Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 155

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

только

одно

это

переменное,

то можно положить

(имея

В ВИДУ,

ЧТО (Ид ф 0)

 

 

 

 

 

— ы\ =

ds,

 

 

со2 =

— pds,

ш3 = — ads,

wl = —u>2=bds.

(23)

Окончательно получаются такие деривационные формулы

канонического

репера

регулюса:

 

 

 

dr

 

—

аеъ,

 

 

— = — рег

 

 

ds

 

 

 

 

 

dp

 

 

 

 

 

^ds= - b e 2

+

es,

(24)

 

de-> ,

de,

 

 

 

ds

 

ds

 

 

Из них прежде всего следует, что в общем случае регулюс

определяется

заданием

трех

функций

одного аргумента:

р = р (s), а~а

(s), b =

b (s) с

точностью

до движения, т. е.

положения его относительно неподвижной системы координат. Эти три функции являются основными метрическими инвари­

антами

регулюса, а параметр s — его

инвариантным

пара­

метром

(ср. ч. 1, гл. 3, § 3).

 

 

 

 

§ 2. Геометрическая характеристика

 

 

канонического

репера и инвариантов

 

Прежде всего рассмотрим естественно ассоциирующуюся

с регул юсом сферическую кривую

 

 

 

R = е3 (s),

 

(25)

которую обычно называют

сферической

индикатрисой

регу­

люса. Так как дифференциал длины дуги s* этой индикатрисы вычисляется в виде

\ds*\ = \dR\ = \de3\ = \ exds \ = \ds\,

(26)

то мы заключаем, что инвариантный параметр s есть не что иное, как длина дуги сферической индикатрисы. Из последней формулы (24) следует также, что de3\\e\, т. е. что вектор ех направлен параллельно касательной к сферической индикат­ рисе в точке, соответствующей элементу (т. е. рассматривае­ мому лучу регулюса). Так как вектор

е2 = [е3ех\

(27)

вполне определяется заданием векторов ех и е3,

то геометри-

109

ческое значение всех векторов репера уже выяснено. Чтобы определить положение вершины репера на луче, рассмотрим два близких элемента:

и*)

 

 

 

 

 

 

 

R

= г + 1е3

 

 

 

(28)

 

 

 

 

/? =

г

+ Дг +

),(е3

+ Де3 ).

 

(29)

 

 

 

 

 

 

Пусть общий перпендикуляр пересекает прямые

(28) и

(29),

соответственно,в

точках

+ хе3

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

R

= г

 

 

 

 

 

R*

= г

+

 

Дг +

(х

+

Ах) (е 3 +

Де3 ).

 

 

 

 

 

 

Так

как

вектор

R* — R = Дг +

 

Длге3 +

х\е3

+ Д-кДе3

перпен­

дикулярен

обеим

прямым,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(R* — R, е3)

 

0,

 

 

(30)

 

 

 

 

 

 

(7?* — /?,

Де3 )

=

0.

 

 

(31)

Деля

(31)

на As2

и переходя

к пределу

при As -> 0,

получим

 

 

 

, ,

,

 

,

,

, .

 

,

,

 

.

, l i m *

= 0,

(32)

 

 

 

\as

 

as

J

V

ds

 

rfs

/

 

 

 

откуда

в

силу

(24)

находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

limjc

=

 

0.

 

 

 

 

Это значит, что вершина репера помещена в точку, явля­ ющуюся предельным положением основания общего перпен­ дикуляра двух близких лучей. Такая точка называется гор­ ловой (или центральной) точкой луча. Совокупность горло­ вых точек всех лучей называется горловой линией регулюса (иногда эту линию называют стрикционной линией или ли­ нией сжатия).

Если

регулюс

рассматривать

как

 

обычную

поверхность

R (х, s) = г +

хег,

то

вектор

нормали

 

в точке

(х, s)

имеет

направление

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

dR

dR

=

,

— ре2 — хех)

.

= pet

— хе2,

/ п о \

—

, —

[е3

 

(33)

 

OX

OS J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а касательная

плоскость

в той

же

точке

имеет уравнение

 

 

 

{R — г,

ре,

— хе2)

=

 

0.

 

 

 

(33')

Отсюда

следует,

что

при

х = 0 и р ф 0

эта плоскость пер­

пендикулярна

вектору

е и

т. е. вектор

 

ех

может

быть

харак-

*) П о д A / ( s ) п о д р а з у м е в а е т с я , к а к о б ы ч н о , п р о и з в о л ь н о е п р и р а щ е ­

н и е ф у н к ц и и A / =

/ ( s + As) — f(s) = A s / ' + A s 2 - 1 ^ / " + • • •. с о о т в е т с т в у ю ­

щ е е п р и р а щ е н и ю

As а р г у м е н т а s.

ПО

теризован параллельностью его нормали поверхности в гор­

ловой

точке

луча, если

для

него p=/=Q. Поэтому

прямую

/? = /* + \ех

называют

горловой

нормалью луча

регулюса.

При

х - * с о уравнение

(33) принимает вид

 

 

 

(R

-

г,

е2)

= 0.

(34)

Предельное положение касательной плоскости регулюса при стремлении точки по лучу в бесконечность называется асимп­ тотической плоскостью луча. Мы видим, что вектор е2 может быть характеризован как перпендикуляр к асимптотической плоскости.

Суммируя изложенное, получаем следующую геометриче­ скую характеристику всех векторов и плоскостей каноничес­

кого

репера.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вектор

et

параллелен касательной к сферической инди­

катрисе и

перпендикулярен

касательной

плоскости

в горло­

вой точке (при р ф 0).

 

 

 

 

 

 

 

 

Вектор

е2

перпендикулярен

асимптотической

плоскости.

Вектор е3 параллелен лучу.

 

 

 

 

 

Плоскость

(R^r,

еие2)=0

 

перпендикулярна

лучу.

Плоскость

(R

— r,

е и

е3)

=

0 асимптотическая

плоскость

Плоскость

(R

— г,

е2, е3)

= 0—

касательная плоскость в

горловой точке

(при

рф-0).

 

 

 

 

 

Перейдем

к

геометрической

характеристике

 

основных

инвариантов.

 

 

 

d

 

 

 

 

 

 

Вычисляя

расстояние

между

двумя

близкими

лучами

(28)

и (29),

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

d(Дг, е8 , Ае3 )

~~I [е„ ±ег\ |

Впределе при 4s->0 находим

11m (d:As) = +

( — ,еа,

^

,

de3

= ±Р-

 

ds

&s-+o

\ ds

ds

 

 

Имея в виду, что угол Ф между двумя близкими лучами равен длине As соответствующего куска дуги сферической индикатрисы, можем написать

р = ± Нт — .

(35)

Следовательно, инвариант р равен пределу отношения расстояния между двумя близкими образующими к углу меж­ ду ними. С другой стороны, из формулы (33) следует, что

л

p = x-tg(e„n).

(36)

Следовательно, инвариант р равен тангенсу угла

поворота

нормали касательной плоскости регулюса при смещении точ-

ки касания по лучу на единицу длины. Злая р, мы можем указать, как распределены касательные плоскости на луче регулюса. Вот почему этот инвариант получил название па­ раметра распределения. Формула (36) называется формулой Шаля.

Геометрическая характеристика инварианта Ь

получается

из предпоследней формулы (24) так же, как характеристика

кривизны или кручения пространственной кривой

из формул

Френе:

 

А

Г Ь

о =

lim — ,

где •& — угол между асимптотическими плоскостями, соот­ ветствующими двум близким лучам, угол между которыми обозначен ф.

Чтобы получить геометрическую характеристику инвариан­ та а, ведем в рассмотрение угол \|) между лучом и касатель­ ной к горловой линии. Тогда из первой деривационной формулы при р Ф 0 находим;

a=p-cig<b. (37)

Инварианты Ь, а, и г|э получили названия «косина» (или «косина распределения»), «наклон» и «стрикция».

Геометрическую характеристику репера и инвариантов для случая р = 0 мы получим в § 4.

§ 3. Вычислительные формулы.

Так как инварианты регулюса используются для геомет­ рической характеристики более сложных геометрических об­ разов, то полезно иметь в своем распоряжении формулы, позволяющие вычислять их в более общей системе координат. Пусть луч регулюса задан уравнением (1) относительно не­ которой неподвижной декартовой системы координат, причем вектор р и орт е являются функциями произвольного парамет­ ра и. Тогда для длины дуги s сферической индикатрисы имеем

 

 

s = j\e'\du,

 

 

(38)

 

 

 

о

 

 

 

где штрих

означает производную

по

и, откуда

 

 

 

ds

: du =

I е'

\.

(39)

Обратимся

к формуле

(32). Поделив и умножив ее на

du2

и сократив

на

du1: ds2,

получим

следующее выражение

для

абсциссы хг

горловой точки:

 

 

 

112

Смотрите также файлы