Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 154

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

*r = - {?'e'):\e"\\

(40)

Поэтому горловая точка может быть найдена по формуле

г = р + хге.

(41)

Вычисление инвариантов р и b не представляет труда. Фор­ мулы (24) дают

_

/

\ _

/' dr

е

de3

 

\ds '

2/

'

3'

ds

 

 

 

 

 

(42)

 

ds

'J

\ ds2

 

ds

Отсюда, пользуясь (39) и (41), получаем

p=W, е, e'):\e'\*

b = (e", e',e):\e'\3

Для инварианта а имеем

= (

d

r ' e ' * e

) ,

(43)

 

 

\de\2

 

 

= {

d

4 ' d e ' e

) .

(44)

a ~ - • ( ! • * • ) •

( 4 5 )

Поэтому

 

:\e'\

 

a

= - (/•', e8 )

 

и окончательно

Kp', eB) +

x'r}:\e'\.

 

fl = -

(46)

Мы получили вычислительные формулы для всех основных инвариантов регулюса. Что же касается стрикции гр, то она может быть вычислена при помощи формулы (37):

Xgif=p:a. (47)

§4. Основные классы регулюсов.

Натуральные уравнения

Перейдем к рассмотрению основных классов регулюсов, характеризующихся простейшими соотношениями между ин­ вариантами. Естественно начать с «^нуль-классов».

1. Регулюсы р=0 (торсы). Из (24) сразу видно, что в этом

случае — \\е3 . Следовательно, лучи являются касательными ds

к горловой линии. Поэтому регулюс р = 0 можно рассматри­ вать как совокупность касательных прямых к некоторой ли-

8. Заказ 6667.

И З

нии. Нетрудно показать, что в качестве горловой линии регулюса р = О может выступать любая пространственная кри­ вая. В самом деле, при а ф О можно положить:

(48)

ads = da, — = k, ——•/..

аа

Тогда формулы (24) примут вид

 

 

 

dr

dmx

,

....

 

~=т„

—-±=km2,

(49)

 

da

da

 

 

dm 2

,

,

dm*.

— *tn2,

—-

= — km,

-f-%тг,

— - =

da

 

 

da

 

т. е. совпадут с известными формулами Френе — дериваци­ онными формулами канонического репера произвольной про­

странственной кривой.

Отсюда и

вытекают

геометрические

характеристики

векторов и инвариантов регулюса в

случае

р = 0. Заметим,

что у «ас исключен случай k = 0, но в этом

случае кривая вырождается в прямую

линию. Итак, регулюс

р = 0

(торс) образован

касательными к произвольной

прост­

ранственной кривой. Из формулы (33')

видно, что для

торсов

касательная плоскость

вдоль

луча

не

меняется и

совпадает

с плоскостью (/?—г, тг) = 0,

т. е. с соприкасающейся

плос­

костью

горловой

линии. Поэтому

торс

является

огибающей

однопараметрического

семейства

плоскостей.

Из

основного

курса дифференциальной геометрии известно, что всякий торс допускает локальное изгибание на плоскость. Впрочем, это непосредственно следует из того, что первая основная квад­

ратичная

форма

торса, вычисленная при

помощи

формул

(49), не содержит

кручения/.:

 

 

 

 

/ = | dR | 2

= | d (г + Xmj) 12 =

I тг

da + d\mx

+ lkm,da

| 2 =

 

 

= (da + d\)2

+

2k\4a\

 

 

что означает, что любой торс наложим на совокупность каса­ тельных к плоской кривой х = 0 . Свойство наложимости на плоскость объясняет старое (и неудобное) название торса — «раз!вертывающаяся поверхность». Заметим, что точки горло­ вой линии для торса являются особыми: вектор нормали з них не определен, так как (см. (33))

dR

dR

= 0.

дх

ds

х = 0

Точки горловой линии торса называются точками возврата

114

или фокусами соответствующих лучей, а сама горловая ли­ ния — ребром возврата торса.

2. Регулюсы р = а = 0 — частный случай торсов, являют­

ся конусами,

так как для них dr = 0,

т. е. горловая

линия

регулюса вырождается в точку — вершину конуса.

 

3. Регулюс

а = 0, р Ф 0 называется

бинормальным,

так

как представляет собой совокупность бинормалей некоторой

пространственной кривой.

Действительно,

при р Ф 0, а = О

можно положить

 

 

 

 

е2 = т и

ех — — т2,

е3 = т3,

— pds = da,

b-.p — k,

1:р = х

Формулы

(24)

примут вид

(49), откуда и следует

наше ут­

верждение.

 

называется цилиндроидом и характери­

4. Регулюс

6 = 0

зуется тем, что все лучи его параллельны одной и той же пло­ скости

(R,e2)=0,

(50)

так как de2 = 0. Эту плоскость называют направляющей

плос­

костью цилиндроида. Сферическая индикатриса цилиндроида представляет собой окружность, расположенную в плоскости (50). Все асимптотические плоскости параллельны направ­ ляющей плоскости. Нетрудно видеть, что при р = Ь—0 регу­

люс

вырождается в плоскость, так как в силу формул

(48) и

(49) горловая линия становится плоской.

 

Заметим, что Фавар в [20] называет регулюсы b =

0 коно­

идами, что не соответствует

общепринятому значению

послед­

него

термина.

 

 

5.

Регулюс а — b = 0.

У него dr \\ е2 = const. Следова­

тельно, горловая линия есть прямая линия, перпендикуляр­

ная

всем образующим. Такие регулюсы называются

прямы­

ми

коноидами

(о термине

„коноид"

см. конец § 5). Так

как

для них из (24) следует, что

 

 

 

ds2

=

— е и ds2

= — е3,

е-, = const,

'(51)

то

можно положить*)

 

 

 

е3 = / cos s + j sin s,

ex = — / sin s + j cos s, e2 — k,

(52)

где i, j , k — орты неподвижной декартовой системы коор­ динат. Полагая еще

§pds = P(s),

(53)

о

 

получаем следующие конечные уравнения самого общего пря­ мого коноида:

*) П о д р о б н о е д о к а з а т е л ь с т в о ф о р м у л (52) см. н и ж е в § 5.

8*.

115

R

= P{s)k+

h(i cos s+jsins),

(54)

где P — произвольная

функция.

 

 

 

6. Регулюс a = b = 0,

/? = const

называется

прямым ге­

ликоидом (о термине

«геликоид»

см. конец §

5). В этом

случае

 

 

 

 

 

 

P(s) —р (s ~ s0), sQ

= const,

(55)

и (54) принимает

вид (после сдвига по оси г)

 

R

= psk

+

>. (/cos s

j

sin s).

(56)

Регулюс образован посредством вращения прямой вокруг перпендикулярной к ней оси с одновременным смещением ее вдоль оси на расстояние, пропорциональное углу поворота. Величина р показывает, на какое расстояние смещается эта прямая при повороте луча на единицу угла. Величина же 2пр есть так называемый «шаг», т. е. расстояние, на которое поднимается образующая после полного оборота вокруг оси z.

7. Регулюс b = const характеризуется тем, что его лучи образуют постоянный угол с постоянным вектором.

В самом деле, в силу (24)

 

 

f L ( e s

+ *es ) = 0,

 

(57)

 

 

as

 

 

 

 

и для постоянного

вектора

т = е2

-f- be3,

получается

 

 

 

л

r —Ь

 

 

 

 

cos(meo)=

. = const.

(58)

Сферическая индикатриса

в этом

случае

представляет со­

бой окружность, так как ее кривизна k выразится так:

k

d2e3

des

y \ + b 2 ^

const.

(59)

ds*

 

 

ds

 

 

 

Заметим еще, что первая ось репера, т. е. прямая

 

 

 

/? = /• + \ех

 

(60)

описывает вдоль такого регулюса цилиндроид с направляю­

щей плоскостью

 

 

(61)

( Я , т ) = 0.

 

В литературе регулюсы fr = const

часто называют

поверхно­

стями откоса.

 

 

 

Мы ограничимся описанием отмеченных классов. Всякое

соотношение, связывающее между

собой инварианты

р, а, Ь,

s, а также производные от р, a, b

по s, можно

рассматривать

как натуральное уравнение класса

регулюсов

(см. ч. 1, гл. 3,

§ 2). Задав две из трех функций р, a, b произвольно,

мы мо-

116

жем найти третью из этого уравнения. Следовательно, класс регулюсов, заданных одним натуральным уравнением, зави­ сит еще от двух функций одното аргумента. Задание двух натуральных уравнений определяет класс регулюсов с произ­ волом одной функции одного аргумента. Конкретный же регулюс задается, вообще говоря, тремя (независимыми) на­ туральными уравнениями:

р = p(s),

а =

c(s), b = b(s).

Из большого

числа

задач

метрической

теории регулюсов

мы остановимся

подробно только на двух:

на задаче о на­

хождении всех регулюсов с постоянными инвариантами и на задаче о паре регулюсов с неизменной связью реперов.

§ 5. Регулюсы с постоянными метрическими

инвариантами

Геометрические образы, допускающие нетривиальную груп­ пу преобразований в себя, представляют собой один из важ­ ных объектов исследований в дифференциальной геометрии. В метрической геометрии кривых таковыми являются окруж­ ности и винтовые линии, (в общей теории поверхностей — по­ верхности вращения и винтовые поверхности.

В случае однопараметрического геометрического образа задача об отыскании всех образов, допускающих преобразо­ вание в себя, решается просто: речь может идти лишь об однопараметрической группе таких преобразований, и достаточ­ но потребовать, чтобы локальные уравнения образа относи­ тельно репера не изменялись при изменении инвариантного

параметра. Эти локальные уравнения можно

представлять се­

бе

в виде

канонического

представления, т. е.

разложения

функций,

определяющих

элемент (в нашем

случае — г (s)

и е3

(s) в ряд Тэйлора (см. ч. I , гл. 3, § 2).

Так

как коэф­

фициенты этого ряда будут зависеть только от коэффициентов деривационных формул и их производных (в нашем случае

— от р,

а, Ь),

то достаточно потребовать, чтобы эти коэффи­

циенты, т. е. инварианты образа, были постоянны.

 

 

Итак, мы имеем

задачу: найти все регулюсы, для которых

 

 

р =

const, а = const, b = const.

 

(62)

Прежде

всего

проинтегрируем уравнения

 

 

 

 

 

de 3

е

(63)

 

 

 

ds

 

 

 

 

 

117

Смотрите также файлы