Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

t g & . t g» = - t g 7 4 t g l условие (e) равенством

tg&.tgft = t g < M g f c ,

условие (d) равенством

tgft-tg» = 1.

Если перейти ко второму каноническому реперу (базис­ ные регулюсы <Dfioij = 0 — главные и b -f- V = 0, афО), то форма ср3 примет вид <р3 = — 2au>?со3, а условие (d) — вид

cofco3, + cojjcoj = 0. Поэтому условие (d) можно характеризо­ вать как условие симметричности относительно главных ре­ гулюсов.

Условие (с), возникшее из проективно-инвариантной формы ср2, имеет, естественно, и проективно-инвариантные характеристики. Опуская простые выкладки, заметим, что

имеют касательные плоскости, гармонически делящие фокаль­ ные плоскости. Имея в виду это свойство, будем называть два семейства регулюсов, удовлетворяющих условию (с), сопря­

сети, гармонически делят асимптотические направления). Ус­ ловие W = — 1 сохраняется и для эллиптических лучей, хотя, конечно, в этом случае фокальные элементы — мнимые. Со­ пряженные регулюсы называют также гармонически пересе­ кающимися (С. П. Фиников, [23], п. 158).

Имеется и другая интересная проективная характерис­ тика сопряженности подмногообразий конгруэнции. Рас­

торой касательная плоскость второго регулюса совпадает

скасательной плоскостью первого регулюса. Используя

Этот проективитет станет инволюцией (т. е. его двукрат­ ное повторение — тождеством), если наше соотношение не изменится при замене t <—у t*, т . е . если

Теперь мы переходим к систематическому рассмотрению основных классов конгруэнции. И в этом исследовании боль­ шую роль будут играть подмногообразия и их натуральные уравнения.

Естественно начать рассмотрение с тех конгруэнции, кото­ рые характеризуются обращением в нуль основных инвари­ антов, введенных в § 5. Конгруэнции

Я = 0

называются нормальными, так как они характеризуются на­ личием семейства поверхностей, ортогонально пересекающих все (в пределах, конечно, той области пространства, которая рассматривается и в которой, следовательно, выполнены все обычные дифференциально-геометрические условия) лучи конгруэнции. В самом деле, если поверхность

146

Чтобы уравнения (96) и (97) определяли поверхность, необ­

энции: главные регулюсы являются торсами. Это же заключе­ ние следует из того, что натуральное уравнение (95) при Я = 0 совпадает с натуральным уравнением торсов (89). Из (84) и

что нормальную конгруэнцию можно характеризовать совпа­ дением условий (с) и (d) или условий (а) и (е).

Сравнивая формулы (31) и (40) при условии (99), полу­ чаем еще одно характеристическое свойство нормальной кон­ груэнции: фокусы луча совпадают с граничными точками. Следовательно, в нормальной конгруэнции все лучи — гипер­ болические.

Многие другие свойства нормальной конгруэнции известны из теории поверхностей, так как нормальная конгруэнция представляет собой совокупность нормалей секущей поверх­ ности, а фокальные поверхности — эволюты этой поверхности. Например, очевидно, что торсы нормальной конгруэнции высе­ кают на секущих поверхностях сети линий кривизны.

Вычислив при помощи формулы (43) скалярное произве­ дение векторов нормалей пи п2 двух фокальных поверхно­ стей в точках одного и того же луча, получим

откуда следует еще одно характеристическое свойство нор­ мальной конгруэнции: перпендикулярность фокальных поверх­ ностей.

Отсюда следует, что торсы нормальной конгруэнции оги­ бают на ее фокальных поверхностях геодезические линии, так как касательная плоскость одной фокальной поверхности про­ ходит через нормаль другой и является соприкасающейся плоскостью ребра возврата торса, касающегося этой другой поверхности (см. § 4).

Чтобы определить произвол существования нормальных конгруэнции, достаточно к системе (22) присоединить соот­ ношения (99) и а—0 (показывающее, что избран первый

канонический репер). Тогда последние два уравнения системы (22) дают уравнение Пфаффа

Этот результат легко объясним геометрически: всякую нор­ мальную конгруэнцию можно рассматривать как совокуп­ ность нормалей некоторой поверхности, а совокупность норма­ лей любой поверхности образует нормальную конгруэнцию; следовательно, произвол существования поверхности (одна функция двух аргументов, ибо всякую поверхность локально можно задать уравнением вида г — f (х, у)) должен совпа­ дать с произволом существования нормальной конгруэнции.

Обращение в нуль основного инварианта П для действи­ тельных конгруэнции дает p = q = 0; тогда из (22) сразу следует b — Ь' = 0. Этот частный случай нормальной конгру­ энции мы изучим позднее, в § 20.

торсов, а следовательно и обе фокальные поверхности в пара­ болической конгруэнции совпадают. Из формул (61) сразу следует, что торс является одной из распределительных по­ верхностей. Изучение параболической конгруэнции сводится, по-существу, к изучению фокальной поверхности, так как лучи такой конгруэнции являются касательными к асимптотичес-

148

кими. Теперь покажем, что, наоборот, совокупность каса­

149