Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 156

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Фиксации (15) и (16) являются предпочтительными, так как дают максимальную симметрию формул, а следовательно, рав­ ноправие базисных дифференциальных форм со3 и cof.

Если же мы оставим форму я 2 нефиксированной и примем ее за полувторичную, то мы получим полуканонический репер (см. ч. I , гл. 3, § 6), для которого величины a, b и Ь' будут являться инвариантами. Мы выпишем здесь деривационные формулы и основные дифференциальные уравнения для полу­ канонического репера, так как соответствующие формулы и уравнения для простейших канонических реперов всегда мо­ гут быть получены из них, если положить а = 0 или b-\-b'—0. Деривационные формулы имеют обычный вид:

 

 

 

dr

= со'

et,

 

 

 

 

dei

ш/

ej,

 

 

причем

 

ш/ +

со) =

0,

 

(18)

 

 

 

аш\ +

Ьл\,

 

 

 

 

со'

=

 

(19)

 

 

со2

=

b' cof — асо|

 

 

 

 

 

в силу (8)

и (13). Для

остальных форм

положим

 

 

to3 =/7cof +

q<a\, со? =

Лю? +

&со| .

(20)

Уравнения

структуры

приводят

к выражениям для

внеш­

них дифференциалов базисных

форм:

 

 

 

D<o» = Л [ < 0 « ,

<»*], Deo3 = k [cof со?]

(21)

и к основной системе дифференциальных уравнений:

 

[dh,

ш»] +

[dk,

ш32] =

-(h*

+ k2

4- 1) [ш* m|],

 

[dp,

cof] 4-

[cty, o>|] =

(b' — b — ph — qk)

[cof cof] ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(22)

 

[rffl,

cof] 4- \db,

©S] =

{ ? - £ ( £ +

6') — 2aA} [cof cof],

 

[dfc'.co3] _

[da,

<o§] =

{2ak

— h{b

+ b') -

p\

[cof cof].

Так

как

эта

система

имеет стандартный

вид

и тз = 0, то

в силу теоремы

Бахвалова (ч. I , гл. 2, § 11)

ее общее решение

зависит

от

трех

произвольных функций

двух аргументов, что

и составляет произвол

 

существования

конгруэнции Ф2 , отне­

сенной

к произвольному

подмногообразию

 

(ср. ч. I , гл. 3,

§6).

Вслучае канонического репера в силу соотношения (15) или (16) число неизвестных функций уменьшится на одну, но система (22) останется стандартной. Поэтому произвол су­ ществования конгруэнции, как таковой, составляет две функ­ ции двух аргументов. Функции р, q, h, k и две из а, Ь, Ь'

127

составляют полную систему инвариантов конгруэнции в том смысле, что задание их определяет конгруэнцию с точностью до произвольного преобразования движения, т. е. до поло­ жения в пространстве.

§ 3. Простейшие подмногообразия. Геометрическое строение канонических реперов

Если конгруэнция отнесена к одному из канонических ре­ перов, то уравнение

А 2 < в » - > м а > » = 0 ,

 

 

(23)

где X, и Х2 — некоторые функции

главных

параметров, оп­

ределяет некоторое ее подмногообразие Тг.

Так как в урав­

нении (23) всего два независимых

переменных, то оно

всег­

да вполне интегрируемо. Следовательно, Y ,

состоит

из о о 1

регулюсов. Если )м и Х2 — заданные функции,

то через каж­

дый луч конгруэнции проходит один регулюс (23). Полагая

 

й)?:ш| =Х, :Х2 ,

 

 

(24)

подсчитаем абсциссу х горловой точки

г г = г + хе3

регу­

люса (23), а

также

параметр

распределения

р. Пользуясь

формулами (40) и (42), гл 1, немедленно

получаем:

 

х —

(dr,

de3)

_

ш1 со, -4- а>2

со?.

 

 

(de3y

 

(«>?)' + К )2

 

 

 

 

 

(25)

 

(dr, de3, е3)

со1 cuf — ш2 cof

 

 

 

 

 

(de3?

 

(со?)2 + (<«i)2

 

 

или в терминах полуканонического репера (а

при (15)

или

(16) —в терминах одного

из

простейших

канонических):

~ =

а ( щ ? ) 2

+ (6 + г/)ш? с о 3 - а ( с

о З ) 2

 

 

 

 

( с о ? )* +

( ш з ) ,

 

 

 

; _

-ь'Н)2

+

2асо« «,з +ь№Г

_

 

( 2 7 )

( Ш 3 ) 2 + ( Ш 3 ) 2

Чтобы довести эти формулы „до числа", надо, конечно, под­ ставить вместо ы? и а>1 значения (24). Однако удобнее поль­ зоваться выражениями (26), (27). Заметим, что по своей структуре правые части обеих формул (26) и (27) имеют такой же вид, что и формула для нормальной кривизны линии на поверхности (см. [20], стр. 316), т. е. представ­ ляют собой отношения двух квадратичных форм. Как из­ вестно, экстремали и экстремальные значения нормальной

128

кривизны дают важнейшие подмногообразия (линии кривиз­ ны) и инварианты (главные нормальные кривизны) поверх­ ности. Естественно поэтому, по аналогии, отыскать экстре­ мумы хе, р е и экстремали величин х и р .

Записав (26) в виде

(а -

х) ( с о ? ) 2 +

ф +

 

m s

_

( f l +

~)

(

ш з

= о

(28)

и продифференцировав это соотношение по

ш\ и ш\,

по­

лучим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ( а -

л) «в? +

(6 +

£')

<о»

= 0 ,

 

(29)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(& +

&') «•>? - 2 (а +

* ) и>»

- 0 .

 

 

Исключив х, получим уравнения экстремалей

 

 

(Ь + * ' ) К ) 2

— 4аш? ш| -(Ь

 

+Ь')(а>*)* =

0.

(30)

Исключив

же

 

 

найдем

уравнения

для

определения

экстремальных

значений

хе:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ x l - a 2

-

— (b +

b')2=0.

 

 

 

(31)

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

Дискриминанты

Д! и Д2

уравнений

(30)

и (31)

всегда

поло­

жительны:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д, = 4а 2

+ (Ь +

б')2 ; Д2

=

a2

-f- — (6 + б')2

(32)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

(случай 6 + й ' = а = 0 — изотропной конгруэнции у нас исклю­ чен). Поэтому уравнения (31) определяют два экстремальных

значения абсциссы горловых

точек — х е„

хе»

а уравнения

(30) — два подмногообразия,

для которых

эти

экстремумы

достигаются. Регулюсы, для которых абсциссы горловых то­ чек достигают экстремума, называются главными регулюсами

конгруэнции, а их горловые точки — граничными

точками

луча конгруэнции.

 

 

Аналогичное рассуждение приводит к тому, что параметр

распределения принимает экстремальные

значения

ре , оп­

ределяемые уравнением

 

 

~p\-r-(b'-Ь)ре—ЬЬ'-а*

= 0

 

(33)

для экстремалей,

определяемых уравнением

 

а К ) 2

4- (b + Ь') ш? ш» — а (ш32)? =

0.

(34)

Дискриминанты уравнений (33) и (34) также положительны. Поэтому уравнения (34) всегда определяют два подмногооб-

9. Заказ 6667.

129

разия, для которых р

достигает экстремума. Они

называются

распределительными

регул юсами конгруэнции.

Корни урав­

нения (33) являются параметрами распределения этих регу­

люсов и называются главными параметрами

распределения

конгруэнции. Из формулы (31) сразу

следует, что начало

лю­

бого репера, определенного фиксацией

(13), есть одна и та же

точка — середина

отрезка

между граничными

точками.

Она

называется центром луча

конгруэнции.

 

 

 

Из формулы (34) следует, что для первого канонического

репера (фиксация

(15))

регулюсы

coi3 (о2 3 =

0 («координат­

ные» подмногообразия)

являются

распределительными.

Из

формулы (32) заключаем, что для второго канонического ре­

пера координатные подмногообразия со3! ю2 3 =

0 суть

главные

регулюсы. Так

как

 

 

( f l t e s ^ o l l e , ,

 

 

(35)

 

 

( ^ 3 ) ш з

= 0

\\е2,

 

 

то векторы ех

и е2

для

всех

рассмотренных

в

§ 2

реперов

являются

горловыми

нормалями координатных

подмногооб­

разий ©г3

= 0 и со31 =

0 соответственно.

 

 

 

Этим завершается геометрическая характеристика пост­ роенных в § 2 реперов. К числу простейших подмногобразий конгруэнции следует отнести и торсы конгруэнции. Они оп­

ределяются уравнением р — О, т.

е. квадратным

уравнением

6'((«?)2 -2аш? ш| -

6(а>5)» = 0.

(36)

Исследование этих подмногообразий приводит к основным ассоциирующимися с конгруэнцией поверхностям, к рассмот­ рению которых мы и переходим.

§

4. Фокальные поверхности,

средняя

поверхность,

средняя

огибающая

Так как дискриминант уравнения (36)

 

 

\f=a*

+ bb'

(37)

может быть положительным, отрицательным или равным ну­ лю, то следует различать эти три случая.

Если А / > 0 ,

для данного

луча, то через этот луч проходит

два различных

торса. Такой

луч называется

гиперболическим

лучом (по аналогии с гиперболической точкой поверхности, через которую проходят две различные асимптотические ли­

нии). Если Af<iO, то

через луч не проходит

ни

одного

дей­

ствительного торса • (луч

называется

эллиптическим).

Если

\ f = 0, то оба торса

(36)

сливаются

в один

(луч

называется

параболическим).

 

 

 

 

 

 

130

Точки луча, принадлежащие горловым линиям проходя­ щих через него торсов, называются фокусами луча. Иными словами, фокусами луча конгруэнции являются фокусы про­ ходящих через этот луч торсов, принадлежащих конгруэнции (см. § 4, гл. 1). Гиперболический луч имеет, очевидно, два действительных фокуса, параболический луч — один, эллип­ тический— ни одного. Чтобы найти ф о к у с / ? = r - j - ре 3 , заме­ тим, что для него

то есть

 

 

 

 

 

dF\\e3,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ш1

-f- р и>1 = О,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

w» + p < o j = 0

 

 

 

 

(38)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(а —- р)

ш 3

- | -

feto3 =

О,

 

 

 

 

 

 

 

Ь'а\

-

(p +

a)m 2 3 = 0.

 

 

 

(39)

Исключая

из

(39)

р,

снова

 

получим

уравнения

торсов

(36),

а исключая

ш 3 : ш 3

,

придем

к

квадратному

уравнению

для

определения

фокусов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р2 -

а2

-

ЬЬ' = 0.

 

 

 

 

(40)

Итак, фокусами луча являются точки

 

 

 

 

 

 

 

Fx,2

= r±Va2

 

+

bb'e3.

 

 

 

 

(41)

Отсюда сразу следует, что центр

г

луча

является

се­

рединой отрезка между

фокусами для гиперболического

луча

 

 

 

 

 

Fi

4- F;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г =

—

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В случае

параболического

луча F\^

F2

эта

формула сохра­

няет смысл: оба фокуса совпали с центром. В случае эллипти­ ческого луча точки (41) — мнимые, но точку г по-прежнему можно считать (формально) серединой между ними. Поэтому центр луча конгруэнции есть аффинно-инвариантное понятие. Что же касается фокусов, то они даже проективно-инвари- антны, так как понятия торса и его фокуса — проективно-ин- вариантны.

Геометрические места

фокусов Fx и F2 ,

соответствующих

всем лучам

конгруэнции

(в

той

области,

где

они действи­

тельны и

где, конечно,

все

функции

удовлетворяют

всем

обычным

дифференциально-геометрическим

условиям),

суть

в общем случае поверхности, так как являются

годографами

вектор-функций двух переменных.

Эти

геометрические

мес­

та называют фокальными

поверхностями

конгруэнции

(хотя,

как мы увидим ниже, они могут вырождаться в линии и да­

же в точки). Их касательные

плоскости (если они существу­

ют) называются фокальными

плоскостями. Каждому гипер-

э*.

131

Смотрите также файлы