Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

можно определить для неголономной поверхности точно так же, как для голономной. Некоторые же определения видоиз­ меняются, другие вообще теряют смысл (например, понятие эволюты, т. е. поверхности, касающейся всех нормалей данной поверхности). Тем не менее возникает нетривиальная гео­ метрическая теория, которая систематически развивается с 1926 г. (в СССР ее разработку начал в это время Д. М. Син­ цов) .

Повысив размерность пространства, можно рассматривать неголономную геометрию, порождаемую не вполне интегриру­ емой системой уравнений Пфаффа. Естественно, что можно строить неголономную геометрию и в пространствах более сложных, чем аффинное. В частности, можно рассматривать четырехмерное пространство всех прямых евклидова прост­ ранства (или, общее, ( m - f 1)(д — т)-мерное пространство всех m-плоскостей «-мерного проективного пространства).

Всякий раз мы будем иметь некоторое ^-мерное неинтегралыное распределение в некотором пространстве X N , кото­ рому соответствуют, с одной стороны, совокупность геометри­ ческих образов Ф ь соответствующих одномерным решениям системы Пфаффа, а с другой стороны, некоторый голономный образ Фл', элементом которого можно считать точку прост­ ранства ХАГ , дополнительно оснащенную при помощи этого распределения. Однако в пространстве достаточно сложной структуры не всегда легко определить, что же представляет собой это оснащение геометрически.

мощи распределения, соответствующего данной системе Пфаффа.

Следует заметить, что для наших целей первое понятие важнее, так как элемент образа ON определяется неод­

т. е. Ф3 , элементом которого является точка с единичным вектором, перпендикулярным ассоциированной плоскости («поле направлений»).

относительно первичных параметров. Если эта система впол­

«геометрический образ» в известном смысле идентичен тер­

Мы ставим теперь задачу провести частичную фиксацию репера геометрического образа так, чтобы он (репер) имел одно и то же строение для любого неголономного подмногообразия Т т . Это можно сделать следующим образом. После включения элемента в репер надо выделить некоторое число т.' вторич­ ных параметров и оставить их нефиксированными в течение

08

параметров, которые мы будем считать неизвестными функци­ ями от первичных параметров, можно было выделить любое

т. е. при помощи т(р—т) существенных функций Аьа .По­ этому и число т' вторичных параметров должно быть равно т(р—т). Это значит, что в продолжении всего процесса ка­ нонизации репера надо оставить нефиксированными т'— т(р—т) вторичных форм.

Естественно стремиться выбрать в качестве полувторич­ ных форм те, которые «управляют» точками или векторами репера, наиболее тесно геометрически связанными с элемен­ том репера при смещении его по подмногообразию, т. е., например, определяющими касательные к геометрическим местам точек элемента или фокальные точки прямых эле­ мента или, наконец, характеристики плоскостей элемента и т. д. Аналитически это означает, что полувторичные формы следует выбирать прежде всего из тех форм п[, которые

Наиболее удобным будет такой полуканонический репер, который строится одинаково для всех подмногообразий. По­ этому в процессе канонизации репера из уравнений вида (24) нужно, если возможно, составлять такие комбинации, в кото­ рые полувторичные формы входят «несущественно». Именно, из соотношений вида (24)!.

где tf' — полувторичные, a id' — неполувторичные формы, составляют комбинации вида

Sep, (A'i) = F-,r ъГ + thr rJ",

где

Py = PV' ? v ,

и производятся такие фиксации, при которых именно

?х(4Е) = 0.

После того как фиксация всех неполувторичных форм за­ вершена, рассматривают оставшиеся вторичные параметры как произвольные функции первичных параметров и пола­ гают Q'a = со». После этого так же, как и при построении канонического репера, выбирают р первичных форм щ за независимые, полагают

и вносят эти соотношения в уравнения структуры. Полу чается основная система дифференциальных уравнений гео метрического образа Фр, отнесенного к неголономному под­ многообразию xYm. Произвол решений этой системы будет на т' функций р аргументов больше, чем произвол сущест­ вования геометрического образа Фр.

где б — символ дифференцирования по полувторичным па­ раметрам, являются инвариантами и самого геометрического образа. Можно все инварианты геометрического образа вы­ разить через инварианты полуканонического репера путем

можно получить так называемые вычислительные формулы, в которых инварианты подмногообразия Wi выражаются через инварианты канонического (или какого-нибудь другого) репера и дифференциалы первичных параметров (см., напри­ мер, формулы § 7, гл. 2, вторая часть).

100