Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 137
Скачиваний: 1
(именно — торсами). Естественно поставить вопрос о сущест вовании других конгруэнции, обладающих свойством соот ветствия линий кривизны фокальных поверхностей. Из фор мул (145) — (146) следует, что для таких конгруэнции долж но быть
|
АВ |
ВС |
|
4g2 |
+ В- + |
АС |
ВВ* ф 0. |
(207) |
|||
|
В* С* |
А*В* |
|
4g* + B* |
+ Л * С * |
|
|
|
|||
Отсюда, прежде "всего, следует, |
что |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
ЛЛ* = |
СС*, |
|
|
|
(208) |
||
т. е. |
искомые |
конгруэнции |
принадлежат |
классу |
конгруэн |
||||||
ции W (см. § 15). Кроме того, имеем |
|
|
|
||||||||
или |
В*С* (4g2 |
+ В2 |
+ |
АС) = |
АВ (4g2 |
+ 5*а |
+ Л*С*) |
|
(209) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4g2 |
{В*С* - В А) + |
^ |
(ЛЛ* - |
ВВ*) |
(В*С - |
А*В) = |
0. |
(210) |
|||
Подробное исследование показывает, что в общем случае соотношения (208) и (210) приводят (так же, как и соотно шения В = В* — 0 в § 17) к двум квадратичным уравнениям относительно функций р, q, k, h. Получается стандартная система с х3 = 0, и общее решение задачи зависит от четы рех произвольных функций одного аргумента. Представляет интерес частное решение:
В*С* |
— ВА = В*С — А*В |
= 0. |
(211) |
Вместо с (208) это дает |
|
|
|
Л* = еС, |
С* = еЛ, В*=еВ, |
е = + 1. |
(212) |
Конгруэнции, определенные соотношениями (212), называют ся конгруэнциями Тибо. Они характеризуются геометрически тем, что обе их фокальные поверхности — минимальные (т. е. имеют нулевую среднюю кривизну), а линии кривизны на них соответствуют.
В самом деле, из формул (143) получаются следующие условия обращения в нуль средних кривизн фокальных поверхностей:
(4g2 + В2)С |
— С2 |
А = 0, |
(213) |
|
С*'. А* — С* (4g2 |
- f В*') = |
|||
0. |
||||
Отсюда имеем |
|
|
|
|
4g2 + B2 = AC, |
4g2 + B**=A*C* |
(214) |
||
168
(случай вырождения фокальных поверхностей С - С*=0, ра
зумеется, |
исключен). |
|
|
|
|
|
|
|
Внося |
(214) в |
(207) и |
(208), получаем в точности |
условия |
||||
(212). Наоборот, из (139) |
и |
(212) |
получаются |
условия |
(214). |
|||
В заключение |
заметим, |
что в |
силу (214), |
(212) |
и |
(143) |
||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 2 |
= ^ / „ |
|
|
|
(215) |
|
откуда следует, что одна фокальная поверхность конгруэнции Тибо отображается ее лучами на другую фокальную поверх ность конформно.
§ 19. Конгруэнции Рибокура
Теперь рассмотрим конгруэнции, обладающие другим свойстом конгруэнции Гишара: наличием ортобазы. Повторяя рассуждения, проведенные в § 7, заметим, что все конгруэн ции, имеющие ортобазу, характеризуются условием
|
D ( i w ? |
+ 7 ' ш | : ) = 0 - |
( 2 1 6 ) |
||
Эти конгруэнции |
называются |
конгруэнциями |
Рибокура. При |
||
соединив условие |
(216) к системе (22) |
при а = |
0, мы получим |
||
стандартную квадратичную |
|
систему |
из пяти |
уравнений на |
|
шесть функций b, |
b', h, k, |
q, |
р. Следовательно, совокупность |
||
всех конгруэнции Рибокура зависит от одной функции двух аргументов. Поэтому можно ожидать, что если взять произ вольную поверхность, то всегда удается построить конгруэн цию Рибокура, для которой эта поверхность будет являться ортобазой.
Свойства |
конгруэнции Гишара, выраженные теоремой 1 |
§ 17, имеют |
место и для конгруэнции Рибокура, так как |
в случае общей конгруэнции Рибокура формулы (204) — (206)
сохраняются, |
хотя К = |
с :р. |
|
|
|
||
Конгруэнции Рибокура могут быть характеризованы |
аф- |
||||||
финно. |
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
1. Конгруэнция Рибокура характеризуется |
тем, |
|||||
что ее торсы высекают на средней поверхности |
сопряженную |
||||||
сеть. |
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Так |
как для средней |
поверхности |
||||
при а = 0 имеем |
|
|
|
|
|
||
|
dr |
= «)f (b'e2 |
+ рег) |
+ Ф*2 (be, + qe2), |
|
(217) |
|
то ее нормаль |
параллельна вектору |
|
|
||||
|
|
tfllf |
b |
ех + |
Рb-ег-ег. |
|
(218) |
169
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
d ~ = |
|
+ |
1г«>\, d^ |
= |
K J . U ) ? |
+ rj 2 < u 3 . |
(219) |
|
Тогда |
уравнение |
(dr, |
dN) |
= 0 асимптотических |
линий при |
|||||
мет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
L ( « n ? ) 2 + |
2Af <o>2 + |
|
= |
0, |
(220) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
Ъ |
|
(*21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сеть |
линий |
|
|
|
ь , |
и |
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
6 ' ( ш ? ) ' - 6 ( " > 2 ) 2 = 0, |
|
(222) |
|||||
соответствующих торсам |
конгруэнции, сопряжена, если |
|||||||||
|
|
|
|
Lb - |
Nb' = 0. |
|
|
(223) |
||
В силу |
(221) это |
равенство |
при ЬЬ' = 0 дает |
|
||||||
|
|
* ! . - $ 2 + |
- ? - А + 4 , £ |
= 0. |
|
(224) |
||||
То же самое соотношение получается, если выполнить диффе
ренцирование |
в (216), |
используя |
(219) и (21). Теорема до |
казана. |
|
|
|
§ |
20. Конгруэнции |
Гишара — Пето |
|
Рассмотрим |
теперь |
конгруэнции |
|
|
p = |
q = 0, |
(225) |
которые получаются при обращении в нуль третьего основного инварианта конгруэнции П, если ограничиваться действитель ными значениями инвариантов р и q. Мы уже видели, что эти
конгруэнции, |
именуемые обычно конгруэнциями |
Гишара — |
|||
Пето, входят в класс нормальных конгруэнции |
(см. § 10). Из |
||||
формул (197) —(202), определяющих |
ортобазу, следует, что |
||||
конгруэнции |
Гишара — Пето входят |
и в класс |
конгруэнции |
||
Рибокура (при |
К = |
const). |
|
|
|
Из формулы |
(46) |
следует, что конгруэнцию |
Гишара — Пе |
||
то можно еще характеризовать совпадением средней поверх ности со средней огибающей.
Из формул (217) и (218) вытекает, что основные диффе ренциальные формы средней поверхности конгруэнции Гиша ра — Пето имеют вид
170
I |
= |
(rfr)J |
= 6 { K ) 2 |
+ (a)i)«} = (de3)2-b, |
|
|
~(dr, |
|
(226) |
II |
= |
dN) = -2o)?«u? |
||
Отсюда следует, |
что |
средняя |
поверхность — минимальная |
|
(т. е. конгруэнция |
Гишара — Пето представляет собой конгру |
|||
энцию нормалей некоторой минимальной поверхности), что распределительные регулюсы секут среднюю поверхность по асимптотическим линиям, что ортогональным сетям на сред ней поверхности соответствуют ортогональные сети на сфе
рической |
индикатрисе. |
|
|
|
|
|
||
Наконец, заметим, что так как средняя поверхность кон |
||||||||
груэнции |
Гишара — Пето |
перпендикулярна лучам, |
то |
все |
||||
подмногообразия |
имеют |
нулевой |
центральный |
наклон |
||||
(я = |
0), что также |
характеризует |
конгруэнцию |
Гишара — |
||||
Пето |
(см. последнюю из |
формул (80). Внося (225) |
в |
(22) |
||||
при а = |
0, получим, что произвол существования |
конгруэнции |
||||||
Гишара—Пето составляет две функции одного аргумента, так как система сводится к стандартной.
§ 21. Изотропные конгруэнции
Рассмотрим теперь случай, исключенный при построении канонических реперов — случай «изотропной конгруэнции». Для нее (см. § 1)
|
|
с — а = Ь + Ь'---0 |
|
(227) |
|||||
и формулы (10) позволяют зафиксировать только |
одну вто |
||||||||
ричную форму |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sc = oa = rc3 |
= 0 . |
|
(228) |
|||
Тогда формулы |
(9) |
дают |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
= р9-\ |
+ qQ?,, |
|
(229) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
db = qQ] |
|
-рЩ. |
|
|
||
Отсюда внешним дифференцированием |
получаем |
|
|||||||
[dp-qQl |
Q*] + |
[dq + pQl |
Щ] + |
2b [9? 22] |
= 0, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(230) |
[dq + рЩ,Щ} |
+ |
[- |
dp + qQl |
Щ] |
= 0, |
|
|||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
(231) |
|
|
|
|
bp |
q-к], |
] . |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
uq = |
— ръ |
|
|
||
171
Последнюю фиксацию |
репера |
проведем |
так*): |
/, = 0, |
к? = |
0, q± 0. |
(232) |
Тогда |
|
|
|
|
(-P = |
ql2l |
(233) |
Теперь все вторичные формы фиксированы, и можно счи
тать, |
что |
£2' = to', |
" / = ш{. Деривационные |
формулы |
прини |
||||||||
мают |
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
= |
бшЦ ех |
— Ьш* е-> + qu>% е3 , |
|
||||||
|
|
|
dex |
= |
(ясо3 |
+ |
ku>l) е> -4- со3 е3 , |
(234) |
|||||
|
|
|
йег |
|
|
|
|
- f Ы%) ех + |
|
е3, |
|||
|
|
|
= |
— ( A w f |
со'з |
|
|||||||
|
|
|
de3 |
= |
— |
iof |
ех — ш| е2. |
|
|
|
|||
Основная |
система |
|
дифференциальных |
уравнений получится |
|||||||||
из (22) при а = Ь-{-Ь' |
= р — 0 |
в |
виде |
|
|
|
|||||||
|
\dh, |
« - И + |
[ d £ , |
со3] |
= - ( 1 |
+ |
А » + |
Л 2 ) [ О ) 8 О > 3 ] , |
|
||||
|
<7 [ d £ , |
со3] + |
q [dh, |
со3] = |
8bh [со3 |
со3 ], |
(235) |
||||||
|
dfc |
= |
^ w ? , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dq = — (46 |
-+- <?&) со3 |
~ f <7«со3 |
|
|
|
|||||||
и определит |
изотропную |
|
конгруэнцию |
с |
произволом |
в две |
|||||||
функции |
одного |
аргумента. Так |
как |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
(dr, |
e3U=Q |
|
= 0, |
|
|
(236) |
|
то конгруэнция отнесена к тому регулюсу, лучи которого перпендикулярны линии, описываемой на нем началом ре пера. Повторив выкладки, проделанные в § 3, для рассмат риваемого случая мы получим вместо формул (26) и (27)
х |
= 0, р = 2Ь, |
(237) |
что означает, что все |
подмногообразия имеют на |
данном |
луче общую горловую точку, совпадающую с началом |
репера |
|
и одинаковый параметр распределения. Таким образом, все подмногообразия обладают свойствами главных и распреде
лительных |
регулюсов. |
|
|
|
Вместо |
формул |
(36) и |
(41) |
получим |
|
|
(ш3 )* + |
(ш 3 ) 2 = 0, |
|
|
|
|
|
(238) |
|
|
Л . 2 = r± |
ibe3, |
|
т. е. торсы |
и фокусы — мнимы. |
|
||
*) Е с л и p |
= q = 0, |
т о в н е ш н е е д и ф ф е р е н ц и р о в а н и е (229) д а с т 6 = 0 , |
||
dr = 0, и к о н г р у э н ц и я в ы р о д и т с я в с в я з к у п р я м ы х .
172