Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

лучается, если взять совокупность всех поверхностей

(не тор­

сов) и на

каждой из них рассмотреть

совокупность

асимпто­

тических

касательных. Уже отсюда

следует, что

произвол

образия ю3 2

= 0. Тогда

в терминах § 6 имеем

или в СИЛУ

р = а = О

(67)

Р = о, - + ^а

= о.

as

Переходя к

терминам

полуканонического репера,

получаем

Ъ' = 0,

или

Ь' -= 0,

da = —рш\

+ а ^ ,

(Ю1)

ношения в (22),

прежде

всего

получаем

p = ak — —bh.

(102)

Присоединение

уравнений

(101)

и их

замыкания вместе

со

(102)

к системе

(22) приводит к стандартной системе 2 четы­

рех

внешних квадратичных уравнений

на пять

функций:

k,

h, q,

b, a2. Следовательно,

конгруэнции

с одной

вырожденной

пучок,

то

надо

добавите

требование Ь =

0, т. е. в

силу

(67)

г) = 0

или

в

терминах

полуканонического

репера

h=0.

Останется стандартная система, состоящая из четырех

квадратичных

уравнений, причем

тз =

0.

Поэтому

конгруэн­

ция, расслаивающаяся

на

оо 1

плоских

пучков,

определится

с произволом четырех функций одного аргумента: две функ­

ции пойдут

на

задание

произвольной

кривой

(описываемой

центром

пучка

и

являющейся

вырожденной

фокальной

по­

верхностью)

и

две — на

задание

плоскости пучка

(т. е. нор­

мального

ей орта)

в каждой точке.

Если же потребовать, чтобы обе фокальные

поверхности

вырождались в кривые, т. е. оба

семейства

торсов

состояли

из конусов,

то

к условиям

(101),

(102)

надо

присоединить

условие

где

rf*2|»=o

=

0,

(104)

z2 = г — aez

(105)

И

& =

2ам? + Ьш3.

(106)

Требование

(104)

дает

aa2

= aq+

— b'2h — abk.

(107)

Присоединяя

(107)

к

системе

2,

получим, что

конгруэнции

с двумя

вырожденными

фокальными

поверхностями

тоже

получающимися из

(22) при а = 0.

Распределительные по­

верхности задаются

уравнениями

o)J.o;=0,

(108

а главные — уравнениями

( с о ? ) 2 - ( c b . f f - 0 .

(109)

Граничные

точки

61,2 = г + gi,2e3

определяются

из соотно­

шения

(31)

gt

= ^(b

+ b'),

g i

= -L(b

+ b'),

(по)

а фокусы

Fi, 2

=

г

+

Р 1 , 2 в 3

— из

соотношений

(41)

Так

как

Р,

= Vb~b\

( I l l )

dFc

=

d(r

+ Ple3)

( Ь | .

р,я>3 )

<?,

- f

(112)

4- (&'u>? -

Р ,ш|) е2

+

(u)3

+

dp.) е3,

1 = 1 , 2 ,

то d/*11| е3

при

й л | — ргш3

= 0 ,

(113)

Ъ'и>\ -р( .со3 = 0.

Следовательно,

является

горловой

точкой

(фокусом)

торса

co|:cof = P l : b =

j

/

* .

'

,

(11

a F2

— фокусом

торса

Таким

образом,

торсы (114)

касаются

фокальной

поверхно­

сти /? = Д ,

а торсы

(115) — фокальной

поверхности

R—F2.

Огибаемое

торсами (114)

семейство линий

(П6)

первой фокальной поверхности Тесно связано с нашей кон­

груэнцией: лу^й

конгруэнции

ЯВЛ'ЯКУГСЯ касательными

к ли­

ниям (116). Оно о-предёл'йет

ни

поверхности

Fx

некоторый

полуканонический

репер,

состоящий

из

точки

Рх,

орта

Ех *± е ь

орта

нормали

Е3

и

opf а

Е2

— \Ё$ЕХ

] . Запишем де­

ривационные формулы

этого репера в виде

dFx

.=

& E J

t

dEj

— 2" Ek,

(117)

Q } 4 - 2 j [ = 0, 2 3

= 0

каноническому реперу

{г, е,} конгруэнции. Заметим, что

вектор

Е3 в

силу

(112)

параллелен

вектору

[«в,

да)ш1=0]1|Р1е1

+ ^2 -

(118)

Отсюда

для

угла

ср, от

нормали первой фокальной

поверх­

сти и, = 0 в центре

луча имеем

ср, =

(Ез\в*>, ctg-ч», =* 6 : р,-

(119)

те

tp; фО,

Ср. Ф

,

Sin

• COS (ft Ф О

и, конечно,

р; Ф 0

(ё =

1,2).

Формулы перехода

можно искать в виде

Р\ = г + рхе3,

Ех

= еъ,

Е2 = е{

cos ср i

— е2

sin ср,,

£ 3

= е,

sin ср,

+

g2cos ср,.

(120)

Проведя

выкладки,

аналогичные

выполненным

в § 5,

по­

лучим

2 1 =

ш3

+

ф , ,

2 2

=

-

К

cos

-

о)? sin с р , ) ,

cos ср, sin

ср,

2 3

=

0,

2f

=

- с о ?

cos

ср, +

со3 sin ср„

(121)

2? =

— со| cos

ср,

— со3

sin ср,,

23 , = со2 —

d=p,.

Совершенно

аналогично

для

второй

фокальной поверхно­

сти R — F2

получим

деривационные

формулы

dF,

= 2< Е],

dE\ =

&, Ej-,

(122)

Qi +

U>j=0,

2 3

=

0

и формулы

перехода

F2

= r + р г е 3 ,

El = е3,

(123)

= в, cos ср2

е2 sin с р 2 ,

El

— ех

sin ср 2

ег

cos с р 2 ,

£ 2

—

+

где

(Е\А

е2)

(124)

и

ср2 =

ctg ср3 =

h : 6'.

(125)