Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

(139) дают ^так как 2ср = — , p = f c j :

А = bVU(K-h),

А* = ЬУ2(к

-4- «),

С = V2(p + q + bh-bK),

(179)

С* = 1/2 (q~p

— bh — Ьк),

В* — С,

C* = S.

(180)

В силу

формул

(139) при

2ср ф 0, тс условия

(180) равно­

сильны

условиям

pi = р2 = 0, т . е . р = const. Следовательно,

ризовать постоянством

полного

параметра распределения:

К = const ф 0.

(181)

Оказывается, что эти конгруэнции можно

получить так же,

как и псевдосферические,

требуя

наличия

неизменной связи

исходить

не

из

канонического

репера

первого

рода

(как

в § 13), а из полуканонического

репера

конгруэнции. Именно

потребуем, чтобы полуканонический

репер {г, е } конгруэнции

(см. формулы

(18) — (22)) был неизменно связан с полукано­

ническим

репером

{F, Е } первой*)

фокальной

поверхности

(см. §

12), т. е. чтобы имели место

формулы перехода

вида

(120)

с pi = const

и ф] =

const. Так как в

силу

(41) и

(54)

9 х = УаГ-\-ЬЬ'

=V~K\

(182)

то указанная

неизменная

связь

возможна

только для

конг-

*) Р а з у м е е т с я

в к а ч е с т в е «первой» м о ж н о

р а с с м а т р и в а т ь

л ю б у ю

из д в у х

ф о к а л ь н ы х п о в е р х н о с т е й к о н г р у э н ц и и .

п*

163

руэнций К = const. Для

определения cpt

= (Ез, ег)

из (43)

получается аналогичная

(118) формула

£ 3 I I [в3 , ( d ^ L j . o I Н (а + У ^ ) * ,

+ Ьеъ

(183)

откуда

Ь =

(р, +

a) ctg«pl t

(185)

р! =

const,

cpj =

const.

Из (184)

имеем

* - ( p 1 + a ) c t g c P l ,

V =

(р' -

a) tg?

l f

(186)

откуда

при pt

= const

и <pt

= const

следует

db =

da-ctg<?u

db'=

— da-tgft.

(187)

Внося

эти соотношения

в (22), получаем:

[dh,

СО»] +

СО»] = (— Л2 — А2 —

1) [cof

[а>,

( в ? ]

+

[rftf, о)|] =(b'

— b—ph — qk)[u>l<al],

(188)

[da,

a>?] + ctg

">!] =

{ ^ - 2 а А - А ( 6 + 6 ' ) > К « » 1 ] .

(6 - f b') ( * t g < p - f A ) - a t g

2a (Atg

=

Найдя /?

из последнего

уравнения

и подставив его во вто­

рое, мы получим стандартную систему трех

внешних

квад­

ратичных

уравнений

относительно

четырех

функций

h, k,

q,

а.

Следовательно,

конгруэнции

К=

const

определяются

с

произволом

в

одну

функцию

двух

аргументов.

Следует

иметь в виду, что наши построения

имеют смысл

только

для

гиперболических

конгруэнции К < 0, если мы

хотим

(186) при

помощи

формул

§ 6 получаются

натуральные

уравнения

подмногообразий,

к которым надо отнести конг­

руэнцию К = const,

чтобы получить

указанную

выше неиз­

менную связь реперов:

u > ! = 0 :

P = ( p i - « ) t g ? „

(189)

а)? = 0 :

Р =

I * + Pi) ctg 9i,

разий

(189). Если одно из подмногообразий (189) есть торс,

то полуканонические

реперы {г, et] и {Fu £,} параллельны:

tg ср, =

0 или ctg ср, =

0.

ЫУ = 0

(190)

В = В* — 0.

(191)

km? 4- — /?со? =

ctgcp-afcp,

Ь' '

(193 )

ь

v

=

р~! • dp.

[йк, со]] +

— [dh,

о)?] = Р,

К ш?],

6'

(194)

b'[dq, cof]

6[d/>,

+

ш 3 ] = Р 2 [ о з ] ш З ]

(значения коэффициентов Л

и Я2 Для

краткости

не выписы­

ваем).

Уравнения

(194)

вместе

с

первыми

двумя

уравнениями

системы (22)

определяют конгруэнцию

Гишара с

произволом

стандартную

систему

с тз = 0.

Отметим еще одно свойство конгруэнции Гишара, связанное

с некоторым (на первый взгляд

искусственным)

построен"—'

Рассмотрим

пару

поверхностей

5

и S,

определяемых

урав­

нениями

r

— r(u,v),

q =

q(u,v).

(195)

Если в

каждой точке

поверхности

5

провести

луч,

парал­

лельный

нормали,

восстановленной

в соответствующей

точке

для конгруэнции х и, кроме того, для каждой

пары соответ­

ствующих точек и соответствующих направлений

поверхнос­

тей S и S' будет

иметь

место

условие ортогональности

(dr,dq)

= 0,

(196)

то будем

называть поверхность

5'

ортобазой

конгруэнции

х

(в литературе S называют также образующей

поверхностью

для к). Рассмотрим задачу о

нахождении ортобазы данной

конгруэнции х. Дело сводится к нахождению

вектор-функции

ц из условий

(dr,

dq)

=

0,

(197)

{dq, е3) =

0,

Откуда,

считая,

что

конгруэнция

х отнесена

к

первому

ка­

ноническому реперу,

получаем

Положив

dq

II со2

ег

-

со1 е.,.

(198)

dq

= ).(со2 е,

-

о>1 е2),

(199)

D (Ы2 ех — Хш1 е2) = 0.

(200)

(201)

[cf In X, ш1] =

— q [ю3 ш?,].

Отсюда имеем

d\n\=-9-<a\-!Lm*

(202)

b

b'

q = j l ( ^ i e i -ш1е2),

(204)

I ,

=

(rf<7)a =

>.46'>?)2 +

& > 2 ) ' | ,

(205)

I I ,

=

-

(dq,

dez)

= Х ( 6 ' ( « . ? ) 2 -

6(ш 3 ) 2 ] .

Для линий кривизны

ортобазы

получим

уравнение

Отсюда получается

ш? . т 3

= 0 .

(206)

Т е о р е м а

1.

Торсам

и распределительным регулюсам

конгруэнции

Гишара

соответствуют

асимптотические линии

и линии кривизны

ортобазы.