Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

Следовательно, распределительные регулюсы псевдосфери­ ческой конгруэнции принадлежат классу регулюеов с постоян­ ными параметром распределения и отношением наклона к ко­ сине.

Присоединяя соотношения (156), (157) к основной системе (22) (при а = 0), мы замечаем, что она сводится к двум внешним квадратичным уравнениям:

Отсюда следует, что произвол существования псевдосфериче­ ских конгруэнции составляет две функции одного аргумента, т. е. равен произволу существования псевдосферической по­ верхности. Это обстоятельство наводит на мысль, что, задав произвольную псевдосферическую поверхность и семейство линий на ней и проведя к этим линиям касательные, мы по­ лучим произвольную псевдосферическую конгруэнцию, а в ка­ честве второй фокальной поверхности получим новую псевдо­ сферическую поверхность той же кривизны, что и исходная. Такое преобразование псевдосферических поверхностей было подробно изучено Бэклундом (см. [29], гл. 17).

§ 14. Конгруэнции Биаики

Рассмотренные в предыдущем параграфе псевдосферические конгруэнции представляют собой весьма частный класс конгруэнции, обладающих рядом интересных свойств. Мы ви­ дели, что изучение этих конгруэнции тесно связано с изучени­ ем весьма важного класса псевдосферических поверхностей. Естественно ожидать, что ослабление условий (150), харак­ теризующих псевдосферические конгруэнции, приведет к но­ вым интересным классам конгруэнции и поверхностей.

Начнем с конгруэнции

159

анки состоит из четырех внешних квадратичных дифференци­

конгруэнции Бианки в силу (163) и (165) характеризуется уравнениями:

распределения второго распределительного регулюса. Отсюда

§ 15. Конгруэнции W

Если еще более ослабить условия (160), то возникнет класс конгруэнции

Для этих конгруэнции сохраняется только одно свойство псевдосферических конгруэнции: асимптотические линии на обеих фокальных поверхностях высекаются одними и теми же регулюсами. В самом деле, из (143) следует, что при условии (171) вторые квадратичные формы фокальных по­ верхностей обращаются в нуль одновременно. Часто говорят просто: на фокальных поверхностях асимптотические соответ­ ствуют. Это свойство характеризует рассматриваемый класс конгруэнции и обычно принимается за определение: конгру­ энция W есть такая конгруэнция, на фокальных поверхностях которой асимптотические линии соответствуют.

Так как свойство это проективное (ибо асимптотические линии характеризуются проективно инвариантно), то изучение конгруэнции W производится обычно в проективно-дифферен-

циальной геометрии, где легко доказывается, что произвол существования этих конгруэнции составляет одну функцию двух аргументов. Мы здесь отметим лишь некоторые простые метрические их свойства.

Прежде всего заметим, что произведение главных кривизн фокальных поверхностей в фокусах одного и того же луча

4 ?

как это сразу следует из (144). Условие (172) также является для конгруэнции W характеристическим.

Название «конгруэнции W» возникло так: поверхности, главные радиусы кривизны которых связаны функциональной зависимостью, издавна называли поверхностями Вейнгартена ([8], 1, § 20) или поверхностями W. Оказалось, что на эво­ лютах (так называются геометрические места центров кри­ визн) таких поверхностей асимптотические линии соответст­ вуют по нормалям исходной поверхности. Наши формулы дают возможность убедиться в этом следующим образом. Рассмотрим произвольную нормальную конгруэнцию (см. § 9 ) . Для нее Ъ' — Ъ, а произвольная ортогональная лучам поверх­ ность имеет уравнение (96), где

162