Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

Скачать файл (8,60Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 136

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Гак как

(dr, de3) = О,

(239)

то сферическую индикатрису R = ?з можно считать ортобазой (см. § 17) изотропной конгруэнции. Следовательно, изотроп ная конгруэнция есть тот частный случай конгруэнции Рибокура, когда ортобаза есть сфера.

Чтобы объяснить, почему рассматриваемые конгруэнции названы изотропными, определим (формально) нормаль мни мой фокальной поверхности. Получается вектор

Его квадрат равен нулю. Такие направления в аналитической геометрии над полем комплексных чисел называются изо тропными.

		Глава	3
	ЛИНЕЙЧАТЫЕ		КОМПЛЕКСЫ
	§	1. Репераж
Будем теперь изучать		линейчатый		комплекс, т. е. трехпа-
раметрический геометрический			образ	Ф3 , элементом которо
го является	прямая
	Л = р + Х е .			(1)
Если р и е	являются функциями от трех переменных и1 , и2, и3

(первичных параметров), то (1) можно рассматривать как

уравнение

комплекса.

Включив элемент

репер

(так

же,

как

§ 1 гл. 1),

мы

получим

снова

•

21 =

0,1, 2 2

= ш 2 ,

2 3

=a)J,

2 |

2 .

(2)

Так как

теперь

формы

шj линейно

зависят

от трех

диф

ференциалов du>, du1,

du*,

то исключение

последних из

со

отношений

(2)

приведет к

единственному

основному

соот

ношению

aQ1 4 - р 2 2

+ Т 2 3

+\Щ

= 0 .

(3)

Мы опять

исключим

из

рассмотрения

случай

линейной

за

висимости

форм

2 |

Щ . Геометрически

это

означает

ис

ключение

такого комплекса, который содержит подмного

образие

Ч"2

2 3

= 0 ,

(4)

173

состоящее из параллельных прямых и являющееся		голоном-
ным*). Следовательно, такой комплекс	представляет собой
оо 1 связок параллельных прямых, и его	изучение	сводится,

по-существу, к изучению линейчатой поверхности. Эти комп

лексы	иногда называют				цилиндрическими.
Гак как формы ^ '				и ^ 2		пока	равноправны,			запишем	(3)
в виде
		Я* = Ъ^1			+		+ ^ 1 -				(5)
Внешнее		дифференцирование					дает
		№ 2 +	( ^ 2	- C 2 ) 2 2 4 - E 2 G 3				, Ql] Ь			(6)
		+ [d : 2	+ (ъ		- f C2) 2 ? -			Й3 , 01J = 0.
Применив		лемму	Картана,			найдем,		что	левые	части	всех
трех внешних произведений линейно выражаются										через S1 ,	Щ ,
Q§ , а,	следовательно,			соответствующие					вторичные формы
равны	нулю, т. е.		о£2 = - ( 1					,
			о£2 = - ( 1					,
			8 ^	=	( : 2 - 5 2 ^ ) " ? - « 2 « 3 .						(7)
			о';2	=	—(•/], 4- ; 2 С2) те2 +				я 3 .

Так как число вторичных форм равно двум, то есть равно числу полувторичных форм, соответствующих подмногообра зию Ч?2, то сразу после включения элемента в репер мы по лучаем полуканонический репер, являющийся каноническим для некоторого х ¥2 -

Деривационные формулы полуканонического репера комп лекса имеют вид:

dr = ш1 е, 4- 0 ) 2 е2			+ со3 еъ,
dex	=	O J ? е2	— «4 е 3 ,
			(8)
de2	= — со2 ev		~ ^ \ е ъ ,
de3	= со*	+ cof,	e2.

Если оставшиеся нефиксированными вторичные параметры считать некоторыми функциями от первичных, то можно по ложить

WP = \ р СО1 Т^СО» 4- Срсо\|			,
со? =	0)1	4- щ со3 4- С, о.» ,	р = 2, 3.	(9)
*) т а к к а к DQ\ — [Q§ Q\],	а	с л е д о в а т е л ь н о п р и	Q§ = [хй^	у р а в н е н и е

2 3 | = 0 в п о л н е и н т е г р и р у е м о .

174

Условия вполнеинтегрируемости системы (8) дают основную •систему дифференциальных уравнений:

= Е , [СО1	0)J ] + Я/	[со1 0 ) \| ] +	7Н	[0)1	«)\| ] ,	(10)
		i	=	1.2,	3.
Коэффициенты	Е г , Я ; ,	Z£ имеют	вид:

г, = £ 1 ( : 1 - Р ) , # i = - M i i + Q).

2, = - 1 - т ) ? - С ? Е 2							= ^ + 5 х г , 2 - Р 5 2 ,
	Я 2	=		+ С3 — 7j2 ?х — Qc2 ,
	•^2	=	TI3		"12	М -=2			^?2 i
		й з	=	Ч ' 3	1 — Р^г •>
	Я 3		= - С . - Т ] ^				-	Q £ 3 ,		( П )
	^ 3	=		Т12	7 il		~Ч	'3	Р'З >
где	[Deo1,			«21
	Г Л<.1>1 1			ш 2 1
	[со со			ш з ]	: i	'П-i — Ьг			r\i +	? 3 г
	[Deo1,				: i	'П-i — Ьг			r\i +	? 3 г
	[Deo1,
	[и)U)1		0)11 О) J ]
_	[Du>\Р< УсоМ\|				_ .			ri2 ~ч
*\ — ~		:	:	— — '2 'п				ri2 ~ч		- з -
	[со1		О)1	Юз]
Система (10)	определяет				комплекс с				произвольным под

многообразием 4^2 (последнее можно задавать, например,

уравнением	и 1 =	0) с	произволом в три функции трех аргу
ментов (она	является		стандартной	системой вида	(143. 3)
гл. 2, ч. 1).
Формулы	(7)	дают	(по-существу,	единственную)	возмож

ность канонизации репера без исключения каких-либо частных случаев

52 = ^ = 0, = - 3 = 0 , (13) при которой т)2 становится первым инвариантом комплекса.

Его, естественно можно назвать кривизной комплекса. Деривационные формулы и основные дифференциальные

уравнения для канонического репера получатся, если в (8) —

(12)	положить
	г2	= : 2 = о.
Тогда	из уравнения, соответствующего		i = 2 в	(10), получит
ся конечное соотношение
	# , = ; , +	; з - Ч 2 ? 1 =	0,	(14)

175

а само уравнение примет вид

\dri2 - 22 О)1 - f Z, (Dj' , U)' ] = 0,

(15)

соответствующий первой строке системы (143) гл. 2, ч. 1. По скольку в силу (14) у = r|2ii — ез, то при i = 1 получается уравнение с двумя независимыми дифференциалами и только уравнение, соответствующее i — 3, останется общего вида. Следовательно, в силу теоремы 3 из § 11, гл. 2, ч. 1, произвол решения основной системы уравнений в случае канонического репера — одна функция трех аргументов, т. е. совокупность всех линейчатых комплексов зависит от одной функции трех аргументов. Последнее заключение можно подтвердить эле ментарным рассуждением. Известно, что совокупность всех прямых евклидова пространства зависит от четырех парамет ров аг. Поэтому самую общую трехпараметрическую сово купность— комплекс—можно задать одним соотношением на эти параметры, которое приводится к виду

«4 = f(au а.,,	аъ),
т. е. зависит от одной произвольной	функции трех аргументов

аь а2, аг.

Полная система инвариантов комплекса состоит из семи

коэффициентов формул		канонического			репера
	~rl2i	? 1>	ГИ>	-•!> ^3) Г13,	'3 .
связанных	одним конечным			соотношением
	-1 = % 1\ — Ч •					(16)
Заметим еще, что из (15) и (И) следует, что
	drl2 = ТП Ш1 +	f\22	СО* + (У].> 7], — 7)3) tO§ ,			(17)
где 7 j 2 2 — новая функция			первичных		параметров,	также яв-
ляющаяся	инвариантом	комплекса.