Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

[37],

X. Браунером

и

другими

австрийскими

геометрами,

отличается от него

лишь

выбором инвариантного

парамет­

ра. В

дальнейшем

мы

часто

вместо

термина

«линейчатая

поверхность»

будем

употреблять

более краткий:

«регулюс»,

подчеркивая

тем самым

и то,

что

здесь

рассматривается

именно линейчатая

геометрия.

Разумеется,

все

рассмотрения

в этой

и следующей

главах

имеют

локальный

характер

(см. § 4, гл. 2, первая

часть).

R=?

+ )e,

(1)

где

р — радиус-вектор

какой-либо

фиксированной

точки

этой

прямой относительно неподвижного начала

координат,

е — единичный вектор,

параллельный

прямой, a

R—радиус-

вектор переменной точки прямой, меняющийся с

измене­

нием

параметра I . Если

р и е

являются функциями

первич-

е* = — е,

легко установить, но

мы этого, как правило, делать не бу­

дем.

Переориентирование же какого-нибудь одного луча

при

сохранении ориентации остальных делать нельзя, так

как

функция е должна быть непрерывной. Имея в виду

это

условие, элемент

часто называют лучом как в случае

базисных

векторов е и е2,

е3.

Последние всегда единичны

и ортогональны,

что выражается

формулой*)

(е„ е}) = 8(7,

(2)

где Згу — кронеккеров символ:

1 1

\ 1 при i

=j

Так как в (2) имеется 6 независимых

соотношений,

то чис­

ло

вторичных

параметров

равно

4-3—6 = 6. В деривацион­

ных формулах

dr

= 2г e-t,

de^Qiej

(3)

формы

2;- В силу

(2) связаны

шестью

соотношениями

Q{ +

2} =

0,

(4)

а

поэтому

среди

них независимых только

три ( 2 2

= — 2 ' ,

2 f

= — 2^, 2 |

== — 2fj) и три формы

равны

нулю:

2 } = 2 1

=

2 | = 0 .

(5)

Формы

2» и 2-J

имеют вид

2' = aia dxa

+

aldu,

Qi =

a f dxa +

a{ du,

(6)

a

=

1,2, ...,6,

*) В

э т о й

г л а в е

в с ю д у п р е д п о л а г а е т с я ,

что и н д е к с ы

i, j, k, I

п р о б е г а ю т

з н а ч е н и я 1, 2, 3.

to' = а! du,

ш{ =

а{

du,

rJ = аы dxa,

^ =

a?

d-a.

(7)

г = р

(8)

и примем за вектор е3

репера

вектор

е.

Так

как

конец

вектора

г

может

еще

перемещаться

по

прямой,

то

имеем

br = dr\du=0

=

«'ea,

(9)

где

3 означает

дифференцирование

по вторичным

парамет­

рам

ха . Вектор

же

е3

полностью

фиксирован, т. е.

te,

=

rfe31*^

=

0.

(1°)

Таким

образом,

имеем

тИ = * 2

=

^

= * §

= 0 .

(11)

Или,

что то же,

Q i

= c o \

2* = со2,

2 3

= 0 ) 1 ,

21

= о ) 1 .

(12)

Так как формы со1, со2,

u>J, ш|

содержат

только

один

диф­

ференциал

du,

то

исключение

его

приводит к трем

основ­

ным

соотношениям

(см. ч. 1,

гл. 3,

§ 2),

которые

можно

записать

в

виде

2 1

=

а 2 3 ,

2 2 = ( 3 2 3 ,

(13)

21

=

f 2 | .

При

этом, исключая

случай

2J

=

0, т. е. со3 =

0,

мы

поч­

ния,

то можно

приводить

к

нулю только

одну

из форм

ш\ и mjj, а следовательно,

одну (пока

все

равно

какую)

считать отличной от нуля.

Уравнения структуры для евклидова пространства имеют

точно

такой же

вид, что и для

аффинного

(см. ч. 1, гл.З, §2):

£ > 2 ' =

[2'2,'],

DQi =

[Ql,Q{].

(14)

[Да, Q J ] = 0 ,

[ДР, Ql)

= 0 ,

(15)

где

Да =

с?а + ( В - а 7 ) 2 2

-

2 3

,

Д В = ^ 3 - ( а + 3 Т ) 2 2 - 7 2 3

,

(16)

ДТ = й ? Т - ( 1 + 7 2 ) 2 | .

Из

(15) находим

AS =

f*2',

(17)

ДТ =

, 2 ' ,

откуда

при du — 0 получается

оа +

(3 — otf) it J — тс3

=

0,

53 -

(а + 3Т ) uj

- Т тс3

=

0,

(18)

3 Т - ( 1 + Т 2 ) т г 2

= 0 .

7 = 0 , 7 г 2 = 0

(19)

ш = я 8 .

(20)

а = 0, * 3 = 0

(21)

dr

— ш2 е2 +

">3е3,

(22)

del=vb\e2A-v>\ez,

dei

= u>2\eu

dez =

^\ex.

Так

как формы

u>f ==— ш\,

ш\ = —

ш2 и си3

выражаются

по

формулам

(7)

через

дифференциал

только

одного

пере­

менного и в

коэффициенты

этих выражений

входит

тоже