Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

Вместо

формул

(121)

получим:

И1 =

со?

4-

dp,,,

11- =

cos

=

COS cs2 — w i s i n

?').

ср, sin ср2

J28

=

0,

2?

= — o)?cos<p2

+

u)2 since,,

(126)

2?

=

— ш?, COS cp, — or3 Sin cp,,

ii*

= 0)j — cfip,.

В силу

(111),

(119)

и

(125)

имеем

Pa =

— Pl,

<?2 = — ? i -

( 1 2 7 )

?,

> 0 ,

Р Г > 0 .

(128)

Обозначив теперь

будем иметь

<Pi =

<F,

Pi =

P,

(129)

? 2

=

— <Р.

Р« =

—Р.

(130)

т. е. расстояние между фокусами

будет

равно

\Fl-F2\

= 2P,

(131)

а угол между

фокальными плоскостями

равен

(Е\,Е\)

= 2у.

(132)

Заметим еще, что в силу (110) расстояние

между гранич­

ными точками

равно

1 С - < ? я | = 2 £ =

|& +

& ' | ,

(133)

а в силу

(119)

и (125)

имеем

Введем

обозначения:

2sm cp-cos ср

и>? cos

ср — ш\ sin ср =

и,

(135)

со| cos

9 -f- u)J sin

y —

v.

Формы и и v линейно независимы, так как

[u, v] --= (со| co3]-2cos cp-sin 'f Ф

0.

В силу (121)

и (126) имеем

Q* = 2gu,

Q3=-v,

(136)

& = 2gv,

£>З = _ Й .

Дифференцируя

внешним

образом

соотношение Q3 = О, по­

лучаем

[Q?Q4-f-lQijQ2 ]

= 0 ,

(137)

откуда по лемме

Картана следует

2gQ?> = Au +

Bv,

&=Bu

+ Cv.

(138)

Коэффициенты А, В, С имеют в

силу (121), (135)

и (136)

следующие

значения:

2g

А =

5 — {(£ — 9 О sin <f— {h — ?i)c ° s <?},

sin2cp

5 =

— ^ — { ( A

— ? i ) s l n e - r - ( A - ?

)cos?) =

(139)

sin2cp

1

{ ( ?

+

рг) sin cp —

(/7 - f p i )

cos «},

sin 2<p

1

\{q

+

Рг) sin 9 +

(p - f pj) cos <?,

sin 2<p

где величины

p2, pi, 91 и 92 взяты

из выражений

dco =

cpi со? +

cp2

o>3,

Ф = piU) ? +

p 2 < » 2 '

(140)

и могут быть

вычислены

при помощи соотношений

P=VbF,

, 9 =

a r c t g | / | ,

(141)

причем

значения

Л*,

В*,

С* могут быть получены

из (139)

заменой

9 и р на

— ср и

— Р . Таким образом, при

изучении

фокальных

поверхностей

полная

система инвариантов Ь,

Ь',

h, k, р,

q

заменяется

системой

инвариантов Л, В,

Л*,

В*г

С, С*, р, <р по только

что полученным формулам.

/,

=

(dF,)2

=

( 2 1 ) 2

+

( 2 2 ) 2 =

(Ag* + В2)

и 2

+

2Buv

+

C2v2,

/,

=

(dF2)2

=

(4g2

4- В*')

v2

+ 2B*C*uv

+

С*°и2,

(143)

//,

=

-

{dFu

dEa)

=

2<2f +

^ ) 2 ^1 =

Ли2 -

Cv2,

JI2

=

-

(dF2,

dEl)

=

Л*-У2 -

С*ия

и их

полных

кривизн:

А

А*

Наконец,

уравнения

линий

кривизны

примут вид

АВи2

+ (4g2

+ В2 + AC)uv

+ BCv2

= 0

(145)

для первой фокальной поверхности и

Л*В*<и2-f ( 4 £ 2

+

fl*'

+Л*С*)и<и +

5*С*и2 =

0

(146)

— для

второй.

Заметим

еще,

что

так

как

дискриминанты

первых

квадратичных

форм

равны

соответственно 4g"2C2

и 4g2 C*s ,

то

для

конгруэнции с невырожденными

фокаль­

ными

поверхностями

мы должны

предполагать

СС*фО.

(147)

§

13.

Псевдосферические

конгруэнции

Рассмотрим такие конгруэнции, у которых канонический

репер

первого

рода

неизменно

связан

(в том же смысле, что

и в § 6 гл. 1) с построенными

в предыдущем

параграфе полу­

и

(130) указанная связь реперов может быть

характеризова­

на

соотношениями

р = const, ф = const,

(148)

g =

const,

(149)

т. е. и

расстояние

между

рр'аничными

точками

постоянно.

Гиперболическая

конгруэнция,

характеризуемая

неизменной

связью

ее канонического репера с полуканоническими

репера­

ми фокальных поверхностей, получила название

псевдосфери­

ческой,

что оправдывается

следующей

теоремой.

Т е о р е м а

1.

Псевдосферическая

конгруэнция

характе­

ризуется тем, что обе ее фокальные

поверхности

имеют

оди­

наковую постоянную отрицательную

кривизну

(т. е. являются

псевдосферическими), равную— - — .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

для конгруэнции

выполнены

соотношения

(149), то

? 1 = ? 2 = Pi = 92 = 0.

Тогда

из (139) с учетом

правила получения

Л*, В*, С* из

А, В, С заменой

< р и р н а — « и — р

получаем

С* = В=^Л*,

Л = В* = С,

(150)

откуда в силу (144) и (149)

следует

/(,=#•> =

L = const.

(151)

Если, наоборот, дано (151),

то из (144) следует

Л = С ,

Л* = С*,

(152)

я из (134) получается

dp = g-d(sin2<?) = 2gcos2<pdcp.

(153)

С другой стороны, из (121), (126), (129),

(130) и (138) и (142)

вытекает

2dp = (В-С*)и

+

(C-B*)v,

(154)

4gdy

= (В* — Л) и + (Л* -

В) v.

Поэтому (153) дает

(В -

Л*) и + (Л -

В*) v = cos 29 {(В* — А) и + (А* — В) v}.

(155)

Так

как для

гиперболической

конгруэнции

sin2<»=£0,

то в

силу

линейной

независимости

форм

и и v

отсюда

следует

В — Л* = Л* — В = 0 и dp = dtp = 0.

Следовательно,

конг­

руэнция (151) — псевдосферическая. Теорема

доказана.

важные

свойства рассматриваемых

конгруэнции,

наличие

каждого

из которых свидетельствует

о принадлежности псев­

досферических конгруэнции к тому или иному

более

общему

классу.

Т е о р е м а 2. Асимптотические линии на фокальных по­

верхностях псевдосферической

конгруэнции

соответствуют

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из теории

поверхностей известно^

что дифференциальное

уравнение

асимптотических линий

ной дифференциальной формы. Обращаясь к формулам

(143),

находим, что при наличии соотношений

(152) уравнения

асим­

птотических линий на обеих фокальных поверхностях

имеют

один и тот же вид

(и + •£>) (и — v) = О,

так как А А* = СС* Ф 0 в силу (147).

С л е д с т в и е . Распределительные

регулюсы псевдосфе­

ных регулюсов

в

первом

каноническом

репере

имеет вид

(co3 i)2 — (со3 2)2

= 0, т. е. определяет

на

фокальных

поверхно­

стях сопряженные

сети.

Т е о р е м а

3.

Линии

кривизны

на

фокальных

поверхно­

стях конгруэнции

соответствуют.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Внося

(150)

в (146),

получаем

(145); следовательно, уравнения линий

кривизны

обеих фо­

В самом

деле,

из (141)

для псевдосферической конгруэнции

следует:

Ь --= Kpctg ср =

const,

b' = "j/ptg ср = consf,

(156)

откуда в

силу

основных уравнений (22)

при а = 0

имеем

т. е.

p = -2(b + b')h,

q = 2(b +

b')k,

Р- = const,

— = const.

(157)

h

k