть игра

Далее рассмотрим отображение bt: X - v П (X):

*) Непрерывность отображения Х( понимается здесь по Какутади. Заметим, впрочем, что, как следует из результатов § 3, в рассматриваемом случае непрерывность по Какутапп совпадает с непрерывностью по Хаусдорфу.

п

Введем, наконец, в рассмотрение отображение с = Д q ,

которое отображает X в П (X). Предположим, что это ото­ бражение удовлетворяет условиям теоремы Какутани о неподвижной точке. В силу этой теоремы найдется элемент X — (Хг, . . ., S-i, . . ., Хп) ЕЕ X, для которого выполняется £ ЕЕ с (х), или, что то же самое,

По условию теоремы, множество at (х) при всех £=1, 2, ...

ности функции ut вытекает непустота множества Ьг- (х). Не­ трудно проверить, что множество точек, в которых вогну­ тая функция достигает максимума на выпуклом множест­ ве, является выпуклым, и потому bt (х) выпукло. Множе­ ство С; (х), являющееся проекцией bt (х), также непусто и выпукло.

Из сказанного вытекает непустота и выпуклость множества с (х). Отметим, наконец, что, как следует не­ посредственно из определений, с (х) а X при всех х ЕЕ X.

Покажем теперь, что отображение с замкнуто. Из непрерывности отображения XT следует непрерывность отображения at (£ = 1, 2, . . ., ri). Применяя предложе-

ние 17.1, убедимся в замкнутости отображения bt. Нако­ нец, из предложения 17.2 вытекает замкнутость ch и пото­ му из предложения 17.3 — замкнутость с.

Теорема доказана.

§ 18. М О Д Е Л И ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ Н А К О Н Е Ч Н О М ВРЕМЕННОМ И Н Т Е Р В А Л Е

Понятие равновесия в экономической системе разви­ валось постепенно. Сначала под равновесием понимался лишь материальный баланс продукции, затем баланс меж­ ду спросом и предложением продуктов вместе с балансом финансов. Теперь, в основном благодаря идеям теории игр, стало возможным определять равновесие в экономике как решение в том или ином смысле игры многих лиц, участников экономического процесса. При этом решение подходящим образом сформулированной игры должно обеспечивать, естественно, материальные и финансовые балансы.

Обычно понятие экономического равновесия связыва­ ют с наличием противоречивых интересов, с конкуренцией и т. п. Поэтому модели равновесия иногда называют мо­ делями конкурентной или капиталистической экономики. В действительности же, конечно, эти модели описывают некую идеальную, гипотетическую экономику, содержа­ щую в себе как элементы капиталистического, так и элементы социалистического способа ведения хозяйства. В связи с этим содержательная интерпретация моделей равновесия является неоднозначной; мы по ходу изложе­ ния будем касаться той или иной содержательной интер­ претации, не развивая, однако, ни одну из них в скольконибудь полном виде.

1. Модель Эрроу — Дебре. В этом пункте мы рассмот­ рим модель ситуации конкурентного равновесия, которая была предложена Эрроу и Дебре [1]. Модель Эрроу — Дебре в изложении ее авторов не связывалась с теорией игр, в частности, с равновесием по Нэшу . Наше изложе­ ние опирается на теорию игры п лиц в нормальной форме, что существенно упрощает доказательство существования равновесия и позволяет несколько расширить и видоизме­ нить условия, при которых была доказана теорема сущест­ вования авторами модели.

Итак, рассматривается замкнутая (не имеющая связей с внешним миром) экономическая система. В системе имеется I видов «продукции». «Продукция» здесь понимает­ ся так же, как в § 5, т. е. в число видов «продукции» вклю­ чаются фонды, трудовые и природные ресурсы, услуги и т. д. Предполагается, что экономика состоит из т + п 4- 1 частей, которые действуют в известной мере независимо друг от друга в том смысле, что ни одна часть не домини­ рует над другой по теоретико-игровой терминологии. Первые т частей называются производителями и описы­ ваются множествами Хх, . . ., Хт <ZZ. Rl, представляющи­ ми собой производственные возможности этих производи­ телей. А именно, х ЕЕ Xt (i = 1, 2, . . ., т) есть «произ­ водственный» способ или процесс, отрицательные компо­ ненты которого показывают затраты, а положительные — выпуск соответствующих видов «продукции». Таким об­ разом, понятие производственного способа здесь обычное, такое же как в линейном программировании (см. § 5).

Следующие п частей называются потребителями и описываются с помощью функций полезности, или пред­ почтения их, . . ., ип, где щ: Rl+ ->• R\ (/ = 1, 2, . . ., п); число щ {у) показывает величину полезности от потребле­ ния потребителем / набора «продуктов» у.

Наконец, последняя (т + п + 1)-я часть называется ценообразующим органом; этот орган устанавливает цепы

вает долю «прибыли» производителя i, которую он отдает потребителю /. Содержательный смысл матрицы распре­ деления «прибылей» может быть различным. Например, можно считать, что производители являются коалициями потребителей. Тогда естественно, что потребитель полу­ чает какую-то долю прибылей, приходящихся на коали­ цию, в которую он входит. Величина этой доли опредекяется различными механизмами применительно, скажем, к социалистическому и капиталистическому предприятиям.

Итак, суммируя сказанное, получаем, что модель Эрроу — Дебре задается множествами Хг, . . ., Хт, функ-

цели, к которым стремятся все описанные части модели­ руемой экономической системы. Производители стремятся максимизировать получаемую ими прибыль, потребители максимизируют величину получаемой ими полезности,

Состояние может относиться к одному моменту времени, если модель рассматривается в фиксированный период времени. Однако если система рассматривается на конеч­ ном числе временных интервалов, отличном от единицы, то под «продуктами» понимаются ингредиенты, как они были определены в § 5. Другими словами, «продукты» считаются привязанными к временному интервалу, так что одни и те же «продукты», но в разные моменты времени считаются различными ингредиентами. В этом случае множества Xt и функции Uj относятся также уже не к од­ ному моменту времени, а к нескольким, и состояние системы характеризует на самом деле состояние в не­ сколько последовательных моментов времени. В случае, когда число временных интервалов бесконечно, возникает особая модель, отличная от описываемой модели Эрроу — Дебре. Модель для бесконечного временного интервала рассматривается в § 22. Она тесным образом связана с оп­ тимальными траекториями, изучавшимися в гл. I l l , I V .

тп