Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

Этот вывод в применении к пространству с любой фунда­ ментальной группой является основным теоретическим бази­

о произволе существования геометрического образа, что дает

го образа сводится, очевидно, к соотношениям между инва­ риантами полной системы, и каждое из них, если оно совмест­ но с основными дифференциальными уравнениями, выделяет некоторый частный класс геометрических образов Ф,,. Поэто­

образа, который получится в результате интегрирования де­ ривационных формул канонического репера.

Описанный аналитический алгоритм канонизации репера дает возможность провести классификацию рассматриваемых геометрических образов по их натуральным уравнениям: приравнивая нулю отдельные инварианты или их простые ком­ бинации, затем совокупности инвариантов (каждый раз прове­ ряя описанным в гл. 2 способом совместность наложенных условий с основной системой дифференциальных уравнений), мы получим важнейшие классы.

Для того, чтобы выяснить геометрическую сущность этой классификации, необходимо прежде всего найти геометри­ ческое значение всех векторов репера, а затем геометрическое значение всех инвариантов полной системы.

Выяснение геометрического значения векторов и инвари­ антов и представляет собой самую интересную часть исследо­ вания геометрического образа. Именно здесь проявляется ге­ ометрическое видение исследователя, здесь геометрический анализ выступает на первое место, а проведенное предвари­ тельно алгоритмизированное (до известной степени, конечно, так как аналитически канонизация не представляет собой однозначно определенного процесса) построение каноническо­ го репера лишь значительно облегчает работу геометра, осво-

92

бождая его от громоздких выкладок в общих координатах и от еще более трудных поисков самих инвариантов.

К сожалению, мщюгие считают исследование законченным уже в момент окончания канонизации репера, определения произвола существования и подсчета числа инвариантов, об­ разующих полную систему. Именно в этом кроется причина того обстоятельства, что некоторым ученым локальная диф­ ференциальная геометрия представляется уже завершенной дисциплиной, в которой все алгоритмизировано — так же как в элементарном курсе аналитической геометрии.

Но настоящий геометр всегда должен рассматривать лю­ бой новый алгоритм лишь как аппарат, помогающий продви­ нуть исследование геометрических образов вглубь, а глубина эта — неисчерпаема, так же как неисчерпаема возможность дальнейшего углубления исследования любого, реально суще­ ствующего объекта.

Что касается способов нахождения обсуждаемых геомет­ рических значений, то здесь тоже можно указать ряд стан­

точности) геометрических образов, исследование ассоцииро­ ванных образов, элементами которых являются части репера, не входящие в элемент, и т. д. Однако с этими приемами луч­ ше знакомиться на конкретных примерах, некоторое количест­ во которых содержится во второй части этой книжки.

Описанный в этом параграфе процесс дифференциальногеометрического исследования геометрических образов и на­ зывается обычно методом подвижного репера.

В заключение отметим, что в некоторых случаях — для особенно простых геометрических образов (например, для прямой или плоскости, как геометрического образа, элемен­ том которого является точка) — описанный процесс канони­

тождества. Это имеет место тогда, когда существует нееди­ ничная подгруппа фундаментальной группы пространства, ос­

93

Поэтому одну из них можно принять за дифференциал не­ зависимого переменного

записав деривационные формулы в виде

где все -4 — или константы, или инварианты.

Инвариантами являются и ds* и сам „инвариантный па­ раметр" s*. Их геометрическое значение обычно нетрудно выяснить. Мы покажем, как проходит канонизация репе­ ра для Ф, в первой главе второй части книги на примере регулюса.

§ 4. О неголономной геометрии

Описанный выше метод исследо!ва|ния геометрического об­ раза при помощи канонического репера и его инвариантов дает достаточно полную характеристику общего строения об-

какое большое значение в классической теории поверхностей

ставляет собой некоторую модификацию картановского алго­ ритма, позволяющую сосредоточить внимание именно на под­ многообразиях геометрического образа. Существенной особен­

94

в аффинном трехмерном пространстве может быть задана, вообще говоря, некоторым уравнением

неподвижной системы координат. Ту же поверхность можно

точки зрения несущественно отличаются друг от друга. Заме­ тим, что форма Пфаффа, стоящая в левой части уравнения, не является самой общей формой, ибо ее внешний дифферен­

не вполне интегрируемо. Следовательно, оно не допускает решения вида (36) и не определяет никакой поверхности.

Тем не менее ряд дифференциально геометрических пост­ роений, типичных для теории поверхностей, можно ассоции­ ровать и с уравнением (37). Именно для него всегда сущест­ вует бесчисленное множество решений вида

(интегральные кривые).

95-