Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

с\

=с\

= 0,

с2

b -

с3 = 0.

Поэтому можно

положить

с3 = с2Ь.

Таким образом,

три константы

(с\ с2

и

cij)

остаются

про­

извольными, т. е. можно присоединить

с ю 3 регулюеов. При

этом

горловые

нормали

для

соответствующих

лучей

пары

будут

параллельны,

так как е\

=с\е1

и у присоединенного

регулюса

= const

в силу (81).

Наконец, пусть

исходный

регулюс

имеет

натуральные

уравнения

b = const,

Ар -+ Ва +

С = 0,

А, В, С = const.

(85)

Учитывая

(82) и (83), можно

положить

Но тогда

с\

= —Ьс\.

(86)

А =

В

_

С

с\

—bc\

Ьс2с\ + с3с\

Если

АЬ Ф В, то возможно только предыдущее

присоедине­

ние. Если

же В = АЬ, то,

положив

Ас\

[Ьс2-\-с3)

+ с\ С = 0,

(87)

можем задавать с1,

с2, с3 и с\

произвольно,

а с\

и с3

опре­

делять по формулам (86) и

(87). Таким

образом, к

регу-

люсу

b = const, р + ab =

const

(88)

можно присоединить,

кроме

тех,

которые

указаны

выше,

еще о о 4 регулюеов

с

неизменной

связью

реперов.

Легко

проверить,

что и для

присоединенного

регулюса

имеют

место

натуральные

уравнения,

аналогичные (88):

е\ =с\ех

+с\{е2-Ье3).

(89)

мали исходной и присоединенных поверхностей

параллельны.

3. К регулюсу b =

const,

а 4- pb — const можно,

кроме

того, присоединить

о о 4

регулюсов того же класса. При этом

проекции горловых

нормалей

всех присоединенных

регулю­

сов на касательную

плоскость

в горловой точке

соответству­

ющего луча исходного параллельны.

Глава 2

ЛИНЕЙЧАТЫЕ

КОНГРУЭНЦИИ

R = P + le

(1)

считать р и е вектор-функциями двух

параметров,

то мы

и получим наш образ

Ф2 — конгруэнцию.

поло­

Включая элемент (1) в репер {г,

мы можем

жить

— р\\е3,

е3

= е, г

(2)

то есть

5 е 3 = 0 ,

8г||е3 ,

(3)

ричным

параметрам.

Пользуясь

теми

же

обозначениями,

что

и в главе

1, мы будем

иметь формулы

вида (3), (4), (5)

этой

главы,

но теперь

W и ш-J будут

линейными

комбина­

циями

двух

дифференциалов. В силу (3) имеем

тс? =

тс| =

тс§ =

тс3

= 0 ;

rJ =

т с 2 = 0 ,

(4)

и остается всего два нефиксированных

вторичных

парамет­

ра,

соответствующие формам

тс? и тс3 . Исключив из

формул

2 | = СО3 , 2 3

= 0)3, Q i

=

СО*, 2 2

= CD2

(5)

дифференциалы

двух

первичных

параметров,

получим

два

основных

соотношения. Примем

формы

ю? и ш3

за

базис­

ные,

т. е. предположим,

что

К < о ? ] ¥ = 0 .

(6)

Этим исключены из рассмотрения так называемые

цилинд­

рические

конгруэнции,

т. е.

конгруэнции,

расслаивающие­

ся

на

оо 1 цилиндров.

В

самом

деле,

если

[ ш 3 , cof] = 0

то

есть

a c o 3 + p c u l = 0 ,

(7)

то для подмногообразия

х ¥ г ,

имеющего

уравнение

<о;2

= 0

получаем

ш| = 0 и de3

= 0,

т. е. это

подмногообразие

яв­

ляется

цилиндром

Учитывая (6),

можно

основные

соотношения

(см. ч. 1,

гл. 3,

§ 2) записать в

виде:

2 1

= a 2 3

+

62f,

(8)

2 2

=

t V 2 3

+cQ* .

Внешнее

дифференцирование

их (с учетом уравнений

струк­

туры

(1.14)) дает:

[da-(b

+ b')Qj - f 23 , 2 3 ] +•

(9)

2 3 ] = о,

+ [db + (a-c)Q\,

[db' + (a-c)Q{,

QU + [dc-\-(b + b')Q\ +

^3 , 2 | ] = 0 .

Применив

к этим

соотношениям

лемму

Картана

(см. ч. 1,

гл. 1, §5), мы

получим,

что

левые

части

всех

четырех

произведений линейно

зависят

от первичных

форм Й3 = со?,

23 , = ш3,. Следовательно,

соответствующие

вторичные

фор­

мы

равны нулю,

т. е.

Ьа = {Ь + Ь') «?

-

тс3 ,

W =

-

(а - с) тс? ,

ЬЬ = -

(а -

с) тс? , 8с = —

(Ь + V) тс? - тс3 .

(Ю)

пера, приняв

одну из них за полувторичную

(см. ч. 1, гл. 3,

§ 6). Только

в частном случае b-\-b'

=

a — с = 0

придется

«продолжить»

основные

соотношения.

Луч,

для

которого

b - j - b' = (а — с) — 0, называется

изотропным,

и

конгруэн­

ция, все лучи которой изотропны, также называется

изотроп­

ной. Такие лучи и конгруэнции

мы

пока

исключаем

из

рас­

смотрения (см. о них ниже, § 21).

Эти же формулы

(10) дают возможность

найти некоторые

инварианты

конгруэнции,

исключая

я}

и

я 3 . Например,

имеем

5 ( 6 - Ь') = 0 .

(11)

Следовательно, # =

(Ь — Ъ')

есть

инвариант.

Однако

мы

дание которых определяет наш геометрический

образ Фг

вплоть до движения.

§ 2. Простейшие канонические реперы.

1

Полуканонический репер

что

о(а

+ с) = -2кя.

(12)

Это дает возможность

осуществить

фиксацию

а + с = 0, - 3 =

0,

(13

перь имеем

За = (b + Ь') п\,

ob = - 2аъ\, ЬЬ' =

-

2а*?.

(14)

Отсюда видно, что возможны следующие

простейшие

фик­

саций репера*):

= 0 , b + b' Ф0,

1) а = 0,

(15)

(первый

канонический

репер),

2) b + b' = 0, я? = 0 , аФО,

(16)

(второй

канонический

репер).

Можно осуществить и более общую фиксацию

\а 4- у-Ь -4- чЬ' = 0; I , ц, v = const,

к\

= 0.

(17)