Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 158

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

при b = const. Имеем

 

 

 

^

" + (1 +

= 0.

(64)

ds2

 

 

Общий интеграл этого

уравнения

имеет вид

 

ev = a cos Bs -|- с sin Bs,

(65)

где

 

 

 

5= V 1 + Ъг

иа, с — некоторые постоянные векторы. Так как ех — еди­

ничный вектор, то при всех s имеем

a2 cos2 Bs + с 2 sin2

Bs + 2 (а, с) sin Bs cos Bs =

1.

(66)

В частности,

при s = 0 и s = —

получаем

 

 

 

 

 

25

 

 

 

Поэтому

 

 

а 2 = 1, с 2

= 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2

Bs + sin2

Bs + 2 (а, с) sin Bs cos = 1

 

при всех

s, что возможно лишь при

 

 

 

 

 

(а, с) =

0.

 

 

Итак, а

и с суть ортогональные

орты. Включая

их в базис

неподвижной декартовой системы координат и обозначая

через

/ и j

, запишем (65) в

виде

 

 

 

ех

= / cos Bs + j sin Bs.

(67)

Интегрируя

два последних

уравнения из (63), находим

 

 

е3 = —

{/ sin Bs — у cos Bs] + /,

 

 

 

 

 

 

(68)

 

 

е2 = — {/ sin Bs — у cos Bs} +

g,

 

 

 

В

 

 

 

где /

и ^ — постоянные

векторы. Требуя,

чтобы et, е2 и ея

при всех s

образовывали

декартов базис,

получим

 

 

/ =

- 4 *

'

S = - \ k .

(69)

Наконец, интегрируя уравнение

drds = — ре2 — ае3,

получаем

г =Рр—£-Ц

cos Bs +j sin Bs) + -^j^-sk.

(70)

118

Мы видим, что горловая линия при

 

(pb-a)(p

+ ab) фО

(71)

является обыкновенной винтовой линией, расположенной

на

pb — а

„

шаг

p + ab

„

 

цилиндре радиуса —

и имеющей

В

• 2к. Ре-

1 + * 2

 

 

 

 

гулюс описывается винтовым движением*) луча, проходяще­

го через переменную точку линии

(70)

в направлении

е 3 ,

перпендикулярном

соответствующему

радиусу

цилиндра

р _ _pb—— .(cosBs-i-{-j

sin Bs) \\ех

и образующим

постоян-

 

В 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ный

угол

с касательной — винтовой

линии:

 

 

 

 

 

 

 

ds

 

 

 

 

 

 

 

 

ctg <!> =

— .

 

 

 

(72)

Шаг

равен

 

 

 

Р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 т

Р + а Ь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

 

 

 

 

 

При

b = 0,

т. е. в случае цилиндроида,

луч

все время

рас­

полагается в плоскости, параллельной плоскости XOY.

Ес­

ли (71) не имеет

места, то возможны три случая.

 

 

1.

При

pb—a

= 0,

рА~аЬфО

горловая

линия

превра­

щается в прямую

линию—ось OZ.

Регулюс

образован

вин­

товым движением прямой линии, пересекающей ось 02 под

постоянным

углом <р, для

которого

 

 

 

cos с? = | е3

—

dr

b_

 

 

 

ds

В

 

 

 

 

ds

 

т. е.

 

 

 

 

 

 

Шаг

равен

2?:/? cos ср. При b — 0

имеем ? = 0 и

получаем

отмеченный выше „прямой геликоид".

 

2.

При р + ab — 0, pb — а ф0

 

горловая линия

является

окружностью, а регулюс представляет собою одно семейство прямолинейных образующих однополостного гиперболоида вращения. В самом деле, параметрические уравнения по­ верхности можно записать в виде

pb — а

„ i l

.

D

х = -

cos Bs — h- —

sin Bs,

B 2

B2

 

 

pb ^

• D i

+

у — —

sin Bs

B 2

 

 

*)

В и н т о в ы м

д в и ж е н и е м н а з ы в а е т с я в р а щ е н и е

в о к р у г оси с о д н о в р е м е н ­

ным

с м е щ е н и е м

по в е р т и к а л и , п р о п о р ц и о н а л ь н ы м

у г л у п о в о р о т а .

119

Ч — -

cos Bs,

 

lb

 

 

 

В2

'

 

В2

 

 

 

а исключение к и s приводит

к

уравнению

 

 

 

 

 

2

 

 

V

 

\ \+Ь2

)

 

3. При р + ab = pb — а =

0

получается

р = а = 0, т. е.

регулюс превращается

в прямой

круговой

конус

(1 4- Ь2) (х2 + у2 ) - z2 = 0.

Так как исключенные из рассмотрения цилиндры тоже до­ пускают однопараметрическую группу движений по себе (сдвиги по образующим), то мы можем резюмировать резуль­

тат исследования следующим

образом.

В ы в о д . Все регулюсы,

допускающие однопараметриче­

скую группу движений, суть или цилиндры, или прямые кру­

говые конусы,

или однополоетные

гиперболоиды

вращения,

или регулюсы,

образованные винтовым движением прямой

линии, перпендикулярной к радиусу

цилиндра и

составляю­

щей постоянный угол с касательной к винтовой линии, или, наконец, регулюсы, имеющие прямую горловую линию и об­ разованные винтовым движением пересекающей ее под посто­ янным углом прямой.

З а м е ч а н и е . В терминологии, относящейся к рассмот­ ренным выше регулюсам, нет достаточной четкости. Так, цилиндроиды часто называют поверхностями Каталана и да­ же коноидами (см. [20], стр. 351). Однако значительно чаще коноидом называют цилиндроид с прямолинейной секущей. Термин «геликоид» иногда применяют ко всем поверхностям, полученным винтовым движением произвольной линии. С этой

точки

зрения все

регулюсы, полученные

в

этом

параграфе

(кроме

цилиндра,

конуса и гиперболоида),

суть геликоиды.

 

§ 6. Пара регулюсов, реперы

которых

 

 

 

неизменно связаны

 

 

 

Одной из интереснейших задач теории пространственных кривых является задача о паре кривых с неизменной связью реперов, являющаяся естественным обобщением знаменитой задачи Бертрана. Бертран показал: кривая, основные инвари­ анты которой связаны линейным соотношением с постоянными коэффициентами, характеризуется тем, что к ней можно при­ соединить другую кривую так, что в соответствующих точках эти две кривые будут иметь общую главную нормаль. При этом оказывается, что расстояние между соответствующими

120

точками и угол между соответствующими касательными так­ же будут постоянны. Таким образом, координаты начала и базисных векторов канонического репера (репера Френе) од­ ной кривой относительно канонического репера второй кри­ вой, построенного в соответствующей точке, постоянны. Иными словами, реперы Френе пары кривых Бертрана «неизменно связаны». Легко проверить, что такое присоединение второй кривой с неизменной связью реперов Френе допускают толь­ ко кривые Бертрана и их частный случай — винтовые линии. Ясно, что задачу о неизменной связи реперов можно ставить для любых геометрических образов Фь

Пусть

даны два ортогональных репера

{г, еи е2, е3)

и {г*, е\,

е*, е*}. Запишем их деривационные

формулы в виде

dr

,

-Г

= а е и

ds

 

de,

k

(73)

"J" = a < e *'

ds

 

 

(i, k =

1, 2, 3),

 

df~

. *

dei

и

*

,

тл\

—-

= ctlet,

ds"

= ч

ek

(74)

US'"

 

 

 

 

 

где s и х * — инвариантные

параметры

и,

конечно,

 

 

af + ai = 0 ,

ai + ai = 0.

 

(75)

Неизменная

связь

реперов

выразится

формулами

 

г* = г +

с1 а ,

el

= с) ек,

с'1

= const, с* = const,

(76)

причем в силу ортогональности репера

[е*\

имеем {eie*k) = bik,

откуда сразу

следует, что

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

2 Ср Ср -=

2 сЧ & = Ьш .

 

(77)

Дифференцируя (76) по s

и используя

(73), (74),

получаем

 

H Q

СЧО} =а* + с1а*.

 

 

(78)

 

ds

 

 

 

 

 

 

 

 

Умножая эти формулы на ckm

и суммируя

по k, получаем

— а» = У

(а* + с1 af)

ckm

, т

=

1, 2, 3.

(79)

Аналогично найдем, что

 

 

 

 

 

 

 

ds

m = i

 

 

 

 

 

 

 

 

(80)

+ af (с/

— с? с)) +

a|

(cf cj — cf cj).

 

121

Но

из соотношений [ei ej]

— ek,

где /, /, k

образуют

лю­

бую

циклическую перестановку

индексов 1, 2, 3, получает­

ся,

что

1

2

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

Ck =

Ci

Cj

— C i С/

 

 

 

 

 

2

 

3

2

3

1

 

 

 

 

 

Ck

—

Ci

Cj

Cj

Ci ,

 

 

 

 

 

3

=

1 2

2

1

 

 

 

 

 

Ck

Ci Cj — Ci Cj .

 

 

 

Поэтому

(80) можно переписать в виде

 

 

 

 

 

ds*

 

 

 

+ а\с1,

 

(81)

 

 

—-л1 = а\с\+а\с1

 

 

 

 

 

ds

 

 

 

 

 

 

 

 

где действует установленное

соглашение

о

индексах i,

/, k.

Формулы

(79) и (81) дают

возможность

решать задачу

о не­

изменной связи метрических канонических реперов для лю­

бого геометрического

образа

 

В интересующем нас случае

регулюсов имеем

а 1

= 0, а2

= —- р*,

а3 = — а* ,

а 1

= 0, а 2

= — р, а 3 = — а ,

а\

=b,

а\

=

1, а\

= 0 ,

а{

= 6*,

а | =

1, o-l = 0,

где звездочками отмечены инварианты регулюса, присоеди­

няемого к данному. Формулы (79)

и (81)

дают

соотно­

шения

 

 

 

 

 

 

 

 

рс\ + ас\ — Ь (с1 с\ — с 2 с\) + с3с\

- с1 с\

= 0,

(82)

 

6 с ? + с ? = 0

 

 

 

 

(83)

и выражения

для инвариантов

р*, а*, Ь* и

для

величины

ds*

 

 

 

 

 

 

 

 

ds

 

 

 

 

 

 

b ф const, то

Если исходный регулюс—произволен, то есть

мы должны

положить с\ = с\ =» 0. Но

тогда

из

(82) полу­

чается (так как с\ = ±

1 в силу

(77))

с2 — с3

= 0.

Поэтому

 

г* = г

+ сх е и

е\

= с\ е и

 

 

(84)

т. е. для соответствующих лучей регулюсы имеют общие горловые нормали. Из шести независимых констант с\ cf две

(с1 , с|) еще можно

задавать произвольно. Следовательно,

к заданному регулюсу, у которого

b ф const,

можно

при­

соединить оо2 регулюсов с неизменной связью

реперов.

Пусть теперь исходный регулюс

есть поверхность

отко­

са, т. е. b = const. Пусть инварианты

р и а не связаны ли­

нейной зависимостью

с постоянными

коэффициентами. Тогда

122

Смотрите также файлы