Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

288

М О Д Е Л И Э К О Н О М И Ч Е С К О Г О Р А В Н О В Е С И Я

[ Г Л . V

Д о к а з а т е л ь с т в о . Выберем произвольно

точ­

ку z*

ЕЕ ц>Е. Необходимо показать, что для нее выполняют­

новой модели

имеем

7П-{-11

п

S = l

J = l

р* (ж*) =

max р* (х)

(s — 1, . . ., т + п),

(19.2)

ei+i Qi)

=

max е ш (у).

(19.3)

Р(у)<

2 в«Р (*•*)•

(19-4)

а Л ( У * ) — Р' (У>) =

max (а^ (у)

— р'(у)),

(19.5)

у<=У

где через a,j обозначена (I

+

/)-я компонента

вектора цен

р*. Согласно замечанию,

приведенному

в н .

3 § 18, бюд­

а]Щ(ij) = 2 QvP*

+ (aiui(У"}) — P* (y'i))•

i = l

§ 19] К О Н К У Р Е Н Т Н О Е Р А В Н О В Е С И Е H

О П Т И М А Л Ь Н О С Т Ь

289

«продукта». Из этого равенства следует, что

2 е « Р * ( ^ ) = Р * ( ^ ) ,

(19.6)

1=1

т. е. для z* выполняется бюджетное

ограничение

(18.4).

максимум брать не по множеству Y,

а добавить еще бюд-

m

жетное ограничение р* (у) ^

2 ®иР* (ж*0> т 0 э т о соотно-

шение сохранится. Отсюда вытекает, что

max

щ(у) =

U}(y"j),

ние конкурентного равновесия z* Е Е

доставляет решение

следующей задаче выпуклого программирования

(задача I ) .

71

Найти

m a x 2

ajuj

(l/j) пРи

условиях:

i=i

а ) xt Е Е

Xt (i =

1,

. . ., т),

yj EE

Y (/ =

1, . . ., и),

б) 2 * / i <

2 x i -

i = l

i = l

V=i

J

m

n + m + I + l

+ 2 ^ , ( 0 , . . . , 0, -

1,0..., 0,щ,0)-

2

V A)|-

i = l

("+*)

A = l

' J

10 В. Л . Макаров, A . M. Рубинов

290

М О Д Е Л И

Э К О Н О М И Ч Е С К О Г О

Р А В Н О В Е С И Я

[ Г Л . V

Здесь

A . s > 0

(s — 1,

. . ., т + re); vf c >0(7c =

1, ... , n -f-

+ m +

Z -{- 1);

0 < Xj <

a^Uj (у-),

y$ EE У, ^ EE AV, в первой

сумме

— 1 стоит на

/-м

месте,

а

во второй

сумме на

(ге+г)-м месте,

ек—орт,

соответствующий

к-й

координат­

ной оси. Легко проверить, что Z — выпуклый телесный

конус.

В частности,

выпуклость

следует

из

выпукло­

сти множеств Хг

и вогнутости функций щ. Нетрудно про­

( - 1 , - 1 - 1 ,

О^^О,

ц) ЕЕ Z.

П+711

I

откуда

следует

ijj ЕЕ

Y,

St ЕЕ Хи

2

У} <

2

Sh т.

е.

_

_

3

i

(%, . . .,

Тт, уг,

. . ., уп)

является

допустимой

точкой

за­

дачи I . Пусть теперь

(г1 ,

. . ., %т,

ух,

. . .,

уп)

доставляет

решение задаче I . Тогда,

по определению конуса

Z,

( S ( - »

— I , - - - , —

ft, ар{Щ

+

-г 2 ( - . - 1 , • • - **. °) - 2 Л ' Л е Z.

i

к

'

з

что

состояние

конкурентного равновесия из множества

ц>Ё доставляет решение задаче П . По определению,

z* =

( 2 (-.

У', apjito)) +

i

к

1

§ 19] К О Н К У Р Е Н Т Н О Е Р А В Н О В Е С И Е И О П Т И М А Л Ь Н О С Т Ь

291

здесь

(хг, . . ., ж,п, Ун . . ., уп)

— векторы,

определяющие

состояние равновесия. Поэтому

2 aiuj{y*j)

^

Предполо-

жим

противное

тому,

что

надо доказать,

т. е. пусть

2 a-jttj [у]) <

р,. Рассмотрим гиперплоскость

HdR™*71*1*1,

i

проходящую

через

начало

координат

и

определенную

функционалом

я = (oxtti (у[) — р* (t/i)

апип

(уп) — р'

(у'п),

p\xl), ...,р\хт),

р\ 1).

Поскольку,

по

определению

состояния

равновесия,

р* (z p = m a x р*

(х)

и

aj"j(l/j*)

— Р* (У^) =

m a x (а}

щ (у)— р* (у)),

то

я (z) «SC 0

для

всех

z e Z

и, кроме того,

я (z*) = 0.

Равенство

я (z*) =

0

можно

записать

в

виде

n + m

2

я * =

2 a i M i ( ^ P '

Поскольку] для вектора z, доставляю-

щего

решение

задаче

I I ,

выполнено я (z)

0, то

2

% > Р ч

следовательно,

р. = 2 a i u i ( ^ i ) -

3. Замечание к теореме

19.1. Теорема 19.1 показывает, что рав­

новесие

по Нэшу

является

оптимальным, т. е. лежит на границе

множества допустимых ситуаций. Этот факт обосновывает

извест­

ном

производстве автоматически обеспечивается

сбалансированное

и в

некотором смысле гармоничное развитие

экономики. Дело

суммируются индивидуальные

целевые

функции потребителей.

А именно, из соотношений (19.2)

для / =

т + 1, . . ., т -f- п

при

дополнительном предположении о гладкости вытекает, что у Щ

(у)=

Очевидно,

что чем больше доход 2

®Ц Р* (XV потребителя / в со­

стоянии равновесия, тем больше

коэффициент aj по сравнению

с другими

коэффициентами.