Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

§ 18] М О Д Е Л И Н А К О Н Е Ч Н О М В Р Е М Е Н Н О М И Н Т Е Р В А Л Е 283

Неравенства (18.1) представляют собой материальный баланс между спросом и предложением, о котором говори­

лось в начале параграфа. Здесь 2 %i — общая сумма про-

г

изведенной в состоянии равновесия «продукции» за выче­

том производственного потребления, 2 У) — общая ве- i

личина спроса на «продукцию».

Соотношения (18.2) выражают условие, что в состоянии равновесия прибыль производителя максимальна по рав­ новесным ценам. Соотношения (18.3) показывают, что в со­ стоянии равновесия спрос y~j потребителя / доставляет мак­ симум функции полезности при бюджетном ограничении (18.4). В неравенстве (18.4), называемом обычно бюджет­ ным ограничением, слева стоит сумма расхода денег на покупку продуктов z/j, а справа общий доход, общая сумма денег, которую получает потребитель / в состоянии равно­ весия.

2.Существование равновесия.

Те о р е м а 18.1. Пусть для модели Эрроу — Дебре

модель обладает состоянием равновесия.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Доказательство основано на сведении модели Эрроу — Дебре к игре т + п + 1 лиц в нормальной форме (см. предыдущий параграф).

1.Сначала заметим, что состояние равновесия не

полностью определяется моделью Эрроу — Дебре, причем первые т игроков — это производители, следующие п иг­

будем обозначать через z. Множества стратегий игроков

Функции выигрыша игроков в соответствии со сформу­ лированными выше целями выглядят следующим образом:

3. Получившаяся игра является игрой в нормальной форме в смысле § 17. Для нее выполнены все условия тео­ ремы 17.1. Поэтому состояние равновесия по Нэшу данной игры существует.

Обозначим точку равновесия рассматриваемой игры через z = (гх , . . ., £т, lx, . . ., F„,p) . Покажем, что она определяет состояние конкурентного равновесия ис­ ходной модели Эрроу — Дебре. По определению состоя­ ния равновесия игры, соотношения (18.2) выполняются.

• ii.'

казать, что для точки равновесия игры выполняются не­ равенства (18.1). Предположим противное, т. е. пусть най­ дутся «продукты» с номерами к1: к2, . . ., кт такие, что име­ ют место соотношения

8=1

а цены всех остальных продуктов, следовательно, равны нулю. Если левую и правую части неравенств (18.4) про­ суммировать по j = 1, . . ., п, то в результате получим неравенство

1 j г

правая часть которого равна 2 р (Ж;), поскольку 2 Вц = 1

Уi

кпротиворечию. Следовательно, неравенства (18.1) также выполняются в точке равновесия игры.

Теорема доказана.

3 . Замечания об экономическом смысле теоремы 18.1. Условия выпуклости и компактности множеств Хг, . . ., Хт являются обыч­ ными, их оправданность с экономической точки зрения обсуждалась неоднократно. В этой книге в § 5 также говорится об экономиче­ ском смысле выпуклости. Условие О ЕЕ Х^ для всех i предпола­ гает возможность отсутствия производственной деятельности. Оно гарантирует неотрицательность прибыли у производителей.

Состояние равновесия экономически осмысливается лишь в том случае, когда m a x щ (у) достигается на границе множества Yj (z). Это обстоятельство можно гарантировать, например, в том случае, когда функции щ обладают свойством ненасьпцаемости, которое

границе Yj (z). Однако это противоречит определению состояния

§ 1 9 . К О Н К У Р Е Н Т Н О Е Р А В Н О В Е С И Е И О П Т И М А Л Ь Н О С Т Ь

В этом параграфе будет показано, что состояние равно­ весия модели Эрроу — Дебре доставляет максимум неко­ торой функции на множестве ситуаций, причем эта функ­ ция является взвешенной суммой функций предпочтения потребителей. Этот факт обосновывает, с одной стороны, полезность понятия состояния равновесия, с другой стороны, указывает на возможность достижения некото­ рой общей цели с помощью разрозненных децентрализо­ ванных действий.

1. Видоизменение первоначальной модели. Рассмотрим модель Эрроу — Дебре, описанную в предыдущем парагра­ фе. Считаем, что функции полезности щ (/ = 1, . . ., тг) обладают свойством ненасыщаемости. Переформулируем эту модель таким образом, чтобы состояния равновесия новой модели являлись состояниями равновесия и ста­ рой, но при этом функции предпочтения потребителей были бы линейными и весьма специального вида.

В новой модели производителями будут являться как производители, так и потребители старой модели. К «про­ дуктам» с номерами 1, . . .,/добавляются условные вспомо­ гательные «продукты» с номерами I + 1, . . ., I + п, где

количество продукта I 4- / представляет собой величину «эффекта от потребления» /-го потребителя старой модели. Множества производственных возможностей производи­ телей определяются следующим образом *):

Следовательно, состояние равновесия в этой модели суще­ ствует. Обозначим его через £* = (%{ , . . ., у{ , . . .

• ••,Уп , Р*)- Множество всех состояний равновесия обозначим

%т+и • • •, х*т+п отбрасыванием последних п координат и умножением на — 1 . Образ множества Ё при отображении Ф обозначим через ц>Е, а множество состояний равновесия