Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

ш3 = св^ = 0.

Если торс имеет

фокус в точке

R = г -|- t е3,

где

t — t(u\ и2 , ил),

то должно

быть

dR\\e3,

т. е. уравнения (18)

принимают вид

ш1 + Ы\ = 0,

(19)

О)2 -f- taj

= 0 .

Касательная плоскость торса (19) (единственная

вдоль лу«

ча)

определяется

нормальным вектором

я J [dr,

е3\ .

В силу (19), (8) и (9) имеем

nt\\(fi2-^t)e,+(^

+ t)e2.

(20)

г + te3

«—»• (т)2

— Ч2 t)ex + (;2 + t) е2.

(21)

В

каноническом

репере

она принимает вид

г + te3

<—у у)2

ех +

te2

(22)

и

позволяет

установить

геометрическое значение

векторов

этого репера.

на

Именно,

при \2 = С2 =

0 нормаль

цилиндра » ц параллель­

вектору

Я ц 1 1 к з, dr\ai

„ ш | =

0 1 к 2 .

12. Заказ 6667.

177

цилиндру. Будем

называть

этот

торс центральным. Для

него

в

каноническом репере при

и\2 ф

0 имеем

уравнения

и

деривационные

формулы:

dr

=

С 3 ш1е 3 ,

de3

=

u>le2,

de2 =

— ш |

е3

— < o j j

et,

(23;

det

=

Ci ш 3

e>,

Отнесем комплекс к каноническому реперу.

Рассмотрим

угол ср от нормали

е,

цилиндра

до

нормали

nt

плоскости,

соответствующей в

главной корреляции

точке

г -f- te3. В си­

лу (22)

имеем

t:-n3

= ctg

откуда

Л

Ъ

=

t-tg<p,

ср =

(е2,

я,).

(24)

Эта формула похожа на формулу Шаля

(36) из гл. 1 и также

называется формулой

Шаля.

Она

дает

первую

геометричес­

кую характеристику

кривизны

комплекса.

Теперь рассмотрим

произвольный

регулюс

(18).

Абсцис­

са х горловой точки и параметр распределения

р

при

помощи

формул

(40) и (43)

гл.

1 найдутся в

виде

х =

-

m

i ( ш 1 +

Ъ

,

(25)

нормаль в горловой точке имеет

направление

det

и

обра­

зует с

вектором ех

угол

для

которого

ctg«|i =

- 4 .

(27)

Из (25),

(26),

(27)

вытекает

„формула

Кенигса"

Л

•V2=P — xtg*,

^ =

(ei,des),

которая

дает

вторую

геометрическую

характеристику

кри­

визны

комплекса.

При

С3 Ф 0

деривационные

формулы

(23)

центрального

торса

можно записать

в виде

dr

=

е-л,

—

ds

~ds- ~ еС3

2

,

(28)

de2

1

,

С,

,

ds

С3

1,3

de\

d

ds

,3

где е\

=

— е и

ds = С3 ш\.

Отсюда видно,

что

инварианты

С3

и Ct

суть

не

что

иное»

визны

&ц

центральной

кривой комплекса

^з = р ц ,

С, =Ац Хц.

(29)

Если

же

С3 = 0, то

центральный

торс является

конусом,

a

Ci — его

косиной.

Регулюс, определяемый

уравнениями

о 1 =

ш» = 0

(30)

в

каноническом репере, называется

центральным

регулюсом*

и характеризуется тем, что его канонический репер

совпадает

(8) при (13) и (30) дают

dr

=

(г}2

е 2

+ % £ з)°4 .

dex

=

(ъ

е2

— е3)

ш 3

,

(31)

de2 = — fix ех

о > | ,

а?е3

= u>3

6 t ,

dr

— ~Пг e-i — Ъ

еъ,

~Т =

as

=

- Ъ е2 + ег,

(32)

as

de->

de*

as

as

dr = со1 ег

+ £3 0 5 ) 1 1

dex

= ?! е2 со1,

(33)

de2 — — Е, ех

ш1 , de3

= 0.

Ортогональная направляющая цилиндра может быть

найде­

на

в виде

h = r + ye3

(34)

из

условия (dh,

е3) =

0,

которое

дает

Е3

со1

+

dy =

0.

(35)

Для этой кривой

получаем

dh

det

f

de2

^

/ 0 „ ч

ds

as

Следовательно, инвариант ^ есть кривизна

ортогональной

направляющей цилиндра

комплекса.

Для инварианта Ч3 мы имеем две

характеристики,

выра­

жаемые формулами

6 . =

- ^

(37)

as

С3 = d

-

7i2

Е, .

(38)

Последняя следует из

(16).

Таким

образом,

рассмотрение

«4 =

0, со1 = да>1,

(39)

где q — любая функция

первичных параметров.

Только для

регулюса

совпадает с вектором е2 комплекса и наоборот.

Среди

регулюсов (39)

два обладают

еще одним общим

с центральным

регулюсом

свойством — равенством

(с точнос­

тью до знака)

параметра

распределения

кривизне

комплек­

са. Эти регулюсы

получили название

боковых

регулюсов

Га-

ака

(при с7=—г|2 ) и

Главатого

(q=r\2).

Вернемся к произвольному регулюсу (18). Каждой точ­

ке

М = г 4- t е%

луча

будет

соответствовать

касательная

плоскость

этого

регулюса

(R — r,

nt) = 0.

Таким

образом,

каждый регулюс

индуцирует

корреляцию

М = г + te%

*—> nt

I

[dM,

еъ\

=

(40)

=

( о , 2 4- ti»i)et

— (Ы\

+

ш1)е2,

называемую

корреляцией

Шаля.

Точки

луча, в

которых

плоскость,

определяемая

корреля­

цией Шаля, совпадает с плоскостью, определяемой

главной

корреляцией

(21), называются

точками

прикосновения.

Они

определяются из

уравнения

*2 (со| -52 cuJ)

+ 2 * ( : 2 а > §

+

^2

со J ) 4 -

W

+

r^co1 = 0

(41)

или

в каноническом

репере

СО**2

+ 27)2С0Н +

7]2

СО1 = 0 .

(41')

Так как дискриминант этого уравнения равен (ч\2

0,1

ш!>

то в силу (26) совпадение

точек

прикосновения

могло бы

иметь

место

только

для торсов, но для них, очевидно,

кор­

реляция Шаля (40)

вырождается.

Для

регулюсов,

не

яв­

ляющихся

торсами,

середина

между

точками

прикоснове­

ния

есть

точка

S

= r + - n 2

^ e 3 ,

(42)

называемая

центром

прикосновения.

Линии, описываемые точками прикосновения на регулюсе

(18),

называются

линиями

прикосновения

его к

комплексу,

а линия, описываемая центром прикосновения —

центральной

линий

регулюса комплекса

(ее не следует смешивать с линией,

описываемой

на регулюсе центром

луча

комплекса).