Файл: Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf

Г Л А В А V I

М О Д Е Л И Э К О Н О М И Ч Е С К О Й Д И Н А М И К И С У Ч Е Т О М П О Т Р Е Б Л Е Н И Я В Я В Н О М ВИДЕ

До сих пор модели экономической динамики, в частно­ сти общая технологическая модель (8.1), изучались с чисто производственной точки зрения. Процесс потребления про­ дукции населением в таких моделях описывается подобно производственным процессам и формально ничем не отли­ чается от последних. Такое представление процесса ко­ нечного потребления оказывается с экономической точки зрения недостаточно адекватным действительности, в част­ ности, понятие оптимальности траектории непосредственно не связывается с потребностями населения, являющимися конечной целью производства.

В настоящей главе рассматриваются модели, в кото­ рых процесс потребления продукции населением выделяет­ ся особо и дается другое определение оптимальности траек­ торий. При этом для моделей с конечным временным интервалом (моделей первого рода) оба понятия оптималь­ ности совпадают. Для моделей же с бесконечным времен­ ным интервалом (моделей второго рода) вводимое здесь по­ нятие оптимальности является частным случаем понятия оптимальности, рассмотренного в гл. I I I . Поэтому, в ос­ новном, в настоящей главе рассматриваются модели на бесконечном временном интервале, ибо возникающие для них проблемы носят в ряде случаев существенно иной ха­ рактер. Изучается также понятие магистрали для моделей с потреблением, которое также представляет собой новый объект, отличный от уже рассматриваемого понятия маги­ страли. По ходу изложения дается сравнение этих новых понятий, с рассмотренными ранее.

Заметим, что при изучении свойств траекторий в этой главе существенно используется теоретико-игровой под­ ход, в частности результаты гл. V .

§ 20] О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О Б Щ Е Й М О Д Е Л И Д И Н А М И К И 293

нить с сохранением его свойств на весь конус R+. Это по­ зволяет, если возникает надобность, считать, что at заданы на всем конусе R+, и применять к изучению этих отображе­ ний результаты § 4. То же, разумеется, относится и к ото­ бражениям ат ,t . Как и прежде, точка (х, у) ЕЕ Qt интер­ претируется как «производственный» процесс в широком смысле, перерабатывающий набор «продуктов» х в набор у в течение единичного временного интервала. Понятие траектории в описываемой сейчас модели отличается от ранее употреблявшегося понятия траектории в техноло­ гической модели, что связано именно с необходимостью непосредственного учета конечного потребления. Траекто­ рия модели с учетом потребления в явном виде представ­ ляет собой последовательность (xt), удовлетворяющую следующим условиям:

{xt, ж ! + 1 - Ь с Т ) Е Е О ( , где с, > ( ) , * = 0 , 1 , ... (20.2)

Последовательность {ct)T=x, соответствующую траектории

(xt), будем называть траекторией потребления. Очевидно, что одной траектории (xt) может соответствовать несколько последовательностей (ct) и наоборот. Иногда нам будет удобно понимать под траекторией последовательность

пар (хи с$°=ъ (здесь положено с0 = 0, кроме того, пред­ полагается, что выполнено соотношение (20.2)). Приведем теперь простой пример.

П р и м е р 1. В качестве примера рассмотренной модели ука­ жем классическую однопродуктовую модель экономической дина­ мики, являющуюся предметом изучения многих авторов. В этой однопродуктовой модели

Qi = {(*. v) е в.\ х R\ l х > о, о < у < / (*)>

для всех t, здесь / — неотрицательная вогнутая неубывающая функ­

ция, определенная на [0, оо). Экономическая интерпретация мо­ дели следующая. Число х измеряет количество продукта, приходя­ щегося на душу населения, число / (х) показывает количество про­ дукта, приходящегося на душу населения, которое может быть по­ лучено в течение единичного временного интервала, если обладать в начале этого интервала количеством продукта х и трудом (рабочей силой) в количестве единица. Тогда траектория потребления (с<)

Обозначим еще множество всех траекторий потребле­ ния, соответствующих всевозможным траекториям, выхо­ дящим из начального состояния х0 через С (х0).

*) Некоторые авторы рассматривают функции полезности, при­ нимающие, может быть, отрицательные значения. Мы, однако, ограничиваемся рассмотрением случая, когда щ (х) ^ 0 для всех

х е л+-

Траектория (XtftLo и л и соответствующая ей траектория (с<) называется U-оптималъной, если

нечные значения на множестве С ( г 0 ) , формула (20.3) пре­ вращается в обычную т ( с ) = шах ^(с).

Резюмируя сказанное, отметим, что модель с учетом потребления в явном виде полностью определяется обоб­ щенной технологической моделью SR, имеющей вид (20.1), и набором функций полезности U — (ut). Будем обоз­ начать эту модель символом (S9J, U). Основной вопрос, возникающий при изучении модели (9ft, U), заключается в следующем: выяснить, когда существуют (7-оптимальные траектории, и описать их свойства.

2. Существование С-оптимальных траекторий. Прос­ тые примеры показывают, что С/-оптимальные траектории существуют не всегда.

t > т. Таким образом, {7-оптпмальной траектории в рассмотренной

модели не существует.

Ситуация, описываемая данным примером, типична для несуществования оптимальных траекторий. Именно, если максимальный темп роста экономики больше, чем темп падения полезности во времени, то всегда выгодно оттягивать потребление на далекпй срок. В частности

если временной период конечен, то в этом случае оптималь­ ной является такая политика потребления, когда во все моменты времени, кроме последнего, ct = 0, а в последний момент вся продукция идет на потребление. Если же период времени бесконечен, то момент потребления выгодно от­ кладывать все дальше и в пределе, следовательно, никогда не потреблять.

Возможны п другие ситуации, в которых [/-оптималь­ ные траектории не существуют. Например, если па потреб­ ление можно отдать лишь конечную величину продукции, то может оказаться, что оптимальным является распре­ деление этой величины равномерно по периодам времени. Тогда при бесконечном числе таких периодов в пределе опять получаем траекторию, в которой потребление рав­ но нулю. Оформим эту ситуацию в виде примера.

« ( r ( ) - b « ( c l + 1 ) < 2 « ( i L ^ I ± L ) .

лезность», чем траектория с. Таким образом, для оптимальной траек­

§ 20] О П Р Е Д Е Л Е Н И Е О Б Щ Е Й М О Д Е Л И Д И Н А М И К И 297

Как было показано в п. 2 § 11,

/г(аШоа(2)) = паЫопаЮ

(здесь aW, а<2> — вогнутые замкнутые гейловские отобра­ жения), и потому хт ЕЕ гсаТ)0 (#<,). Таким образом,

Для завершения доказательства осталось проверить, что

пакте достигает максимума, можно получать теоремы о существовании [/-оптимальных траекторий, наложив те