Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

<р = К ) 2 +

(«!) 2 ,

ср,

=

а ( ш 3 ) 2

+

(b + А / ) 0

) з ш я

_

а

( 0 ) 3 ^

? 2 =

( « D 2

- 2 а а ) З ш з _ ь (

и ) з )

2 )

( 8 4 )

Ф = рш^ 4- ^шЗ.

Их

геометрическое

значение

ясно

из

(79) и (83), а

также

из

формул

(26) и (27)

§ 3. В том

же

параграфе мы

полу­

чили квадратичную

форму

Т з = (b + Ь') (ш?)2 - 4асо?о>| -

(А 4/ Ь') (со?,)2,

(85)

которых

достигает экстремума

отношение

ср, : ср. Экстрему­

мы отношения

формы

ср2: ? приводят

к распределительным

регулюсам cpj — 0. Проведя выкладки,

аналогичные

выклад­

кам

§ 3,

можно

показать,

что

экстремумы

отношения ср3: ср

дают

те

же

подмногообразия ср, = 0, а экстремумы

отноше­

ния

ср2: ср, дают

подмногообразия

ср4 =

|2а2 + b'{b

+ b')}

+ 2a(b-

*>»a>5

+

+ { 2 а 2

+ М £ + А ')Н<»1)2 ==0,

(86)

называемые

иногда

[38]

характеристическими

поверхно­

стями (регулюсами).

§ 8.

Основные

классы

подмногообразий l Fi.

Сети подмногообразий

Всякое соотношение между инвариантами канонического

репера подмногообразия Ч*^ определяет

некоторый

класс под­

многообразий. Одно

соотношение выделит

в общем

случае

класс подмногообразий

Wu

имеющихся в любой

конгруэнции.

Такое соотношение называют обычно натуральным

уравнением

подмногообразия. По

формулам

(82),

(83)

от

натурального

уравнения можно перейти

к дифференциальному

уравнению

сированный элемент

(в нашем случае — луч). Если

подмного­

образие W\ задано двумя или более натуральными

уравнения­

ми, то из соответствующих дифференциальных

уравнений

можно

исключить

со3 1: со32, что приведёт к соотношению

между

инвариантами конгруэнции, которые покажут, в каких

риантов а, р, я, ц. Уравнение

а =

0

(87)

«р, Е=а К ) 2

+ (b + 6')a)»(i)» — а(ш?)2

= 0

(88)

и сравнив его с (34),

заметим, что уравнение

(87)

определя­

ра распределения. Так как уравнение

(88)

второй

степени

относительно co3i : и 3 2, то через каждый

луч

в общем

случае

орией поверхностей в этом случае, так

ж е как и в других

аналогичных случаях, говорят о сети

подмногообразий.

Уравнение

Э = 0

(89)

ние

имеет вид

(36)

и было исследовано в § 4. Торсы в непа­

раболических конгруэнциях также образуют сеть.

Уравнение

т. = 0

характеризует

подмногообразия, для которых в силу (69)

dr

_\ ея, т. е.

линия

центров (линия пересечения подмного­

дифференциальное

уравнение

имеет

вид

Ф Е Е pa*

+ qu>* =

0

(90)

и показывает,

что

через

кгжтый луч проходит один

регу-

люс

и = 0.

Наконец,

уравнение

г 1 = = 0

(91)

определяет

цилиндроиды,

принадлежащие

конгруэнции,

так

как ч

есть

косина

распределения. В

силу

(82) дифференци­

рого порядка, откуда

следует, что через каждый луч проходит,

в общем случае, со1

цилиндроидов.

Коль скоро геометрическое значение всех инвариантов

ка­

нонического

репера

подмногообразия

W\ известно

(см. §

6),

то задание

любого

подмногообразия

посредством

натураль-

у] = const

(92)

ной

конгруэнции,

можно

задать

уравнением

~

+ * = 0,

(93)

as

так как для них обращается

в

нуль

инвариант

а (см. § 4,

гл. 1),

а он в силу

(67)

равен — я —

-* .

ds

Найдем еще натуральное уравнение главных регулюеов,

введенных в § 3. Если наше подмногообразие со32

= 0 является

главным регулюсом, то абсцисса а его горловой точки

должна

быть экстремальной

и определяться

по

формуле

(31):

. . _ { „ , +

( * + » : ) • !

.

,94)

Имея

в виду, что

V -ь

= н

Н — инвариант

где

конгруэнции

(ее

анормальность —

см. §

5, формулы

(54),

и

используя

(61),

получаем

а2

=

«2

+

j ( 2 p

— Н),

откуда

2? — Н = 0.

(95)

Это

и

есть натуральное

уравнение

главных

регулюеов, они

всегда

образуют

сеть.

Так же, как и в теории поверхностей, билинейные

формы,

ассоциированные

с

инвариантными

(хотя

бы

относительно)

В первом

каноническом

репере

(а = 0) формы

<?, <рь <р2,

ср3 и ср4 имеют вид

(см. 84), (85),

(86):

<? =

K ) 2 +

(u>»)2,

? 1 =

( 6 +

?г =

*' К ) 2 - * Ю 2 ,

?з =

(б + б ' ) { К ) 2 - Ю 2 } ,

<?4 =

(& + &')

1 * ' К ) 3

+ * Ю 2 } -

Исключая

случай изотропной

конгруэнции

+ 6' — 0),

гулюсов со?: со3, и ш?:ш|

конгруэнции, приравнивая

нулю

сответствующие билинейные

формы:

ш?со? -f- coijcojj =

0,

(а)

( О ? 0 ) |

-f- со?со§ =

0,

(6)

Й'ш?со? —

&OJ|CO| =

0,

(с)

C0?U>?

(О^(О3 =0,

(rf)

6'со?ш? +

6ш|ш|

=

0.

(с?)

лучить,

если

иметь в виду, что

вектор йеъ — —

(со?е,+ш3 е2 )

дает направление горловой нормали регулюса

со?:ш3 , а век­

торы

ft

— Vb'

+ Vb

е2 и / 2

= Vbl еу — УЪ

е2

имеют на­

правления нормалей к фокальным плоскостям

(это

следует

из теоремы

1

и формул (40), (41) и (43) при

а = 0;

ср. ни­

же,

§

12).

Обозначим

через

<ЬХ и ф2 углы,

образованные

ного

из

распределительных

регулюсов (именно

ш? =

0), а

через

& и Ь — углы

горловых

нормалей

регулюсов со?:со|

и в) 3

: ш |

с

той

же

нормалью.

Тогда условие (а) означает ортогональность горловых

нормалей

регулюсов OJ?:CO|

И

СО?: СО?,

^так

как в

этом

слу­

чае & — & =

- ^ - j ,

условие

(Ь) — их

симметричность

относи­

тельно горловых

нормалей

распределительных

регулюсов