Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 146

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

 

 

 

D(0>, = 1<^«V ]

,

 

 

 

 

 

 

 

(19)

где

Qt — некоторые

формы

Пфаффа

из касательного

 

век­

торного

пространства

Тр+п,

т. е. линейные комбинации форм

2 £ . Следовательно, внешние

дифференциалы

всех форм

2 а

в силу

(14)

и

(16)

также

представимы

в

виде

(19).

Одна­

ко

D 2 a

можно

вычислить

и при

помощи

уравнений струк­

туры (13). Эти выражения

DQa

не

будут

содержать

диф­

ференциалов неизвестных

функций

Л ц ,

т. е.

будут

иметь

вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z?2e = [2$av],

 

 

 

 

 

 

 

 

(20)

где

2ц

являются

формами

2^ или

их

 

линейными комбина­

циями с коэффициентами,

не

зависящими

от

л„

(среди

со­

отношений

(20) находятся

и

соотношения

(19).

 

 

 

 

Поэтому

соотношение (18) можно представить в виде

 

 

 

 

[dAl

+ A x

u k - k ,

«v]

= 0 .

 

 

 

 

(21)

Отсюда,

по

лемме

Картана

(§ 5,

гл. 1),

получаем

 

 

 

 

 

 

dAl+Aa&x-SF

 

= В > , .

 

 

 

 

(22)

Эти равенства выполняются при всех значениях аргу­ ментов. Фиксируя часть из них, мы будем получать нуж­ ные нам следствия. Прежде всего зафиксируем первичные параметры, т. е. придадим им некоторые постоянные зна­ чения: h = t\. Тогда dt\ 0, все формы i», обратятся в нуль,

формы

& а , а значит и 2£

превратятся во вторичные

фор­

мы те * и Tia (в силу (10)). Дифференциалы функций при

dt\=0

будем

обозначать символом

о, т. е.

 

 

М = 2 - ^ - * Р .

(23)

рбх9

Тогда соотношения (22) дают

 

 

 

8 Л £ + Л « * ? - * £ = = 0 ,

(24)

где

их и Ки—линейные комбинации тех вторичных форм, ко­

торые

остались

нефиксированными

при включении

элемен­

та

в

репер соотношениями (14).

 

 

 

Формулы (24) дают ответ на вопрос о том, как

коэффи­

циенты Аи зависят от вторичных

параметров. Они поро­

ждают систему дифференциальных уравнений в

частных

производных по

т р .

 

 

88

Чтобы осуществить первый этап канонизации репера, надо подобрать их простейшие частные решения. Заметим, что в коэффициентах уравнений (24) могут присутствовать и t х , которые при интегрировании следует считать постоянными. Можно пойти и дальше: положить равными нулю все диффе­

ренциалы оставшихся

вторичных параметров,

кроме одного,

и рассмотреть те из уравнений

(24), которые не сводятся при

этом к 6Л = 0 (что

означало

бы, что данный

коэффициент

.4 от этого параметра не зависит). На практике просто пола­

гают равными нулю все независимые, входящие в

 

(24)

формы Па, кроме одной; тогда эту оставшуюся форму

(обо­

значим ее

я) можно считать

дифференциалом

одного

из

ар­

гументов

т —т, умноженным

на некоторый

множитель,

не

зависящий от этого тр = т (напомним, что допустима замена (5)). Тогда останется одно или несколько уравнений с одной

или

несколькими

неизвестными

функциями

 

А „

и

с одним

независимым

переменным.

 

Выделим

из

них

одно:

 

 

 

 

 

 

 

 

dA'Z =

 

f

(

A

 

l .

(

2

5

)

где точками обозначены входящие в

правую часть

осталь­

ные функции

А и'.

Часто

последние

совсем

и

не

входят,

и такие

уравнения

надо

использовать

в

первую

очередь,

так

как

тогда и

решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л» = <Р<т,...,с)

 

 

 

 

 

 

 

(26)

(где

с — произвольное

постоянное)

 

не

будет

от

них

за­

висеть.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Возможны два случая: 1) можно подобрать такие значе.

ния

т и с ,

что Аи — 0;

это

значит, что возможна такая фик­

сация

параметра

-.,

которая

дает

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А1 = 0,

тг =

0

 

 

 

 

 

 

 

(27)

— это

самый

благоприятный

случай;

2)

значение Л„ = 0 об­

ращает

 

(25)

в тождество;

тогда

это

равенство

наступает

не

в силу выбора вторичного параметра

т,

а

в

силу некоторо­

го ограничения на класс рассматриваемых

 

геометрических

образов; говорят, в этом случае, что

равенство

Л£ = 0

но­

сит инвариантный характер; в этом

случае

фиксация

(27)

невозможна,

но

возможна

некоторая

фиксация

типа

 

 

 

 

 

 

 

А1 =

А0,

тг =

0,

 

 

 

 

 

 

 

(28)

где

Л 0

 

— какая-нибудь

константа

(обычно

 

1 и л и — 1 ) ,

от­

личная

 

от

нуля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если имеется несколько уравнений типа

(25)

для

вы­

бранной формы

л,

то,

конечно,

надо

использовать

то,

для

89

которого проходит фиксация (27). При наличии нескольких возможностей следует стремиться к максимальной симмет­ ричности как формул, осуществляющих фиксацию, так и по­ лучающихся деривационных формул. Иногда целесообразно рассмотреть и несколько вариантов: каждый из них может оказаться более удобным для решения тех или иных конк­ ретных вопросов. Наконец, следует, по возможности, учиты­ вать и геометрические соображения, не откладывая выяснения геометрического значения той или иной фиксации до оконча­ ния всего процесса канонизации.

Такие фиксации проводятся до тех пор, пока не исчерпа­ ются все, входящие в (24), вторичные формы (или их неза­ висимые линейные комбинации) или зафиксируются все ве­ личины А'и, участвующие в (24). Может оказаться, что формы п исчерпаются раньше, чем зафиксируются все At . Это зна­ чит, что оставшиеся А „ при данном способе канонизации ста­ новятся инвариантами геометрического образа, т. е. не зави­ сят от вторичных параметров.

Внеся в (22) зафиксированные значения величин А\ . мы вновь получим соотношения вида (17), в которых искомыми

станут коэффициенты В\. Их можно назвать вторыми ос­ новными соотношениями и применить к ним тот же процесс, что и к первым, т. е. к (17). Ко вторым основным соотноше­ ниям можно присоединить еще и выражения

 

 

dAa

=

FUx,

 

 

(29)

где

Аа — получившиеся

на

предыдущем

этапе

инварианты.

Так

как щ — Hldt^, где

HI

зависят и

от вторичных

пара­

метров, то и коэффициенты Fl также зависят

от них,

и со­

отношения (29)

имеют такой же вид, что и соотношения

(17),

так

как 2>. = шЛ .

Присоединением соотношений

(29) можно

ускорить процесс канонизации репера, но обычно геометри­ чески истолковать канонизирующие соотношения труднее, чем при использовании лишь основных соотношений.

С каждым шагом число незафиксированных форм умень­ шается и, в общем случае, процесс построения заканчи­ вается. Все вторичные формы становятся равными нулю, все формы 2'а — равными соответствующим первичным фор­ мам ш1а, которые выражаются через базисные формы шх ли­ нейно:

 

 

«V

=

Г 'а ш-А.

(30)

В

ходе фиксаций

на

Г1х

уже

наложен ряд

соотношений,

т.

е. некоторые из

них

или из

их комбинаций

обратились в

90

нуль или в константы. Полученный в результате фиксации всех вторичных параметров подвижной репер геометрически

инвариантно связан с геометрическим

образом и

является

его каноническим

репером. Оставшиеся

независимыми, т. е.

произвольными,

коэффициенты

вместе с теми

скаляр­

ными функциями, при помощи которых задаются не вошед­ шие в репер векторы, определяющие элемент образа, образу­

ют

полную

систему инвариантов

геометрического образа,

так

как,

зная их, мы знаем деривационные формулы, а

при помощи этих формул мы можем найти сам геометриче­ ский образ, т. е. получить его конечные уравнения или путем интегрирования или в виде рядов Тэйлора для всех векторов канонического репера относительно неподвижной системы координат (начального канонического репера). Те из рядов, которые дают выражения для векторов, определяющих эле­

мент геометрического образа, называют иногда

канониче­

ским

представлением

геометрического

образа.

Их однородные

части

при р > 1 дают

простейший

вид

основных

дифферен­

циальных

инвариантов

геометрического

образа — основные

дифференциальные

формы, а совокупности

коэффициентов

этих

форм — основные

тензоры геометрического

образа.

Полная система инвариантов в случае р~>\

не может

состоять

из произвольных функций,

так

как

деривационные

формулы (8) представляют собой систему уравнений Пфаф­ фа, и для того, чтобы они определяли геометрический образ, т. е. имели р-мерное решение (ибо элемент образа определя­ ется репером, а в простых случаях просто составляет его часть), необходимо, в силу обобщенной теоремы Фробениуса, потребовать их вполнеинтегрируемость, т. е. выполнение уравнений структуры (13). Эти условия образуют квадра­

тичную замкнутую внешнюю

дифференциальную систему

на функции Т'а

(после подстановки (30) в (13)).

Замкнутая

квадратичная

внешняя дифференциальная

•система, представляющая собою условия вполнеинтегрируе-

мости деривационных

формул, называется основной

систе­

мой

дифференциальных

уравнений

геометрического

образа.

В классической

теории

поверхностей она состоит из уравне­

ний

Гаусса

и

Петерсона—Кодацци

([8], 2, стр. 11 —12).

Итак, мы

получили

следующий фундаментальный

резуль­

тат.

О с н о в н а я т е о р е м а т е о р и и п о д в и ж н о г о р е п е ­

ра .

Задание полной

системы инвариантов,

удовлетворяющих

основной

системе дифференциальных

уравнений,

определяет

геометрический

образ

относительно

произвольно

заданного

начального

канонического репера, т. е. вплоть

до

произволь­

ного

аффинного

преобразования.

 

 

 

9!

Смотрите также файлы