Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 153
Скачиваний: 1
болическому лучу соответствуют, вообще говоря, две фокаль ные плоскости, каждому параболическому лучу — одна.
Следующие |
три простые |
теоремы показывают |
важность |
|||||
фокальных элементов для изучения геометрического |
строения |
|||||||
конгруэнции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
1. В фокусе |
гиперболического |
луча все прохо- |
|||||
• дящие через «его регулюсы конгруэнции (кроме одного |
торса) |
|||||||
имеют общую касательную плоскость. |
|
|
|
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Нормаль |
регулюса |
(23) |
в |
точке |
|||
F — г + ре3 есть |
вектор |
|
|
|
|
|
|
|
«/II [dF, |
е3] = (со2 |
+ |
р©|) ех |
— (с»1 + pa>J) е2, |
|
(42) |
||
|
|
со3 |
: со| — \ х : Х2. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
Эта формула теряет смысл в силу (38) для того торса, ко
торый имеет точку F своим |
фокусом. Для |
остальных |
же |
|||||||||
регулюсов в силу |
(19) |
имеем |
|
|
|
|
|
|
||||
|
« / I I { Ь ' — (Р + a)w\] ех |
— {(а — р) of +&«>!} е,. |
( 4 3 ) |
|||||||||
Рассмотрим |
два различных |
регулюса |
вида (24): |
|
|
|
||||||
|
|
cof : со| = |
) м : Х2 , |
ш| : со?, = p.j: р,. |
|
|
|
|
||||
Их |
нормали |
совпадут, |
|
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(а — р) Xt - f Ьк2 |
_ |
{а — р) t*i -4- b\>2 |
|
|
|
|
||||
или |
|
b' X, — (а + |
р) Х2 |
|
b' Vi — (a + р) \>.2 |
|
|
|
||||
|
(ЬЬ' + а* - Р 2 )(Х2 |
щ - \ |
сц) = 0. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Но |
это равенство |
имеет |
место при |
любых |
Xf , р./ (/ = |
|
1,2) |
|||||
в силу (40). Теорема |
доказана. |
|
|
|
|
|
||||||
Т е о р е м а 2. Общая |
касательная |
плоскость |
подмногооб |
|||||||||
разий W\ в фокусе луча есть фокальная плоскость. |
|
|
|
|||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Нормаль |
фокальной |
поверхности |
|||||||||
(41) |
вычисляется так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n\\[(dF)ml |
= 0 |
, |
№ ю з = = 0 ] | 1 { с У ( р 2 + <7) + |
|
|
(44) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (р + a)(Pi + Р)} et - {(а -
где р! и р2 суть коэффициенты dp = р! cof
Р )(р2 + g ) - b { P l + p ) } е2,
из равенства + р 2 ю | .
Нетрудно видеть, |
что вектор |
п |
совпадает с вектором |
nf, |
|
так как последнее |
выражение |
в (44) получается из правой |
|||
части (43), если положить |
ш 3 : со| = — (р2 + q): (pj + р ) , |
а вы |
|||
ражение (43) имеет одно |
и то же значение при любом |
зна |
|||
чении отношения |
ш? : ш 3 . Теорема |
доказана. |
|
||
Т е о р е м а 3. |
Если все лучи конгруэнции — параболиче |
||||
ские, то она состоит из касательных к асимптотическим |
ли- |
||||
132
ниям (одного |
из двух семейств их) |
своей |
фокальной |
поверх |
||||||||||
ности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Отнесем |
конгруэнцию |
к |
первому |
||||||||
каноническому |
реперу. Тогда |
а = |
О и в |
силу |
(37) |
ЬЪ' = 0. |
||||||||
Пусть для определенности b = |
0. |
Тогда единственной |
фокаль |
|||||||||||
ной поверхностью будет поверхность, описываемая |
вершиной |
|||||||||||||
репера г = |
F. |
Для |
«ее |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
dtr |
= |
{dr)a\ |
= оЦ V е2 |
+ |
ре3, |
|
|
|
|||
|
|
d2 |
г = (dr)m\ |
= о ||eSl |
(d, г, |
rfar] |
И , . |
|
|
|
||||
Уравнение |
асимптотических линий |
поверхности |
R — F име |
|||||||||||
ет |
вид |
|
|
(d* г, |
dxrt |
d2r) |
= |
0, |
|
|
|
|
||
т. |
е. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
«>H/w>i + |
?°»f |
+ |
6 ' с о ? ) « |
0. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Касательные |
к асимптотическим |
линиям |
Wj = |
0 |
имеют на |
|||||||||
правление й^гЦез, т. е. являются лучами конгруэнции. Теоре ма доказана.
Из других поверхностей, естественно ассоциирующихся с конгруэнцией, отметим среднюю поверхность — геометри ческое место центров лучей:
R*~ г
исреднюю огибающую, т. е. огибающую плоскостей Р, про ходящих через центры лучей перпендикулярно лучам. Урав нение средней огибающей получается следующим образом.
Продифференцировав |
уравнение |
плоскости |
Р |
|||
(R |
- |
г, |
в„ е2) = 0 |
(45) |
||
при ш| = 0 и при wf = 0, |
получим |
|
||||
р + |
(/? — г, е,, |
е„) = 0, |
(45') |
|||
q + |
(R-r, |
е3, |
е1)=0. |
|||
|
||||||
Точка средней огибающей, соответствующая данному лучу, может быть задана радиус-вектором, удовлетворяющим урав нениями (45) и (45'):
/ ? 0 |
= г - /те, - qe2. |
(46) |
Последнее уравнение |
(которое можно также |
рассматривать |
как уравнение средней огибающей) дает хорошую геомет рическую характеристику величин р и q.
§ 5. Основные инварианты конгруэнции Я, К, П. Их геометрическое значение
Как известно (ч. 1, гл. 3, § 2), коэффициенты дериваци онных формул любого канонического репера геометрического образа дают полную систему его инвариантов, т. е. такую со-
133
вокупность инвариантов, задание которых определяет геомет рический образ с точностью до констант. Очевидно, выяснение геометрического значения всех инвариантов полной системы имеет большое значение.
Правда, когда возможен различный выбор хороших кано нических реперов, то мы имеем несколько различных полных систем инвариантов, и каждая из них представляет интерес. Все их можно характеризовать одним и тем же приемом, исследуя координатные подмногообразия (см. ниже, § 6). Од нако представляет собой интерес выделить простейшие инва рианты, которые характеризуют важнейшие свойства геомет рического образа. Часть из них может быть найдена путем исключения оставшихся вторичных форм из продолженных основных соотношений на том или ином этапе фиксации ре пера. В нашем случае из формул (14) легко найти, что
Ъ(Ь' — Ь) = 0,
|
|
' |
Ь {а? + ЬЬ') = 0 . |
|
|
|
Следовательно, |
величины |
Н = (Ь'—Ь) |
и |
К = — аг — ЬЬ' |
||
являются |
простейшими |
инвариантами конгруэнции. Первый |
||||
из них мы |
заметили и |
на |
предыдущем |
этапе |
фиксации: из |
|
формул (10) получилось соотношение (11), доказывающее инвариантность.
Другой метод получения простейших (и, очевидно, важ нейших) инвариантов сводится к составлению формул пере хода от канонического репера к полуканоническому. Отметим звездочкой векторы, формы и инварианты первого канони ческого репера и сохраним прежние обозначения для векто ров, инвариантов и форм полуканонического репера. Тогда имеем
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
|
г* |
= |
г, |
е\ |
= е 3 , |
ч |
= |
(ехе\), |
||
|
|
е{ |
= е\ |
cos |
ср + |
е*„ sin |
?, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(47) |
|
е, |
= |
— е\ |
sin ср ~ f |
е"„ cos ср, |
||||
причем, конечно, |
а* = 0 |
в |
силу |
|
(15). |
Дифференцируя (47) |
|||
и используя деривационные формулы обоих реперов, по лучаем
о)1 е\ + |
w 2 |
е\ |
+ |
OJ3 е\ |
= |
w 1 (е\ cos |
ср + |
е\ |
sin ср) + |
|
A e*i |
+ |
со2 |
(— |
е\ |
sin у + el |
cos |
ср) |
+ |
OJ3 е \ , |
|
+ |
°*1 е* = ш з |
(е% cos |
ср + е* sin ср) |
|||||||
|
|
|
о>5 (— е\ |
sin ср + |
е\ |
cos |
|
(48) |
||
|
|
+ |
ср), |
|||||||
134
(cof e*, + |
cof e*3) cos 9 4- ( Ц e* -f- со3 e*) sin 9 -f- (— e\ |
sin 9 4- |
||||
- f e\ |
cos cp)flf<p= 10 j (— e* cos |
cp + e*2 |
sin cp) 4- cof |
e\. |
||
В силу линейной независимости базисных |
векторов |
отсюда |
||||
получаем |
* |
|
|
# |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Wf = cof COS се — cof sin cp, |
cof = cof —flfcp, |
|
|||
* |
|
|
* |
|
|
|
со3 |
= |
cof sin cp 4- cof COS cp, со1 |
= со1 COS cp — w2 sin |
0, |
||
|
|
|
|
OJ2 = |
|
(49) |
со3 |
= |
со3, |
|
со1 sin cp.-f- со2 COS o. |
||
Внося в (49) |
значения форм |
Пфаффа из (19) и (20), |
полагая |
|||
|
|
d"? = ?i ш ? |
+ ( Ргш 2 |
|
(50) |
|
и учитывая линейную независимость базисных форм coi3, а»23 , получаем
ft* sin 9 = |
a cos |
cp — ft' sin cp, b*' cos cp |
= |
a |
sin 9 4- ft' cos 9, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(51) |
b* cos |
9 = |
6 cos |
9 4- a sin 9, |
— b* sin 9 = |
b sin 9 — a cos 9. |
||||
p = p* cos 9 4- <7* sin cs, |
h — h* cos cs |
4- |
|
sin 9 4- as,, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(52) |
q = <7* cos 9 — /»* sin 9, k — k* cos 9 — A* sin 9 -f- ?»• |
|||||||||
Формулы |
(51) |
дают |
возможность определить |
a, b и 6': |
|||||
|
|
a = |
- ! ( * * 4- ft*') sin 29, |
|
|
|
|||
|
|
ft = ft* cos2 cs — ft*' sin2 |
9 , |
|
|
|
|||
|
|
ft' = |
ft*'cos2 9 - ft* sin2 |
9. |
|
|
(53) |
||
|
|
|
|
|
|||||
Исключая |
ф из |
(52) |
и (53), немедленно находим три простей- |
||||||
ших инварианта конгруэнции: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Н = ft' - ft = ft*' - |
ft*, |
|
|
|
|||
|
|
K = |
- a 2 - f t f t ' |
= - f t * f t * ' , |
|
|
(54) |
||
|
|
П = /?2 4- </2 = |
/ 2 |
4- <7*2, |
|
|
|
||
два из которых мы отмечали выше.
Нетрудно определить геометрическое значение этих инва
риантов. Из уравнения (33) имеем: |
|
|
|
|
1-1 = Ре, +Ре„ К=ре1 |
ре>. |
(55) |
где ре, и pei |
суть экстремальные значения параметров |
рас |
|
пределения |
регулюсов, проходящих через |
данный луч. Исполь- |
|
135