Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 150
Скачиваний: 1
зуя аналогию с теорией поверхностей, инварианты Н и К на зывают соответственно средним и полным параметрами распределения конгруэнции. Учитывая, что уравнение Я = 0 характеризует 'нормальные конгруэнции (см. ниже, § 9), ин вариант Н называют также анормальностью. Третий инвари ант характеризуется при помощи уравнения (46):
П = |
(R0 - rf. |
(56) |
Он равен, следовательно, |
квадрату |
расстояния от центра лу |
ча до соответствующей точки средней огибающей. Учитывая
связь с конгруэнциями |
Гишара — Пето |
(см. ниже, § 20), |
назо |
||||||||
вем его инвариантом |
Гишара—Пето. |
|
|
|
|
|
|||||
Из формулы (41) вытекает еще одна геометрическая ха |
|||||||||||
рактеристика инварианта |
К: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
/С = |
- |
— |
lFA-F,\\ |
|
|
|
|
|
(57) |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, квадрат |
расстояния |
между |
фокусами |
равен |
|||||||
—4К. Так как в силу |
(31) расстояние между |
граничными точ |
|||||||||
ками G]и G2 равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
О, - G,\ |
= 2 |
у а 2 + |
- 1 |
(Ь + Ь'У , |
|
(58) |
||||
то |
| G, - |
Go | 2 - Я 2 |
- |
4К, |
|
|
(59) |
||||
|
|
|
|||||||||
что дает простую геометрическую характеристику |
инвариан |
||||||||||
та Н2—4 К, |
являющегося |
аналогом |
«эйлеровой |
разности» |
|||||||
(см. [8], 1, стр. 220), так как в силу |
(55) |
|
|
|
|||||||
|
И>-4К |
|
= |
(ре,-Ре,)г. |
|
|
|
|
|
(60) |
|
Обращение ее в нуль характеризует исключенный нами слу чай изотропной конгруэнции (см. § 1).
Формулы (55) — (60) могут быть использованы для вы числения инвариантов Я Д , П в любой системе координат: для этого достаточно вычислить координаты точки средней огибающей и фокусов (или граничных точек) исходя из их геометрического значения.
§ 6. Репер регулюса, принадлежащего конгруэнции. Геометрическое значение инвариантов подмногообразия ^Pi и инвариантов конгруэнции
Если в деривационных формулах полуканонического репе ра, т. е. в формулах (18), положить сог3 == 0 и обозначить
136
Юоо^ = 0 =ds, ( Л ) и з = о = щ,
(61)
(аЬ, - о = в, ( 6 \ з - о = Р, (/>Ь - о = к,
то получатся деривационные формулы канонического ре пера произвольного подмногообразия т. е. регулюса, принадлежащего конгруэнции
dr |
|
, |
о |
|
, |
тев3, |
de, |
= |
. |
е3 , |
|
|
|
|||||
— = яе, + ре |
2 + |
|
|
- у 1 |
чв2 |
+ |
|
|
|
|||||||||
ds |
|
|
|
|
|
|
|
|
ds |
|
|
|
|
|
|
(62) |
||
de, |
|
|
|
|
ае, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ds |
|
|
|
|
ds |
|
|
|
|
луча, е3 |
— орт |
|
|
|
||||
Здесь гесть радиус-вектор |
центра |
луча, |
||||||||||||||||
— орт горловой нормали |
регулюса |
|
(ср. § 3). |
|
|
|||||||||||||
Сравним |
формулы |
(62) с |
формулами |
|
|
|
|
|
||||||||||
^ - |
= |
-Ре* |
-ае\, |
|
^ |
|
|
= |
- |
Ье*3 |
+ |
е\, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
S |
|
* |
|
ds* |
|
|
2 i 3 > |
|
|
(63) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
de* |
|
|
|
de* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= be], |
|
e* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a 3 |
|
— 3 = - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
канонического |
|
репера |
|
регулюса |
|
|
(формулы |
(63) |
получены |
|||||||||
из формул |
(24) |
гл. |
1 |
заменой букв |
г, |
е,-, s |
на |
г*, |
е], s*). |
|||||||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e ' t ^ e t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(64) |
||
так как векторы |
репера |
подмногообразия |
|
имеют точно |
||||||||||||||
такое же значение, |
что и одинаково занумерованные |
векторы |
||||||||||||||||
канонического |
репера |
|
регулюса, |
|
построенного |
в |
§ |
1 гл. 1. |
||||||||||
А поэтому |
|
|
\ds\ |
= |
\det\ |
= |
\de\\^\ds'\. |
|
|
|
|
|
(65) |
|||||
Если положить |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
г + ze3, |
ds = ds*, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
г* = |
|
|
|
|
|
|
(66) |
|||||||||
то есть обозначить через z абсциссу горловой точки подмно гообразия W\ относительно полуканонического репера кон груэнции и согласовать направления отсчета дуг s и s*, то
получится: |
. |
, |
|
, „ |
|
|
, |
dz |
|
|
dr* |
= |
|
+ |
- zeY. |
||||||
— = |
- ре\ |
— ае3 |
а<?г 4- ре2 |
тге3 |
+ |
— е3 |
||||
ds |
|
|
|
|
|
|
|
ds |
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г = |
«, ? = |
- |
л « = |
- f |
l |
- 7 |
- |
|
(67) |
|
|
|
|
|
|
|
as |
|
|
|
Сравнивая |
остальные |
формулы |
из |
(62) и |
(63), получим еще |
|||||
|
|
|
|
•П = -Ь. |
|
|
|
|
(68) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
137 |
Отсюда вытекает |
следующее геометрическое |
истолкование |
|||||||||||||||||||||||
инвариантов |
подмногообразия |
Т 2 |
: |
|
относительно |
центра |
|||||||||||||||||||
|
а — есть |
абсцисса |
|
горловой |
точки |
||||||||||||||||||||
луча |
конгруэнции; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
[3 — есть |
взятый |
с |
обратным |
|
знаком |
параметр |
распреде |
|||||||||||||||||
ления; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
-q — есть |
взятая |
с |
обратным |
знаком |
косина |
распределе |
||||||||||||||||||
ния; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
инвариант |
т: = |
— а |
|
d a |
|
можно |
назвать |
„наклоном |
|
ли- |
||||||||||||||
|
|
ds |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
нии центров |
(т. е. |
геометрического |
места |
центров |
|
конгру |
|||||||||||||||||||
энции |
на |
лучах регулюса |
Wj) |
к |
лучу, |
так |
как |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
- |
( |
£ |
. . . |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
С |
каждым |
подмногообразием |
|
№•] = |
0 |
геометрически |
|
ин |
||||||||||||||||
вариантно связано другое подмногообразие, которое |
задает |
||||||||||||||||||||||||
ся |
уравнением |
со* = |
|
о. |
|
Так |
как (de3)ma |
= о = |
|
е2, |
|
то |
|
для |
|||||||||||
регулюса |
со3 = 0 горловой |
|
нормалью |
является |
вектор |
е>. |
|||||||||||||||||||
Таким |
образом, |
регулюсы |
|
со? = 0 |
|
и |
ш3 |
= |
0 |
образуют |
|
два |
|||||||||||||
семейства |
подмногообразий, |
характеризующиеся |
тем, |
|
что |
||||||||||||||||||||
два |
подмногообразия, |
проходящие |
через |
данный луч, |
име |
||||||||||||||||||||
ют |
ортогональные горловые |
нормали. На „сферической ин |
|||||||||||||||||||||||
дикатрисе" |
(ср. § 2 , |
|
гл. |
1), |
т. е. |
|
на поверхности |
|
|
|
(70) |
||||||||||||||
этим двум семействам |
|
R |
= |
е3, |
|
|
|
|
|
будет |
|
|
|
|
|||||||||||
подмногообразий |
соответство |
||||||||||||||||||||||||
вать |
ортогональная |
|
сеть |
сферических |
кривых, |
так |
|
как |
|||||||||||||||||
Поэтому |
совокупность |
|
подмногообразий |
|
со? = |
0 |
и |
со3 |
= 0 |
||||||||||||||||
называют |
также |
ортогональной |
|
|
сетью |
|
регулюсов |
|
конг |
||||||||||||||||
руэнции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Если |
положить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
( ш ? Ь |
= о = |
ds, |
|
( £ ) |
з = о = |
?ь ( a ) a = o |
= |
a , |
|
|
(71) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
( 6 ) ш з « о = 3 , |
|
( ( 7 ) ш з = о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
то |
из |
формул |
(18) |
получатся |
деривационные формулы |
|
для |
||||||||||||||||||
подмногообразия |
ю3 = 0, аналогичные |
формулам |
(62): |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
df |
|
|
|
|
|
, |
п |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— = — а е, + р ег |
+ |
ке3, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ds |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=-це1+ея, |
|
|
|
^ |
|
=-це2, |
|
|
|
|
|
|
(72) |
||||
|
|
|
|
|
|
ds |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
138
— е.,
ds
Сравнивая эти формулы с формулами (63) канонического репера регулюса, получаем:
е2 = |
е\ , е, |
= |
- |
в*2, |
еъ |
= |
е*3, |
| ds |
| = |
| ds* | |
(73) |
|
(знак минус |
появился вследствие |
того, |
что (егехеъ) |
= — 1, |
||||||||
а (е\ el е\) = |
I). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагая |
теперь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаем |
г* |
= |
г—ае3, |
|
ds* |
= |
ds, |
|
|
(74) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[i=p, |
|
тс = |
- |
а |
+ |
^ |
, |
г, = |
6. |
(75) |
|
|
|
|
|
|
|
|
as |
|
|
|
|
|
Для данного (фиксированного) луча все инварианты полука нонического (и любого канонического) репера имеют кон кретные числовые значения. Поэтому из формул (61), (71), (66), (67), (68), (74), (75) получается геометрическая харак теристика всех инвариантов полуканонического репера (в тер минах той ортогональной сети подмногообразий co3i • со32 = О, к которой отнесена конгруэнция), а также всех инвариантов конгруэнции (в терминах распределительных или главных регулюсов).
Например, в случае первого канонического (а = |
0) |
репера |
|||
имеем: — Ь и Ь' |
суть параметры распределения, — h |
и — k — |
|||
косины распределения, р |
и q — наклоны |
распределительных |
|||
регулюсов. Для |
второго |
канонического |
репера |
(b' |
= —b) |
инварианты имеют то же значение, но вместо распредели тельных поверхностей фигурируют главные. При этом 2 а равно расстоянию между горловыми точками главных поверх ностей (т. е. между граничными точками; ср. (58)).
§ 7. Вычислительные формулы для инвариантов подмногообразия 4*V Основные дифференциальные
формы конгруэнции
Обозначим |
фигурирующие в формулах |
(62) |
векторы |
г, |
et |
канонического |
репера подмногообразия |
буквами г* |
и |
st, |
|
а обозначения |
г, е, сохраним для векторов |
какого-нибудь |
|||
так или иначе фиксированного канонического репера. |
По |
||||
ложим |
|
|
|
|
|
|
Ь = ( е Д ) . |
|
|
(76) |
|
139
Тогда можно повторить выкладки (47) —(50), причем вмес то букв е ) , <р будут фигурировать г; и 9, а вместо форм ш/, т — соответствующие выражения из (62):
|
ш1 = |
ads, |
|
а)'- = |
fids, |
со3 |
= Ttds, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(77) |
|
со? = |
r,s, |
|
со3 |
= |
rfs, |
со.? — 0. |
|
Поэтому формулы |
(49) |
дадут |
|
|
|
|||
|
ds = |
u>J cos ft — со3, sin ft, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(78> |
откуда |
со3 sin ft + |
w | |
cos ft = |
0, |
||||
|
(ш3 )2 |
- f (ш3 )2 = |
ds\ |
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(79) |
|
cos ft = |
у) з |
|
sin ft = |
^ 3 |
|||
|
— , |
— . |
||||||
|
|
|
|
ds |
|
|
|
ds |
Далее, |
пользуясь (49) |
и |
(79), |
из (77) |
получаем |
|||
_ |
со'со3 -4- со2ш? |
_ а (со3 )2 + (Ь 4- Ь') со3со? — а (со|)2 |
||||||
|
шЧо3 + ш2вд3 |
|
|
(ю 3 ) 2 |
— 2awfco3 — b (to3,)2 |
|||
|
|
^ |
со3 |
/?со| -)- |
(^Ш? |
|||
Чтобы получить формулу для инварианта rh продиффе ренцируем последние две формулы из (79). Исключив затем sinft и cos ft, найдем
db |
= 4$d(4!l)-'!!ld(4!l\. |
yds/ |
(81) |
||
Поэтому |
ds |
\dsj |
ds |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ _ со2 — db |
_ Acof |
-f- Acujj |
_j_ cofafto3, — tojjfifcof |
(82) |
|
ds |
|
rfs |
|
ds3 |
|
Полученные вычислительные формулы показывают, что ин
варианты |
а, |
р, % зависят |
только |
от |
первых дифференциа |
|||
лов |
первичных |
параметров, а T J — о т |
вторых. Поэтому а, (3. тс |
|||||
называются |
инвариантами |
первого |
порядка, а ^ — инвариан |
|||||
том второго порядка. Запишем |
вычислительные |
формулы |
||||||
для |
a, (J, |
я |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
= |
|
. |
= 4 2 . |
(83> |
|
|
|
|
ср |
ср |
|
ср1 '^ |
|
140